20xx版高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)-增分策略-專(zhuān)題二-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)-第3講-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用試題(編輯修改稿)
2025-05-13 12:01 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ＝ln，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法知，f(x)在(0,1)上是增函數(shù)．故選A.]2．B [f′(x)＝3ax2－6x，當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，則當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)0；x∈(0，)時(shí)，f′(x)0；x∈(，＋∞)時(shí)，f′(x)0，注意f(0)＝1，f()＝0，則f(x)的大致圖象如圖1所示．不符合題意，排除A、C.圖1當(dāng)a＝－時(shí)，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，則當(dāng)x∈(－∞，－)時(shí)，f′(x)0，x∈(－，0)時(shí)，f′(x)0，x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)0，注意f(0)＝1，f(－)＝－，則f(x)的大致圖象如圖2所示．不符合題意，排除D.圖2]3．C [當(dāng)x＝0時(shí)，ax3－x2＋4x＋3≥0變?yōu)?≥0恒成立，即a∈R.當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，ax3≥x2－4x－3，a≥，∴a≥max.設(shè)φ(x)＝，φ′(x)＝＝－＝－0，∴φ(x)在(0,1]上遞增，φ(x)max＝φ(1)＝－6，∴a≥－6.當(dāng)x∈[－2,0)時(shí)，a≤，∴a≤min.仍設(shè)φ(x)＝，φ′(x)＝－.當(dāng)x∈[－2，－1)時(shí)，φ′(x)0，當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，φ′(x)0.∴當(dāng)x＝－1時(shí)，φ(x)有極小值，即為最小值．而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2.綜上知－6≤a≤－2.]4．A [f′(x)＝3x2＋2ax＋b；由已知x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的不同兩根，當(dāng)f(x1)＝x1x2時(shí)，作y＝x1，y＝x2與f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三個(gè)不同交點(diǎn)．即方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三個(gè)不同實(shí)根．]熱點(diǎn)分類(lèi)突破例1 (1)1 (2)B解析 (1)f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)．將(2,7)代入切線(xiàn)方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1.(2)f′(x)＝3ax2＋3，由題設(shè)得f′(1)＝－6，所以3a＋3＝－6，a＝－(x)＝－3x3＋3x，f(1)＝0，切線(xiàn)l的方程為y－0＝－6(x－1)，即y＝－6x＋＝16＝.跟蹤演練1 4解析 設(shè)A(x0，y0)，則C1在A(yíng)處的切線(xiàn)的斜率為f′(x0)＝3ax，C2在A(yíng)處的切線(xiàn)的斜率為－＝－，又C1在A(yíng)處的切線(xiàn)與C2在A(yíng)處的切線(xiàn)互相垂直，所以(－)3ax＝－1，即y0＝3ax，又ax＝y(tǒng)0－1，所以y0＝，代入C2：x2＋y2＝，得x0＝177。，將x0＝177。，y0＝代入y＝ax3＋1(a0)，得a＝4.例2 解 (1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝＝，因?yàn)閒(x)在x＝0處取得極值，所以f′(0)＝0，即a＝0.當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，從而f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為y－＝(x－1)，化簡(jiǎn)得3x－ey＝0.(2)由(1)知f′(x)＝.令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0，解得x1＝，x2＝.當(dāng)x＜x1時(shí)，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，g(x)＞0，即f′(x)＞0，故f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x＞x2時(shí)，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)為減函數(shù)．由f(x)在[3，＋∞)上為減函數(shù)，知x2＝≤3，解得a≥－，故a的取值范圍為.跟蹤演練2 (1)B (2)(－，＋∞)解析 (1)由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0x≤1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1]．(2)對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－)2＋＋2a.當(dāng)x∈[，＋∞)時(shí)，f′(x)的最大值為f′()＝＋2a.令＋2a0，解得a－.所以a的取值范圍是(－，＋∞)．例3 解 (1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝p＋－＝.由條件知f′(x)≥0在(0，＋∞)內(nèi)恒成立，即p≥恒成立．而≤＝1，當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為1，所以p≥1，即實(shí)數(shù)p的取值范圍是[1，＋∞)．(2)設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)，則已知等價(jià)于h(x)0在[1，e]上有解，即等價(jià)于h(x)在[1，e]上的最大值大于0.因?yàn)閔′(x)
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