【文章內(nèi)容簡介】 時，函數(shù) ；（4）所示．注：（3）、（4）生練例6 ，水以常速（即單位時間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系圖像．分析：以容器（2）為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況．解：思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？ 一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”，在或內(nèi)的圖像“平緩”．例7 求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．證明：因為當(dāng)即時，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．說明：證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟：（1）求導(dǎo)函數(shù)；（2）判斷在內(nèi)的符號；（3）做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)．例8 已知函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．解：，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，解之得：所以實數(shù)的取值范圍為．說明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解．四．課堂練習(xí)1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(x)=2x3－6x2+7 (x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx2．課本P101練習(xí)五．回顧總結(jié)（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（2）求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間（3）證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性六．布置作業(yè)167。（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)（2課時）教學(xué)目標(biāo)：⒈使學(xué)生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，掌握可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上所有點（包括端點）處的函數(shù)中的最大（或最小）值必有的充分條件；⒉使學(xué)生掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法和步驟 教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法．教學(xué)難點：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系．教學(xué)過程：一．創(chuàng)設(shè)情景我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)．也就是說，如果是函數(shù)的極大（?。┲迭c，那么在點附近找不到比更大（?。┑闹担?，在解決實際問題或研究函數(shù)的性質(zhì)時，我們更關(guān)心函數(shù)在某個區(qū)間上，哪個至最大，哪個值最?。绻呛瘮?shù)的最大（?。┲?，那么不小（大）于函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的所有函數(shù)值．二．新課講授觀察圖中一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象．圖中與是極小值，是極大值．函數(shù)在上的最大值是，最小值是．1．結(jié)論：一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)在上必有最大值與最小值．說明：⑴如果在某一區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則稱函數(shù)在這個區(qū)間上連續(xù)．（可以不給學(xué)生講）⑵給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；⑶在閉區(qū)間上的每一點必須連續(xù)，即函數(shù)圖像沒有間斷，⑷函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（可以不給學(xué)生講）2．“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系⑴最值”是整體概念，是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對性；而“極值”是個局部概念，是比較極值點附近函數(shù)值得出的，具有相對性．⑵從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；⑶函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個⑷極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值．3．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求在內(nèi)的極值；⑵將的各極值與端點處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，得出函數(shù)在上的最值三．典例分析例1．（課本例5）求在的最大值與最小值 解： 由例4可知，在上，當(dāng)時，有極小值，并且極小值為，又由于，因此，函數(shù)在的最大值是4，最小值是．上述結(jié)論可以從函數(shù)在上的圖象得到直觀驗證．四．課堂練習(xí)1．下列說法正確的是( ) 2．函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,則f′(x) ( ) 3．函數(shù)y=，在［－1，1］上的最小值為( ) B.－2 C.－1 D.4．求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．5．課本 練習(xí)五．回顧總結(jié)1．函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點必在下列各種點之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點，導(dǎo)數(shù)不存在的點，區(qū)間端點；2．函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件；3．閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值 4．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值方法．六．布置作業(yè)167。（2課時）教學(xué)目標(biāo)：1． 使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用，提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．教學(xué)難點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．教學(xué)過程：一．創(chuàng)設(shè)情景：生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具．這一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題．二．新課講授：導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：與幾何有關(guān)的最值問題；與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；與利潤及其成本有關(guān)的最值問題；效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案三．典例分析例1．汽油的使用效率何時最高 我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車的速度（單位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量是汽車速度的函數(shù)．根據(jù)你的生活經(jīng)驗，思考下面兩個問題：（1） 是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含義是什么？分析：研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）．這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問題． 通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系．從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題．因此，我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間關(guān)系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問題． 解：因為 這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求的最小值．從圖象上看，表示經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜率．進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時，其斜率最?。诖饲悬c處速度約為90．因此，當(dāng)汽車行駛距離一定時，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為90．從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為 L．例2．磁盤的最大存儲量問題計算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常被稱為比特（bit）。為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)。問題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域．（1） 是不是越小，磁盤的存儲量越大？（2） 為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)每磁道的比特數(shù)。 設(shè)存儲區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達(dá)。所以，磁盤總存儲量（1） 它是一個關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲量越大．（2） 為求的最大值，計算． 令，解得當(dāng)時，；當(dāng)時，．因此時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為例3．飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？【背景知識】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm問題：（１）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？　　 （２）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最??？解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是 令 解得 （舍去）當(dāng)時，；當(dāng)時，．當(dāng)半徑時，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當(dāng)半徑時， 它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低．（1） 半徑為cm 時，利潤最小，這時，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負(fù)值．（2） 半徑為cm時，利潤最大．換一個角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？有圖像知：當(dāng)時，即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)時，利潤才為正值．當(dāng)時，為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為cm 時，利潤最小．說明：四．課堂練習(xí)1．，,那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．（ m，最大容積）5．課本 練習(xí)五．回顧總結(jié)建立數(shù)學(xué)模型1．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案2．解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個有利的工具。六．布置作業(yè)167。教學(xué)目標(biāo)：，了解定積分的背景；，了解定積分的概念，能用定積分定義求簡單的定積分；．教學(xué)重點：定積分的概念、用定義求簡單的定積分、定積分的幾何意義．教學(xué)難點：定積分的概念、定積分的幾何意義．教學(xué)過程：一．創(chuàng)設(shè)情景復(fù)習(xí)： 1． 回憶前面曲邊梯形的面積，汽車行駛的路程等問題的解決方法，解決步驟：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取極限（逼近） 2．對這四個步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點．二．新課講授1．定積分的概念一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上任取一點，作和式： 如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為：，其中積分號，－積分上限，－積分下限，－被積函數(shù)，－積分變量，－積分區(qū)間，－被積式。說明：（1）定積分是一個常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)（時）記為，而不是． （2）用定義求定積分的一般方法是：①分割：等分區(qū)間；②近似代替：取點；③求和：；④取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運動路程；變力做功2．定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形(如圖中的陰影部分)的面積，這就是定積分的幾何意義。說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積去負(fù)號。分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值?？疾旌褪讲环猎O(shè)于是和式即為陰影的面積—陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）思考：根據(jù)定積分的幾何意義，你能用定積分表示圖中陰影部分的面積S嗎？3．定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1；性質(zhì)2（定積分的線性性質(zhì)）；性質(zhì)3（定積分的線性性質(zhì)）；性質(zhì)4（定積分對積分區(qū)間的可加性）(1) ； (2) ； 說明：①推廣： ②推廣: ③性質(zhì)解釋：性質(zhì)4性質(zhì)1三．典例分析例1．利用定積分的定義，計算的值。分析：令；（１）分割把區(qū)間n等分，則第i個區(qū)間為：，每個小區(qū)間長度為：；（２）近似代替、求和取，則（３）取極限.例2．計算定積分12yxO分析：所求定積分是所圍成的梯形面積，即為如圖陰影部分面積，面積為。 即：思考：若改為計算定積分呢？改變了積分上、下限，