【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 圖 54 例 53圖 1*1 ??? 2*2 ??? 狀態(tài)觀測(cè)器 狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)的前提是獲得系統(tǒng)全部狀態(tài)信息 ,然而 ,狀態(tài)變量并不一定是系統(tǒng)的物理量 , 選擇狀態(tài)變量的這種自由性本是狀態(tài)空間綜合法的優(yōu)點(diǎn)之一 ,但這也使得系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量不一定都能直接量測(cè) 。另一方面 ,有些狀態(tài)變量即使可測(cè) ,但所需傳感器的價(jià)格可能會(huì)過(guò)高。 狀態(tài)觀測(cè)或狀態(tài)重構(gòu)問(wèn)題正為了克服狀態(tài)反饋物理實(shí)現(xiàn)的這些困難而提出的 ,其核心是通過(guò)系統(tǒng)可量測(cè)參量 (輸出及輸入 )重新構(gòu)造在一定指標(biāo)下和系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài) 等價(jià)的估計(jì)狀態(tài)或重構(gòu)狀態(tài) ,且常采用式 (535)所示的漸近等價(jià)指標(biāo) ,即 )(tx )(? tx0Δxx ??? ???? )(lim)]()(?[lim ttt xtt(535) 式中 , 為觀測(cè)誤差。實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)的系統(tǒng) (或計(jì)算機(jī)程序 )稱為狀態(tài)觀測(cè)器 , 式 (535)也稱 觀測(cè)器存在條件 。當(dāng)觀測(cè)器重構(gòu)狀態(tài)向量的維數(shù)等于或小于被控系統(tǒng)狀態(tài)向量維數(shù)時(shí) ,分別稱為全維狀態(tài)觀測(cè)器或降維狀態(tài)觀測(cè)器。 )(txΔ 全維觀測(cè)器的構(gòu)造思想 設(shè)式 (52)所示的被控系統(tǒng) 狀態(tài)完全能觀 ,一條重構(gòu)狀態(tài)向量的可能途徑是對(duì)輸出 y(t)求導(dǎo) n1次 ,即 )(o CB,A,?????????????????????????????? )(nnnn 2321CBuuBCABuCAxCAyuCBC A B uxCAuCBxCAxCyCBuCAxxCyCxy1)(n2??????????????(536) 因?yàn)? 能觀 ,則其能觀性判別陣的秩為 n,故由式 (536)一定可選出關(guān)于狀態(tài)變量的 n個(gè)獨(dú)立方程 ,進(jìn)而獲得 x(t)的唯一解。可見(jiàn) ,只要被控系統(tǒng)能觀 ,理論上可通過(guò)輸入、輸出及它們的導(dǎo)數(shù)重構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)向量 x(t)。但這種方法要對(duì)輸入、輸出進(jìn)行微商運(yùn)算 ,而純微分器難以構(gòu)造 。且微分器不合理地放大輸入、輸出測(cè)量中混有的高頻干擾 ,以致?tīng)顟B(tài)估計(jì)值產(chǎn)生很大誤差 ,故從工程實(shí)際出發(fā) ,該方法不可取。 )(o CB,A,? 為避免在狀態(tài)重構(gòu)中采用微分運(yùn)算 ,一個(gè)直觀的想法是構(gòu)造一個(gè)與 結(jié)構(gòu)和參數(shù)相同的仿真系統(tǒng) 來(lái)觀測(cè)系統(tǒng)實(shí)際狀態(tài) x(t),且讓 與 具有相同的輸入 ,如圖 55所示。 )(o CB,A,?)(G CB,A,? ?G?o圖 55 開(kāi)環(huán)觀測(cè)器 顯然 ,在假設(shè)矩陣 A, B和 C在實(shí)際被控對(duì)象 中及其計(jì)算機(jī)仿真系統(tǒng) 中相同的前提下 ,只要設(shè)置 的初態(tài)與 的初態(tài)相同 ,即 ,則可保證重構(gòu)狀態(tài) 與系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài) 始終相同。盡管只要 能觀 ,根據(jù)輸入和輸出的測(cè)量值總能計(jì)算出系統(tǒng)的初態(tài) ,但每次應(yīng)用圖 55所示的開(kāi)環(huán)觀測(cè)器均要計(jì)算 并設(shè)置 ,計(jì)算量太大。另一方面 ,開(kāi)環(huán)觀測(cè)器的觀測(cè)誤差 所滿足的微分方程為 ?o?G?G?o)()(? 00 tt xx ?)(? tx )(tx?o)( 0tx)( 0tx )(? 0tx)(txΔxA ΔxxAxx ????? )]()(?[)()(?)(Δ tttttx ???(537) 而由于存在外界擾動(dòng)和設(shè)置誤差 ,通常 , 即 ,這時(shí)由式 (537)可得觀測(cè)誤差 為 )()(? 00 tt xx ?0Δ x ?)( 0t )(txΔ)]()(?[)()( 00)(0)( 00 ttetet tttt xxΔΔ AxAx ??? ??(538) 式 (538)表明 ,只有當(dāng) 的系統(tǒng)矩陣 A的特征值均具有負(fù)實(shí)部時(shí) , 才滿足觀測(cè)器存在條件 ,即當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí) ,觀測(cè)誤差 趨于零 ,實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu) 。若 為不穩(wěn)定系統(tǒng) ,則 將不能復(fù)現(xiàn) 。一般而言 , 開(kāi)環(huán)觀測(cè)器也無(wú)實(shí)用價(jià)值。 ?o)(txΔ ?o)(? tx )(tx 可應(yīng)用反饋控制原理對(duì)圖 55所示的 開(kāi)環(huán)觀測(cè)器方案進(jìn)行改進(jìn) ,即引入觀測(cè)誤差 負(fù)反饋 ,以不斷修正仿真系統(tǒng) ,加快觀測(cè)誤差趨于零的速度 。 但 不可直接量測(cè) ,而 對(duì)應(yīng) ,且系統(tǒng)輸出估計(jì)值與實(shí)際值的誤差 可量測(cè) ,故引入輸出偏差 負(fù)反饋至觀測(cè)器的 處 ,構(gòu)成以 u和 y為輸入、 為輸出的閉環(huán)漸近狀態(tài)觀測(cè)器 ,如圖 56所示 ,其采用了輸出反饋的另一種結(jié)構(gòu) ,是一種較實(shí)用的觀測(cè)器結(jié)構(gòu)。 )()(?)( tttx xxΔ ??)(txΔ 0Δ ?)(tx0CxxCyy ???? )()(?)()(? tttt)()(? tt yy ?)()(? tt yy ?x?? )(? tx圖 56 閉環(huán) (漸近 )狀態(tài)觀測(cè)器 圖 56中 , G為 輸出偏差反饋增益矩陣 (m為系統(tǒng)輸出變量的個(gè)數(shù) )，且其為實(shí)數(shù)陣 。 mn? 由圖 56可得閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)方程為 BuGyxGCABuGyxGCxABuyyGxAx?????????????)(??)?(???(539) 由式 (539)及待觀測(cè)系統(tǒng) 的狀態(tài)方程 ,可得閉環(huán)觀測(cè)器的觀測(cè)誤差 所滿足的微分方程為 ?o)(txΔxΔGCAxxGCAxxΔ)()]()(?)[()()(?)(???????tttttx ??? (540) 設(shè)初始時(shí)刻 ,式 (540)的解為 00 ?t)]0()0(?[)0()()()(xxΔΔAxAx?????tGCtGCeet (541) 式 (540)及式 (541)表明 ,若通過(guò)選擇輸出偏差反饋增益矩陣 G使 AGC的所有特征值均位于復(fù)平面的左半開(kāi)平面 ,盡管初始時(shí)刻 時(shí) 與 存在差異 ,觀測(cè)器的狀態(tài) 仍將以一定精度和速度漸漸逼近系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài) ,即滿足式 (535)所示的漸近等價(jià)指標(biāo) ,故閉環(huán)觀測(cè)器也稱為漸近觀測(cè)器。 顯然 , 觀測(cè)誤差 趨于零的收斂速率由觀測(cè)器系統(tǒng)矩陣 AGC的主特征值決定 ,可證明若 能觀 ,則閉環(huán)觀測(cè)器的極點(diǎn)即 AGC的特征值可通過(guò)選擇偏差反饋增益矩陣 G而任意配置。 00 ?t )0(x )0(?x)(? tx)(tx)(txΔ)(o CB,A,? 閉環(huán)觀測(cè)器極點(diǎn)配置 1. 閉環(huán)觀測(cè)器極點(diǎn)任意配置的充分必要條件 定理 58 圖 56中的閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器的極點(diǎn)可任意配置的充分必要條件是被控系統(tǒng) 能觀測(cè)。 )(o CB,A,? 系統(tǒng)能觀測(cè) ,只是其觀測(cè)器存在的充分條件 ,并非必要條件。對(duì)系統(tǒng) ,觀測(cè)器存在的充分必要條件是 的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定 。 )(o CB,A,??o2. 輸出偏差反饋增益矩陣 G的設(shè)計(jì) 全維閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)就是確定合適的輸出偏差反饋增益矩陣 G,使 AGC具有期望的特征值 ,從而使由式 (540)描述的觀測(cè)誤差動(dòng)態(tài)方程以足夠快的響應(yīng)速度漸近穩(wěn)定。 狀態(tài)完全能觀測(cè)的單輸入單輸出系統(tǒng) ,閉環(huán)觀測(cè)器的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)可仿照 的單輸入單輸出系統(tǒng)用狀態(tài)反饋進(jìn)行閉環(huán)極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行 。也可基于對(duì)偶原理采用在對(duì)偶系統(tǒng)中由狀態(tài)反饋配置閉環(huán)極點(diǎn)方法確定狀態(tài)反饋增益陣 F,再根據(jù) 確定原系統(tǒng)觀測(cè)器偏差反饋增益矩陣 G。 TFG ? 若單輸入單輸出系統(tǒng) )(o CB,A,???????CxBuAxxy?狀態(tài)完全能觀，其特征多項(xiàng)式為 ? ?nnnn asasasssf?????????111o d e t)(?AI （ 542） 設(shè) 為閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器系統(tǒng)矩陣期望特征值，對(duì)應(yīng)的期望特征多項(xiàng)式為 ),2,1( nii ??????????????????? ?nnnnniiasasasssp1111)()(??（ 543） 若 為能觀標(biāo)準(zhǔn)型 ,則所需的觀測(cè)器偏差反饋增益矩陣為 )(o CB,A,????????????????????????1111Oaaaaaannnn?G(544) 若 不為能觀標(biāo)準(zhǔn)型 ,則可采用如下變換（設(shè) 為能觀標(biāo)準(zhǔn)型變換陣） )(o CB,A,?oTxTx o?（ 545） 將系統(tǒng) )(o CB,A,???????CxBuAxxy??__ o )( C,B,A??????xCuBxAxy?化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型 其中 , ? ?1000,100010001000o1o121o1o??????????????????????????????????????CTCBTBATTAaaaannn則先用式（ 544）求出能觀標(biāo)準(zhǔn)型 對(duì)應(yīng)的 下的觀測(cè)器增益矩陣 ,然后再將 下求得的 變換到原狀態(tài) x下 ,即得重構(gòu)系統(tǒng) 狀態(tài) x所需的觀測(cè)器偏差反饋增益矩陣為 ?__ o )( C,B,AxoG x)(o CB,A,?oG?????????????????????????????????????1111ooo21aaaaaagggnnnnn??TGTG (546) 式中 , (547) 11111o111??????????????????????????????????????????nnaaaCACACT????? 【 例 54】 被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 )(o CB,A,?? ??????????????????????xxx11101031yu?試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器使其極點(diǎn)為 3， 3。 解 (1) nQ o ???????????????? 22111r a n k)(r a n kr a n kCAC所以，系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀，可建立狀態(tài)觀測(cè)器 , 且觀測(cè)器的極點(diǎn)可任意配置。 (2) 確定閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器系統(tǒng)矩陣的期望特征多項(xiàng)式 觀測(cè)器系統(tǒng)矩陣 的期望特征值為 ，對(duì)應(yīng)的期望特征多項(xiàng)式為 GCA ?3*2*1 ??? λλ96)3)(3())(()(221????????? ???sssssssp ??則 ， ， 92 ??a61 ??a(3) 求所需的觀測(cè)器偏差反饋增益矩陣 ? ?Tgg21?G方法一 規(guī)范算法 在例 52中已求得系統(tǒng) 的特征多項(xiàng)式為 )(o CB,A,?1)( 2o ?? ssp ,則 ， 12 ??a01 ?a根據(jù)式（ 544），能觀標(biāo)準(zhǔn)型 對(duì)應(yīng)的 下的狀態(tài)觀測(cè)器增益矩陣為 ?__o )( C,B,Ax?????????