二次函數(shù)綜合動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題——三角形存在問(wèn)題培優(yōu)教案一橫版(編輯修改稿)
2025-05-13 13:00 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 示，拋物線y=ax2ax2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1) 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；(2) y=12x212x2；(3) P1（1，1），P2（2，1）.【解析】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90176。，∠AC0+∠OAC=90176。，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90176。，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；（2）∵拋物線y=ax2ax2過(guò)點(diǎn)B（3，1），∴1=9a3a2，解得：a=12，∴拋物線的解析式為y=12x212x2；（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過(guò)點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，如圖（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90176。，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（1，1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在拋物線 y=12x212x2上；②若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過(guò)點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，如圖（2），同理可證△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（2，1），經(jīng)檢驗(yàn)P2（2，1）也在拋物線y=12x212x2上；③若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過(guò)點(diǎn)P3作P3H⊥y軸，如圖（3），同理可證△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），經(jīng)檢驗(yàn)P3（2，3）不在拋物線y=12x212x2上；故符合條件的點(diǎn)有P1（1，1），P2（2，1）兩點(diǎn)． 五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1. （曲靖模擬）如圖，已知二次函數(shù)y=ax24x+c的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)C（0，5）．（1）求該二次函數(shù)的解析式和它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）在上面所求二次函數(shù)的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P（2，2），連接OP，找出x軸上所有點(diǎn)M的坐標(biāo)，使得△OPM是等腰三角形．【答案】(1) y=x24x5， B（5，0）；(2) M的坐標(biāo)是（4，0）、（2，0）、（22，0）、（22，0）.【解析】解：（1）根據(jù)題意，得0＝a(1)24(1)+c5＝a0240+c，解得a＝1c=5，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x24x5，當(dāng)y=0時(shí)，x24x5=0，解得：x1=5，x2=1，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），∴B（5，0），答：該二次函數(shù)的解析式是y=x24x5，和它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)是（5，0）．（2）令y=0，得二次函數(shù)y=x24x5的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)B（5，0），由于P（2，2），符合條件的坐標(biāo)有共有4個(gè)，分別是M1（4，0）M2（2，0）M3（22，0）M4（22，0），答：x軸上所有點(diǎn)M的坐標(biāo)是（4，0）、（2，0）、（22，0）、（22，0），使得△OPM是等腰三角形．2. （德宏州）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象的對(duì)稱軸是直線x=2，且過(guò)點(diǎn)A（0，3）．（1）求b、c的值；（2）求出該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（3）如果某個(gè)一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)M．問(wèn)在這個(gè)一次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1) b=4，c=3 ；(2) B（3，0），C（1，0）；(3) P的坐標(biāo)是（65，35）或（2，1）或（3， 32）或（1， 12）.【解析】解：（1）二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象的對(duì)稱軸是直線x=2，且過(guò)點(diǎn)A（0，3），代入得： b21=2，3=c，解得：b=4，c=3，答：b=4，c=3．（2）把b=4，c=3代入得：y=x24x+3，當(dāng)y=0時(shí)，x24x+3=0，解得：x1=3，x2=1， B（3，0），C（1，0），答：二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是（3，0），（1，0）．（3）存在：理由是：y=x24x+3， =（x2）21，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），設(shè)一次函數(shù)的解析式是y=kx+b，把（0，0），（2，1）代入得：0＝b1＝2k+b，解得：k＝12b＝0，∴y= 12x，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（x， 12x），取BC的中點(diǎn)M，以M為圓心，以BM為半徑畫弧交直線于Q、H，則Q、H符合條件，由勾股定理得；（x2）2+( 12xx?0)2=12，解得：x1= 65x，x2=2，∴Q（65， 35），H（2，1）；過(guò)B作BF⊥X軸交直線于F，把x=3代入y= 12x得：y= 32，∴F（3， 32），過(guò)C作CE⊥X軸交直線于E，同法可求：E（1， 12），∴P的坐標(biāo)是（65，35）或（2，1
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