正余弦定理解三角形教案(編輯修改稿)
2025-05-14 04:23 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ＝1，聯(lián)立解得sin A＝，再由正弦定理得＝，代入數(shù)據(jù)解得a＝2.答案 2考點二 利用余弦定理解三角形【例2】?在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且＝－.(1)求角B的大??；(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面積．[審題視點] 由＝－，利用余弦定理轉化為邊的關系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B＝，cos C＝.將上式代入＝－得：＝－，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cos B＝＝＝－.∵B為三角形的內(nèi)角，∴B＝π.(2)將b＝，a＋c＝4，B＝π代入b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，∴13＝16－2ac，∴ac＝3.∴S△ABC＝acsin B＝. (1)根據(jù)所給等式的結構特點利用余弦定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的關鍵．(2)熟練運用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用．【訓練2】已知A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為a，b，c，且2cos2 ＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面積．解 (1)由2cos2 ＋cos A＝0，得1＋cos A＋cos A＝0，即cos A＝－，∵0＜A＜π，∴A＝.(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，A＝，則a2＝(b＋c)2－bc，又a＝2，b＋c＝4，有12＝42－bc，則bc＝4，故S△ABC＝bcsin A＝.考點三 利用正、余弦定理判斷三角形形狀【例3】?在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，試判斷△ABC的形狀．[審題視點] 首先邊化角或角化邊，再整理化簡即可判斷．解 由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，即b2sin Acos B＝a2cos Asin B，即sin2Bsin Acos B＝sin2Acos Bsin B，所以sin 2B＝sin 2A，由于A，B是三角形的內(nèi)角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.故△ABC為等腰三角形或直角三角形． 判斷三角形的形狀的基本思想是；利用正、余弦定理進行邊角的統(tǒng)一．即將條件化為只含角的三角函數(shù)關系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關系式；或將條件化為只含有邊的關系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關系．【訓練3】 在△ABC中，若＝＝；則△ABC是( )．A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C
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