根軌跡法appt課件(編輯修改稿)
2025-05-28 01:27 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 繪制該系統(tǒng)的根軌跡 。 解 ⑴ 系統(tǒng)有 3條根軌跡分支 ， 它們的 起 點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn) （ 0， 1， 2） ； 繪制根軌跡的一般規(guī)則的應(yīng)用 ⑵ 因系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn) ， 所以 3條根軌跡分支均沿漸近線趨向無(wú)窮遠(yuǎn)； ⑶ 漸近線的相角為 ⑷ 實(shí)軸上的 0至 1線段和 2至 線段是根軌跡 。 ?????????? 180,603 )12(180 k?13 21 ?????? a?漸近線 與實(shí)軸的交點(diǎn) 為 繪制根軌跡的一般規(guī)則 ? 規(guī)則 6 根軌跡的分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn) 二條以上根軌跡分支的交點(diǎn)稱為根軌跡的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn) 。 如果根軌跡分支在實(shí)軸上相交后走向復(fù)平面 ， 則該交點(diǎn)稱為根軌跡的 分離點(diǎn) 。 如果根軌跡分支由復(fù)平面走向?qū)嵼S ， 則它們?cè)趯?shí)軸上的交點(diǎn)稱為 會(huì)合點(diǎn) 。 根據(jù)根軌跡的對(duì)稱性 ， 分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)或位于實(shí)軸上 ， 或產(chǎn)生于共軛復(fù)數(shù)對(duì)中 。 繪制根軌跡的一般規(guī)則 如果 根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間 ， 則在這兩個(gè)相鄰極點(diǎn)之間 ， 至少存在一個(gè)分離點(diǎn) 。 如果 根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（ 其中一個(gè)零點(diǎn)可以位于無(wú)窮遠(yuǎn)處 ） 之間 ， 則在這兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間 ， 至少存在一個(gè)會(huì)合點(diǎn) 。 如果根軌跡 位于實(shí)軸上一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)與一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn) （ 有限零點(diǎn)或無(wú)限零點(diǎn) ） 之間 ， 則在這兩個(gè)相鄰的極 、 零點(diǎn)之間 ， 或既不存在分離點(diǎn)也不存在會(huì)合點(diǎn) ， 或既存在分離點(diǎn)又存在會(huì)合點(diǎn) 。 繪制根軌跡的一般規(guī)則 如果系統(tǒng)的 特征方程式為 0)( )(1 ?? sJ sKL則根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)可由下述方程的根確定 0?dsdK 需要 說(shuō)明的是 ， 此處用來(lái)確定分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)的條件只是必要條件 ， 而非充分條件 。 按上式求得的根并非都是實(shí)際的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn) ， 只有位于根軌跡上的那些重根才是實(shí)際的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn) 。 繪制根軌跡的一般規(guī)則 此外 ， 在分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)處 ， 根軌跡離開(kāi)實(shí)軸的相角應(yīng) 為 ， 為 趨向或離開(kāi)實(shí)軸的根軌跡分支數(shù) 。 v/180 ?? v 證明 由于分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)是特征方程的重根 ，方程出現(xiàn)重根的條件 是 值 必須同時(shí)滿足 s0)(39。)(39。0)()(????sKLsJsKLsJ0)( )()()()( 2 ????? sL sLsJsLsJdsdK0)()(39。)(39。)( ?? sJsLsJsL即 )()(sLsJK ??繪制根軌跡的一般規(guī)則的應(yīng)用 例 3 求圖示系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn) 。 解 特征方程式為 0)2)(1( ???? Ksss)23()2)(1( 23 ssssssK ????????0)263( 2 ????? ssdsdK ??s 根據(jù)根軌跡在實(shí)軸上的分布 ， 可知 是根軌跡的實(shí)際分離點(diǎn) 。 ?? ??s繪制根軌跡的一般規(guī)則 ? 規(guī)則 7 根軌跡的出射角和入射角 根軌跡 離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角 ， 稱為根軌跡的 出射角 。 根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角 ， 稱為根軌跡的 入射角 。 ??????????npjjjmiip k11)12(180 ??? ????????????mziiinjjz k11)12(180 ???繪制根軌跡的一般規(guī)則 )12(180)( 543211 ????????? k??????)()12(180 532114 ?????? ???????? k? 證明 設(shè) 為靠近開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù) 極點(diǎn) 的 根軌跡上點(diǎn) ， 所以開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)指向 點(diǎn)矢量的相角和它們指向 矢量的相角相等 。 由于 位于根軌跡上 ， 滿足相角條件 ， 即 ds4p?ds4p?ds??????????npjjjmiip k11)12(180 ??? ?繪制根軌跡的一般規(guī)則 ? 規(guī)則 8 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 當(dāng)根軌跡 與虛軸相交時(shí) ， 表示特征方程式存在純虛根 ， 此時(shí)系統(tǒng)處于等幅振蕩狀態(tài) 。 根軌跡與 虛軸的交點(diǎn) ， 可通過(guò)下述方法求得： ? 采用勞 斯穩(wěn)定判據(jù)； ? 采用 試探法求解； ? 令特征 方程 中的 ， 然后 再使其實(shí)部和虛部分別 等于零 ， 求出 、 ， 這時(shí)得到的 值 ， 就是根軌跡與虛軸交點(diǎn)的頻率 ， 而 值則為臨界穩(wěn)定增益 。 ?js ?? ?KK繪制根軌跡的一般規(guī)則 ? 規(guī)則 9 根軌跡的走向 以閉環(huán)極點(diǎn) 形式表示的閉環(huán)特征方程式為 js0)()(1111?????? ???????njjnnjjnnjj ssssss ? 以開(kāi)環(huán)零 、 極點(diǎn)形式表示的閉環(huán)特征方程式為 ????????????????njjnnjjnmiinjj pspszsKps11111)()()( ?0])([111????? ?????miimmiim zszsK ?繪制根軌跡的一般規(guī)則 當(dāng) 時(shí) ， 與 無(wú)關(guān) ， 且有 2?? mn K??njjp1?????njjnjj ps11即 閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和 。 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)確定后 ， 其和為常數(shù) 。 當(dāng) 變化時(shí) ， 若部分閉環(huán)極點(diǎn)在 平面上向左移動(dòng) ， 則另一部分閉環(huán)極點(diǎn)必向右移動(dòng) ， 以保證全部極點(diǎn)為常數(shù) 。 此規(guī)則可用于定性判斷 時(shí)的根軌跡走向 。 s??0:K2?? mn???????njjnjj ps11)()(???????????miinjjnjj zKps111)()()
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