【文章內(nèi)容簡介】 略．30. 當(dāng)一架超音速飛機在高空中飛行時，由于飛機的速度比聲速快，所以人們常常先看到飛機在天空中掠過，片刻之后才能聽到震耳的隆隆聲．問題是，在同一時刻，天空中的什么區(qū)域內(nèi)可以聽到飛機的聲音． (1) 設(shè)空間有一點聲源，它在 時發(fā)出的聲波以音速向四面八方傳傳播，經(jīng)過時間s之后所能達到的最大傳播范圍是一個以聲源為心的球面，球面半徑恰好是聲波在 s 時間內(nèi)所傳播的距離，因此，人們常把聲波稱為球面波，以為半徑的球面稱為 s 時的波前．想像能聽到飛機聲音的區(qū)域是什么形狀的． (2) 以 時飛機的位置為坐標原點，以飛機前進的方向作為 x 軸，建立三維直角坐標系．當(dāng)時，飛機處在點，試給出 [0，a] 時間段內(nèi)任一時刻 s，飛機所發(fā)出的球面波的波前的方程． (3) 試消去 s，求包圍能聽到飛機聲音區(qū)域(即上述球面所充斥區(qū)域)的曲面的方程．解：（1）應(yīng)為錐形區(qū)域?！　。?）容易得到，時，飛機處于．由于波前為一球面，且其半徑為，因此，此時刻的波前方程為：?。?）由于任一時刻的波前球面與所述錐形區(qū)域相切，從而可知錐頂角的一半．從而錐面的方程為．將代入方程即得：飛機聲音區(qū)域(即上述球面所充斥區(qū)域)的曲面的方程為：習(xí) 題 31. 試按 n 的幾種不同取法，求數(shù)列與數(shù)列的極限近似值，觀察所得計算結(jié)果，以檢驗兩個公式的正確性.解：取n=3i，（i=1，2，3，……）時，計算得i12345678 37 17 59 69 71 42 66 07 584 944 771 975 9971.1.1.取n=5i，（i=1，2，3，……）時，計算得i1234567 32 84 49 11 85 19 26 347 733 9891.1.1.1.取n=10i，（i=1，2，3，……）時，計算得i12345 74 81 92 15 27 334 9831.1.1.可以看出，公式：成立.2. 設(shè)數(shù)列滿足及，寫出這一數(shù)列的前 10 項，考察所給數(shù)列的變化趨勢，進而猜測這一數(shù)列的極限值. 解：n0123456789xn1. 05 85 89 72 93 73 93 982.從表中可以看出：.事實上，當(dāng)判定數(shù)列確實存在后，設(shè). 對兩邊取n→∞時的極限可得：兩邊平方，整理后得到方程：a2–a–2=0. 解得：a=2（–1是這個無理方程的增根，舍去），與剛才的結(jié)果相同.3. 復(fù)利，即利滾利，不僅是一個經(jīng)濟問題，而且是一個古老又現(xiàn)代的經(jīng)濟社會問題. 隨著商品經(jīng)濟的發(fā)展，復(fù)利計息將日益普遍，同時，復(fù)利的期限將日益變短，即不僅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率.（1）設(shè)本金為 p，年利率為 r，若一年分為 n 期，每期利率為 r/n，存期為 t 年，則本利和為多少?（2）現(xiàn)某同學(xué)有元，年利率，存期年，請按（?。┘径?；（ⅱ）月；（ⅲ）日；（ⅳ）小時. 計算本利和；（3）猜測以連續(xù)復(fù)利（即隨時計算利息并加入本金）的方式計算時，本利和為多少？解：（1）設(shè)本金為 p，年利率為 r，若一年分為 n 期，每期利率為 r/n，則本利和為：第 1 期后 第 2 期后 第 n 期，即一年后 這樣，t 年后，本利和為 （1）（2）某同學(xué)有 p=1 000 元，年利率，存期，那么（?。┌醇径扔嬒ⅲ?n=4，代入（1）式，計算本利和約為 1 元；（ⅱ）按月計息，即 n=12，代入（1）式，計算本利和約為 1 元；（ⅲ）按日計息，即 n=365，代入（1）式，計算本利和約為 1 元；（ⅳ）按小時計息，即 n=36524，代入（1）式，計算本利和約為 1 元.（3） 以連續(xù)復(fù)利計息，即隨時計算利息并加入本金的方式計算，此時即求 n→∞ 時（1）的極限，從而本利和為pert.4. 在求極限時，若相鄰兩次的計算結(jié)果（在符合精度要求的條件下）相同時，則認為計算結(jié)果已達到精度要求，計算停止，并取計算結(jié)果為極限的近似值. 請用這一方法研究極限： 解：計算結(jié)果列表如下：n…199819992000…2997299829993000…表達式的值… 64 65 66… 85 85 86 86…5. 根據(jù)給定函數(shù)的圖形，求解以下極限問題：（1） （i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）；（vii）.題圖見教材。解：如圖可得：（i）=2（ii）=0（iii）由于≠，故不存在.（iv）=2（v）=2（vi）=0（vii）≠，故不存在.（2）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）. 解：如圖可得：（i）=0（ii）=0（iii）由于=，故=0.（iv）沒定義（v）=+∞（vi）=+∞（3）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.題圖見教材。 解：如圖可得： （i）=–∞（ii）=–∞（iii）因為==–∞，故=–∞（iv）=1（v）=2（vi）=2（4）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）. 解：如圖可得： （i）=3（ii）=3（iii）由于==3，故=3（iv）=3（v）=0（vi）不存在（5）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.題圖見教材。 解：如圖可得： （i）=–∞（ii）=+∞（iii）由于≠，則不存在.（iv）沒定義（v）=0（vi）=2（6）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）. 解：如圖可得： （i）=1（ii）=–∞（iii）因為≠，故不存在.（iv）=（v）=+∞（vi）=+∞6. 計算下列各極限：（1）；解：=–3（2）；解：=123=36（3）；解：==–3（4）；解：（5）；解：（6）；解：（7）；解：7. 計算下列各極限：（1）；解：（2）；解：（3）；解：（4）；解：（5）；解：（6）；解：8. 在距建筑物 L m 處看建筑物的視角為，由此可知建筑物的高度為.（1）當(dāng)m，時，試用公式計算建筑物的高度；（2）當(dāng)很小時，由于與是等價無窮小，從而可將公式近似為，求（1）中的，比較二者的結(jié)果.解：（1）當(dāng)m，時，=500tan6176?！?1（m）（2）用近似公式計算為（m），它比（1）中的精確值較小，且誤差較大.9. 已知某藥物在人體內(nèi)的代謝速度與藥物進入人體的時間 t 呈現(xiàn)函數(shù)關(guān)系. 試畫出該函數(shù)的大致圖形，并求出代謝速度最終的穩(wěn)定值（即時的極限）. 解：函數(shù)大致圖形如下：注意到，從而代謝速度最終的穩(wěn)定值是 .10. 假定某種疾病流行天后，感染的人數(shù) N 由下式給出： （1）從長遠考慮，將有多少人染上這種??？（2）有可能某天會有 100 多萬人染上病嗎？50 萬人呢？25 萬人呢？（注：不必求出到底哪天發(fā)生這樣的情形.）解：（1） 注意到，故從長遠考慮，將有 100 萬人染上這種病.（2） 不會有 100 多萬人染上這種病，但可能某一天會有 50 萬人或 25 萬人染上它.11. 設(shè)清除費用與清除污染成分的 x % 之間的函數(shù)模型為求（1）；（2）；（3）能否 100 % 地清除污染.解：（1） （2） （3） 由（2）可知，要想 100 % 地清除污染，清除費用是無限大的，因此不能否 100 % 地清除污染.12. 已知生產(chǎn) x 對汽車擋泥板的成本是（單位：元），每對的售價為 40 元. 于是銷售收入為.（1）出售 x+1 對比出售 x 對所產(chǎn)生的利潤增長額為當(dāng)產(chǎn)量穩(wěn)定、生產(chǎn)量很大時，這一增長額為，試求這一極限值；（2）生產(chǎn)了 x 對擋泥板時，每對的平均成本為，同樣當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量很大時，每對的成本大致是，試求這一極限.解：（1）求，實質(zhì)上是求于是，（2）13. 放入 200 ℃ 烤爐中的甘薯的溫度 T 由下列關(guān)于時間 t 的函數(shù)給出：其中 T 的單位是 ℃，t 以 min 為單位，k0.（1） 若甘薯的初始溫度為20℃，求與（2） 若甘薯溫度又滿足（℃/min），求 k.解：（1）放入 200 ℃ 烤爐中的甘薯的溫度 T 隨著時間的變化，將趨近 200 ℃，即有 （1）又甘薯的初始溫度為 20 ℃，即有T(0)=a(1–e–k0)+b=b=20將 b=20，代入（1）式，得 a=180.（2）令1–e–kt=u，則，且當(dāng) t→0 時，u→0，將它們代入上式，得　　　圖3–26　　　　　　　　　　　　　　　　　圖3–27又由條件，得到 k=1/90.14. 分形幾何中有一種曲線，叫Koch雪花（圖3–26），它可通過遞歸方法生成. 設(shè)有一個邊長為1的正三角形；將其每一邊三等分，以中間三分之一段為邊向外作正三角形，如圖3–27所示，每一條邊生成四條新邊；又將得到的多邊形的每一條邊三等分，都以中間三分之一段為邊向外作正三角形，……，如此進行下去. 每一次等分并向外作正三角形稱為一次遞歸.（1）寫出第一個三角形的周長，一次遞歸所得多邊形的周長，二次遞歸所得多邊形的周長，……，n 次遞歸所得多邊形的周長；（2）寫出第一個三角形的面積，一次遞歸所得多邊形的面積，二次遞歸所得多邊形的面積，……，n 次遞歸所得多邊形的面積；（3）求（1）（2）中所得通項當(dāng)時的極限，并考慮為什么會有這樣的結(jié)果.解：（1）最初三角形的周長是 P0=3.將其每一邊三等分，以中間三分之一段為邊向外作正三角形，每一條邊生成四條新邊，新邊長為原來邊長的1/3，故一次遞歸所得多邊形的周長為.依次進行下去，得二次遞歸所得多邊形的周長，……n 次遞歸所得多邊形的周長.（2）最初三角形的面積是.將其每一邊三等分，以中間三分之一段為邊向外作正三角形，生成三個新三角形，每個的面積為原來三角形面積的1/9，故一次遞歸所得多邊形的面積為.依次進行下去，得二次遞歸所得多邊形的面積，……注意，遞歸中：（1）每一條邊生成四條新邊；（2）下一步，四條新邊共生成四個新的小三角形，得到 n 次遞歸所得多邊形的面積（3）有（1）、（2）可得這意味著 Koch 雪花具有有界的面積，無窮大的邊長.15. 由實驗知，在培養(yǎng)基充足等條件滿足時，某種細菌繁殖的速度與當(dāng)時已有的數(shù)量 A0 成正比，即 v=kA0（為比例常數(shù)），為求經(jīng)過時間以后細菌的數(shù)量，試按以下過程進行計算：（1）為求時的細菌數(shù)量，將時間間隔 [0，t] 分成等份，將每一等份中的細菌繁殖速度近似看作不變時，計算第一段時間末的細菌的總數(shù)量；第二段時間末的細菌的總數(shù)量；……；歸納給出最后一段時間末的細菌的總數(shù)量（注：這只是細菌數(shù)量的一個近似值）；（2）當(dāng)時間間隔分得越細時，（1）中所得值越接近時的細菌總數(shù)量，試用你所學(xué)的知識求這里的精確值──即求時細菌總數(shù)量的精確值；（3）若測得 5 天時的細菌總數(shù)為 936 個，10 天時的細菌總數(shù)為 2 190 個，用（2）中所得公式，求開始時的細菌個數(shù)與 60 天后細菌的總數(shù).解：（1）為了計算出時的細菌數(shù)量，我們將時間間隔 [0，t] 分成 n 等份. 由于細菌的繁殖是連續(xù)變化的，在很短的一段時間內(nèi)數(shù)量的變化很小，繁殖速度可近似看作不變，因此，在第一段時間內(nèi)細菌繁殖的數(shù)量為：，第一段時間末細菌的總數(shù)量為；同樣，第二段時間末的細菌的總數(shù)量為；……；依此類推，到最后一段時間末的細菌的總數(shù)量為.（2）顯然，（1）計算出的結(jié)果只是細菌數(shù)量的一個近似值，因為我們假設(shè)了在每一小段時間（i=1，2，…，n）內(nèi)細菌繁殖的速度不變（同時還假設(shè)了各小段時間內(nèi)只繁殖一次）. 可以看出，當(dāng)時間間隔分得越細（即當(dāng) n 等份時，n 越大）時這個值越接近精確值，若對時間間隔無限細分（即當(dāng) n 等份時，n→∞），則可求得其精確值. 所以，經(jīng)過時間 t 后細菌的總數(shù)是將這個結(jié)果與第 3 題中連續(xù)復(fù)利的計算公式比較，發(fā)現(xiàn)二者是一樣的. 這并不偶然，事實上，現(xiàn)實世界中不少事物的生長規(guī)律都服從這個模型，所以也稱 y=Aekt 為生長函數(shù).（3）細菌繁殖服從生長函數(shù) y=A0ekt. 由題目所給數(shù)據(jù)，得解此方程組，得A0=，k=. 即開始時細菌個數(shù)為400. 按此速度增長下去，則 60 天后細菌個數(shù)為y（60）= A0e60k≈ 7810716.（兔子問題）“有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生產(chǎn)小兔一對，以后每月生產(chǎn)一對小兔. 而所生小兔也在第二個月成年，第三個月生產(chǎn)小兔一對，以后也每月生產(chǎn)小兔一對. 假定每產(chǎn)一對小兔必為一雌一雄，且均無死亡，試問一年后共有小兔幾對？”這一生產(chǎn)過程可用一樹狀圖來表示，如圖3–28所示，其中●表示未成年兔，○表示成年兔.圖3–28（1）試用樹狀圖計算出一年內(nèi)各月末小兔的數(shù)量，考察鄰近三個月小兔數(shù)量間聯(lián)系，給出計算小兔數(shù)量的遞推關(guān)系，最后計算出一年后的小兔數(shù)量；（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明，n 月后小兔的總量滿足如下公式（3）利用（2）中通項公式，求兩個比值極限：與的精確值，用精確值給出近似值，.解：（1）從圖3–28可以看出，自三月份開始，每月的兔子總數(shù)恰好等于它前面兩個月的兔子總數(shù)之和. 按規(guī)律可以寫出數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144可見一年后共有兔子 144 對.這是一個有限項數(shù)列，按上