【正文】 根據式（ 516）、（ 526）分別確定開環(huán)系統(tǒng) 特征多項式和期望閉環(huán)特征多項式系數的基礎上， 先用式（ 527）求出能控標準型 對應的 下的狀態(tài)反饋增益矩陣 ； 然后再根據式（ 529）將 變換為原狀態(tài) x下的狀態(tài)反饋增益陣 F ，即 )(o CB,A,?)(o CB,A,??__ o )( C,B,A xF F? ? 11111 ???? ?? ???? nnn aaaaaa TF ?(530) 式中 , 為按式（ 518）將 化為能控標準型 的變換矩陣 的逆矩陣，即 1?cT )(o CB,A,??__ o )( C,B,A cTc1cc1c 。為將閉環(huán)極點配置在期望位置 ， 應令式（ 534）與式（ 526）相等，即令 ， 由兩個 n階特征多項式對應項系數相等，可得 n個關于 的聯(lián)立代數方程，若 能控，解聯(lián)立方程可求出唯一解 。 )(o CB,A,?? ??????????????????????xxx11101031yu?j??1 j??1 解 (1) ? ? nQ c ??????????? 21130r a n k)(r a n kr a n k ABB所以被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，可通過狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)系統(tǒng)極點。 圖 53 例 52圖 3. 采用狀態(tài)反饋進行部分極點配置 若被控系統(tǒng) 狀態(tài)不完全能控 ,采用狀態(tài)反饋只能將其能控子系統(tǒng)的極點配置到期望位置 ,而不可能移動其不能控子系統(tǒng)的極點。否則 ,就不能采用狀態(tài)反饋配置 n個極點。 對定理 54以單輸入單輸出系統(tǒng)為例加以說明。 定理 55 對完全能控的單輸入單輸出系統(tǒng) ,通過帶動態(tài)補償器的輸出反饋實現(xiàn)極點任意配置的充要條件為 : )(o CB,A,? (1) 完全能觀 。 )(o CB,A,? 鎮(zhèn)定問題 若被控系統(tǒng) 通過狀態(tài)反饋 (或輸出反饋 )能使其閉環(huán)極點均具有負實部 ,即閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定 ,則稱系統(tǒng)是狀態(tài)反饋 (或輸出反饋 )可鎮(zhèn)定的 。 )(o CB,A,? 定理 57 線性定常系統(tǒng) 采用輸出反饋可鎮(zhèn)定的充要條件是 結構分解中的能控且能觀子系統(tǒng)是輸出可鎮(zhèn)定的 。 )(o CB,A,?)(o CB,A,? 【 例 53】 被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達式為 )(o CB,A,?? ?????????????????????xxx01100010yu?試設計狀態(tài)反饋增益矩陣 F，使閉環(huán)系統(tǒng)得到鎮(zhèn)定。若設期望極點為 )(o CB,A,? , ,則對應的期望閉環(huán)特征多項式為 1*1 ??λ 2*2 ??λ23)2)(1())(()( 221 ?????????? ssssλsλssp 由規(guī)范算法可確定滿足期望極點配置要求的狀態(tài)反饋增益矩陣 ,對應的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量圖如圖 54(a)所示。 由圖 54(a)可畫出圖 54(b)所示的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)等效方塊圖 ,其等效為在輸出反饋控制回路中嵌入反饋動態(tài)補償器 H(s) ,即若采用 的輸出動態(tài)反饋可達到與引入線性狀態(tài)反饋 一樣的控制效果 (將閉環(huán)極點配置在 , ) 。 23)( ?? ssH? ? ? ?3221 ?? ffF圖 54 例 53圖 1*1 ??? 2*2 ??? 狀態(tài)觀測器 狀態(tài)反饋實現(xiàn)的前提是獲得系統(tǒng)全部狀態(tài)信息 ,然而 ,狀態(tài)變量并不一定是系統(tǒng)的物理量 , 選擇狀態(tài)變量的這種自由性本是狀態(tài)空間綜合法的優(yōu)點之一 ,但這也使得系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量不一定都能直接量測 。 狀態(tài)觀測或狀態(tài)重構問題正為了克服狀態(tài)反饋物理實現(xiàn)的這些困難而提出的 ,其核心是通過系統(tǒng)可量測參量 (輸出及輸入 )重新構造在一定指標下和系統(tǒng)真實狀態(tài) 等價的估計狀態(tài)或重構狀態(tài) ,且常采用式 (535)所示的漸近等價指標 ,即 )(tx )(? tx0Δxx ??? ???? )(lim)]()(?[lim ttt xtt(535) 式中 , 為觀測誤差。當觀測器重構狀態(tài)向量的維數等于或小于被控系統(tǒng)狀態(tài)向量維數時 ,分別稱為全維狀態(tài)觀測器或降維狀態(tài)觀測器。可見 ,只要被控系統(tǒng)能觀 ,理論上可通過輸入、輸出及它們的導數重構系統(tǒng)狀態(tài)向量 x(t)。且微分器不合理地放大輸入、輸出測量中混有的高頻干擾 ,以致狀態(tài)估計值產生很大誤差 ,故從工程實際出發(fā) ,該方法不可取。 )(o CB,A,?)(G CB,A,? ?G?o圖 55 開環(huán)觀測器 顯然 ,在假設矩陣 A, B和 C在實際被控對象 中及其計算機仿真系統(tǒng) 中相同的前提下 ,只要設置 的初態(tài)與 的初態(tài)相同 ,即 ,則可保證重構狀態(tài) 與系統(tǒng)的實際狀態(tài) 始終相同。另一方面 ,開環(huán)觀測器的觀測誤差 所滿足的微分方程為 ?o?G?G?o)()(? 00 tt xx ?)(? tx )(tx?o)( 0tx)( 0tx )(? 0tx)(txΔxA ΔxxAxx ????? )]()(?[)()(?)(Δ tttttx ???(537) 而由于存在外界擾動和設置誤差 ,通常 , 即 ,這時由式 (537)可得觀測誤差 為 )()(? 00 tt xx ?0Δ x ?)( 0t )(txΔ)]()(?[)()( 00)(0)( 00 ttetet tttt xxΔΔ AxAx ??? ??(538) 式 (538)表明 ,只有當 的系統(tǒng)矩陣 A的特征值均具有負實部時 , 才滿足觀測器存在條件 ,即當時間足夠長時 ,觀測誤差 趨于零 ,實現(xiàn)狀態(tài)重構 。一般而言 , 開環(huán)觀測器也無實用價值。 但 不可直接量測 ,而 對應 ,且系統(tǒng)輸出估計值與實際值的誤差 可量測 ,故引入輸出偏差 負反饋至觀測器的 處 ,構成以 u和 y為輸入、 為輸出的閉環(huán)漸近狀態(tài)觀測器 ,如圖 56所示 ,其采用了輸出反饋的另一種結構 ,是一種較實用的觀測器結構。 mn? 由圖 56可得閉環(huán)狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為 BuGyxGCABuGyxGCxABuyyGxAx?????????????)(??)?(???(539) 由式 (539)及待觀測系統(tǒng) 的狀態(tài)方程 ,可得閉環(huán)觀測器的觀測誤差 所滿足的微分方程為 ?o)(txΔxΔGCAxxGCAxxΔ)()]()(?)[()()(?)(???????tttttx ??? (540) 設初始時刻 ,式 (540)的解為 00 ?t)]0()0(?[)0()()()(xxΔΔAxAx?????tGCtGCeet (541) 式 (540)及式 (541)表明 ,若通過選擇輸出偏差反饋增益矩陣 G使 AGC的所有特征值均位于復平面的左半開平面 ,盡管初始時刻 時 與 存在差異 ,觀測器的狀態(tài) 仍將以一定精度和速度漸漸逼近系統(tǒng)的實際狀態(tài) ,即滿足式 (535)所示的漸近等價指標 ,故閉環(huán)觀測器也稱為漸近觀測器。 00 ?t )0(x )0(?x)(? tx)(tx)(txΔ)(o CB,A,? 閉環(huán)觀測器極點配置 1. 閉環(huán)觀測器極點任意配置的充分必要條件 定理 58 圖 56中的閉環(huán)狀態(tài)觀測器的極點可任意配置的充分必要條件是被控系統(tǒng) 能觀測。對系統(tǒng) ,觀測器存在的充分必要條件是 的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定 。 狀態(tài)完全能觀測的單輸入單輸出系統(tǒng) ,閉環(huán)觀測器的極點配置設計可仿照 的單輸入單輸出系統(tǒng)用狀態(tài)反饋進行閉環(huán)極點配置的設計方法進行 。 TFG ? 若單輸入單輸出系統(tǒng) )(o CB,A,???????CxBuAxxy?狀態(tài)完全能觀，其特征多項式為 ? ?nnnn asasasssf?????????111o d e t)(?AI （ 542） 設 為閉環(huán)狀態(tài)觀測器系統(tǒng)矩陣期望特征值，對應的期望特征多項式為 ),2,1( nii ??????????????????? ?nnnnniiasasasssp1111)()(??（ 543） 若 為能觀標準型 ,則所需的觀測器偏差反饋增益矩陣為 )(o CB,A,????????????????????????1111Oaaaaaannnn?G(544) 若 不為能觀標準型 ,則可采用如下變換（設 為能觀標準型變換陣） )(o CB,A,?oTxTx o?（ 545） 將系統(tǒng) )(o CB,A,???????CxBuAxxy??__ o )( C,B,A??????xCuBxAxy?化為能觀標準型 其中 , ? ?1000,100010001000o1o121o1o??????????????????????????????????????CTCBTBATTAaaaannn則先用式（ 544）求出能觀標準型 對應的 下的觀測器增益矩陣 ,然后再將 下求得的 變換到原狀態(tài) x下 ,即得重構系統(tǒng) 狀態(tài) x所需的觀測器偏差反饋增益矩陣為 ?__ o )( C,B,AxoG x)(o CB,A,?oG?????????????????????????????????????1111ooo21aaaaaagggnnnnn??TGTG (546) 式中 , (547) 11111o111??????????????????????????????????????????nnaaaCACACT????? 【 例 54】 被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達式為 )(o CB,A,?? ??????????????????????xxx11101031yu?試設計全維狀態(tài)觀測器使其極點為 3， 3。 (2) 確定閉環(huán)狀態(tài)觀測器系統(tǒng)矩陣的期望特征多項式 觀測器系統(tǒng)矩陣 的期望特征值為 ，對應的期望特征多項式為 GCA ?