高中數學人教a版選修2-2教學課件：2、1章末(編輯修改稿)
2024-12-23 19:03 本頁面
【文章內容簡介】 x ) 0 ， f ( x ) 遞減； 當 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 時， g ( x ) 0 ，此時 f′ ( x ) 0 ， f ( x ) 遞增； ② 當 a ≠ 0 時， f′ ( x ) ＝ a ( x － 1) [ x － (1a－ 1) ] ， ( ⅰ ) 當 a ＝12時， g ( x ) ≥ 0 恒成立， f′ ( x ) ≤ 0 ， f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上遞減； ( ⅱ ) 當 0 a 12時，1a－ 1 1 0 ， x ∈ ( 0,1) 時， g ( x ) 0 ，此時 f′ ( x ) 0 ， f ( x ) 遞減； x ∈ (1 ，1a－ 1) 時， g ( x ) 0 ，此時 f′ ( x ) 0 ， f ( x ) 遞增； x ∈ (1a－ 1 ，＋ ∞ ) 時， g ( x ) 0 ，此時 f′ ( x ) 0 ， f ( x )遞減； ③ 當 a 0 時，由1a－ 1 0 ， x ∈ (0,1) 時， g ( x ) 0 ，有 f′ ( x ) 0 ， f ( x ) 遞減 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 時， g ( x ) 0 ，有 f′ ( x ) 0 ， f ( x ) 遞增． 綜上所述： 當 a ≤ 0 時，函數 f ( x ) 在 (0,1) 上遞減， (1 ，＋ ∞ ) 上遞增； 當 a ＝12時， f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上遞減； 當 0 a 12時， f ( x ) 在 (0,1) 上遞減，在 (1 ，1a－ 1) 上遞增，在 (1a－ 1 ，＋ ∞ ) 上遞減． 注：分類討論時要做到不重不漏，層次清楚 . 利用導數研究函數的極值和最值是導數的另一主要應用 ． 1． 應用導數求函數極值的一般步驟： (1)確定函數 f(x)的定義域； (2)解方程 f′(x)＝ 0的根； (3)檢驗 f′(x)＝ 0的根的兩側 f′(x)的符號 ． 若左正右負 ， 則 f(x)在此根處取得極大值； 若左負右正 ， 則 f(x)在此根處取得極小值 ． 否則 ， 此根不是 f(x)的極值點 ． 2． 求函數 f(x)在閉區(qū)間 [a， b]上的最大值 、 最小值的方法與步驟： (1)求 f(x)在 (a， b)內的極值； (2)將 (1)求得的極值與 f(a)、 f(b)相比較 ， 其中最大的一個值為最大值 ， 最小的一個值為最小值 ． 特別地 ， ① 當 f(x)在 [a， b]上單調時 ， 其最小值 、 最大值在區(qū)間端點取得； ② 當 f(x)在 (a， b)內只有一個極值點時 ，若在這一點處 f(x)有極大 (或極小 )值 ， 則可以斷定 f(x)在該點處取得最大 (或最小 )值 ， 這里 (a， b)也可以是 (－ ∞， ＋ ∞)． [例 4] 已知函數 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx在點 x0處取得極小值－ 4， 使其導函數 f′(x)0的 x的取值范圍為 (1,3)． (1)求 f(x)的解析式及 f(x)的極大值； (2)當 x∈ [2,3]時 ， 求 g(x)＝ f′(x)＋ 6(m－ 2)x的最大值 ． [解析 ] (1)由題意知 f′(x)＝ 3ax2＋ 2bx＋ c ＝ 3a(x－ 1)(x－ 3)(a0)， ∴ 在 (－ ∞， 1)上 f′(x)0， f(x)是減函數 ， 在 (1,3)上 f′(x)0， f(x)是增函數 ， 在 (3， ＋ ∞)上 f′(x)0， f(x)是減函數 ． 因此 f(x)在 x0＝ 1處取極小值－ 4， 在 x＝ 3處取得極大值 ． ∴????? a ＋ b ＋ c ＝－ 4f′ ( 1 ) ＝ 3 a ＋ 2 b ＋ c ＝ 0f′ ( 3 ) ＝ 27 a ＋ 6 b ＋ c ＝ 0， 解得 a ＝－ 1 ， b ＝ 6 ， c ＝－ 9 ， ∴ f ( x ) ＝－ x3＋ 6 x2－ 9 x . 則 f ( x ) 在 x ＝ 3 處取得極大值 f ( 3) ＝ 0. (2)g(x)＝－ 3(x－ 1)(x－ 3)＋ 6(m－ 2)x ＝－ 3(x2－ 2mx＋ 3)， g′(x)＝－ 6x＋ 6m＝ 0， 得 x＝ m. ① 當 2≤m≤3時 ， g(x)max＝ g(m)＝ 3m2－ 9； ② 當 m2時 ， g(x)在 [2,
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