【正文】 列，其中的每一項(xiàng)稱為 Fibonacci 數(shù).若設(shè) F1=1，F(xiàn)2=1，F(xiàn)3=2，F(xiàn)4=3，F(xiàn)5=5，……，則此數(shù)列應(yīng)有下列遞推關(guān)系：Fn+2=Fn+1+Fn （n=1，2，3，……）（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明，月后小兔總量的公式是： （2）當(dāng) n=1 時(shí)，當(dāng) n=2 時(shí)，當(dāng) n=3 時(shí)，滿足遞推關(guān)系式（1）.假設(shè)當(dāng)nk+1時(shí)，（2）滿足遞推關(guān)系式（1），即有Fn+2=Fn+1+Fn （n=1，2，3，……，k–2）.那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，也滿足遞推關(guān)系式（1），有數(shù)學(xué)歸納法可知公式（2）成立.（3）∵∴由于，從而故前者剛好就是黃金分割值.　　圖3–2917. 為求極限（其中與h無(wú)關(guān)）的值，考察圖3–29，圖3–29中標(biāo)明了的和（是的增量，即為h）.（1）通過(guò)仔細(xì)考查圖形可知：扇形 OAQ 的面積△OQR 的面積扇形 OBR 的面積試用一個(gè)數(shù)學(xué)不等式表示這一關(guān)系；（2）利用（1）中不等式，求本題中的極限.解：（1）考查圖形可知：扇形 OAQ 的面積△OQR 的面積扇形 OBR 的面積 即：（2）由上式可得兩邊取 h→0 時(shí)的極限，得到18. 求下列函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的連續(xù)性：（1）；解：是初等函數(shù)，故它在定義區(qū)間（–∞，+∞）上是連續(xù)的.（2）；解：定義區(qū)域：{（x，y）|sin（x2+y2）+1≠0}={（x，y）|sin（x2+y2）≠–1}={（x，y）|x2+y2≠2kπ–π/2，k是正整數(shù)}是多元初等函數(shù)，故它在定義區(qū)域上是連續(xù)的.（3）；解：函數(shù)的定義域是（–∞，+∞）.當(dāng) x4 時(shí)，f（x）=2x+3 是初等函數(shù)，從而是連續(xù)的.當(dāng) x4 時(shí)，f（x）=7+16/x 是初等函數(shù)，且在其上有定義，從而也是連續(xù)的.下面考察 x=4 時(shí)，函數(shù)的連續(xù)性.由于故，即于是，f（x）在 x=4 處是連續(xù)的.綜上可得，函數(shù)在定義域上是連續(xù)的.（4）；解：函數(shù)的定義域是（–∞，+∞）.當(dāng)x≠1時(shí)，f（x）=是初等函數(shù)，且在其上有定義，從而是連續(xù)的.下面考察 x=1 時(shí)，函數(shù)的連續(xù)性.由于，從而當(dāng) x→1 時(shí)，函數(shù)極限不存在.于是，f（x）在 x=1 處是間斷的.綜上可得，函數(shù)在（–∞，1）∪（1，+∞）上是連續(xù)的.（5）解：定義區(qū)域：{（x，y）|1–x2–y2–z20}={（x，y）| x2+y2+z21}是多元初等函數(shù)，故它在定義區(qū)域上是連續(xù)的. 解：如圖可得： （i）=–∞（ii）=+∞（iii）由于≠，則不存在.（iv）沒(méi)定義（v）=0（vi）=2（6）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）. 解：如圖可得： （i）=1（ii）=–∞（iii）因?yàn)椤?，故不存?（iv）=（v）=+∞（vi）=+∞6. 計(jì)算下列各極限：（1）；解：=–3（2）；解：=123=36（3）；解：==–3（4）；解：（5）；解：（6）；解：（7）；解：解：如圖可得：（i）=2（ii）=0（iii）由于≠，故不存在.（iv）=2（v）=2（vi）=0（vii）≠，故不存在.（2）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）. 解：如圖可得：（i）=0（ii）=0（iii）由于=，故=0.（iv）沒(méi)定義（v）=+∞（vi）=+∞（3）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.題圖見教材。解：要求母線平行于 x 軸且過(guò)已知曲線的柱面方程，只要將方程組的 x 消去即可：①②2得：同理母線平行于 y 軸且過(guò)所給曲線的柱面方程只要將方程組的 y 消去：①+②得：23．求球面與平面的交線在 xOy 面上的投影方程．解：過(guò)此交線且母線平行于 z 軸的柱面方程為：，整理得：，所以交線在 xOy 面上的投影方程為：24．求旋轉(zhuǎn)拋物面≤≤在三坐標(biāo)面上的投影：解：≤≤≤≤，≤≤≤25．求曲線在 xOy 面上的投影曲線的方程，并指出原曲線是什么曲線．解：消去 z 得到：；原曲線可化為，由此可知是一條拋物線．26．指出下列方程所表示的曲線：（1）；解：將②代入①得到，所以是一條雙曲線．（2）；解：將②代入①得到，是一條拋物線．（3）；解：將②代入①得到，為一橢圓．27．求直線 向上平移1個(gè)單位，又向左平移2個(gè)單位，最后按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的直線方程，并畫出變換后的圖形，給出所用的變換表達(dá)式．解：變換表達(dá)式①為：，代入直線方程得：；變換表達(dá)式②為：，代入直線方程得：；變換表達(dá)式③為：，代入方程為：28. 在單位圓周上均勻撒布 360 個(gè)點(diǎn)，將仿射變換作用其上后，試研究有無(wú)不變的向量或變到相反方向的向量．需編程解決．解略．29. 在單位圓周上隨機(jī)撒布一批點(diǎn)，經(jīng)過(guò)多次仿射變換后，試研究有無(wú)不變的向量或變到相反方向的向量． 需編程解決．解略．30. 當(dāng)一架超音速飛機(jī)在高空中飛行時(shí)，由于飛機(jī)的速度比聲速快，所以人們常常先看到飛機(jī)在天空中掠過(guò)，片刻之后才能聽到震耳的隆隆聲．問(wèn)題是，在同一時(shí)刻，天空中的什么區(qū)域內(nèi)可以聽到飛機(jī)的聲音． (1) 設(shè)空間有一點(diǎn)聲源，它在 時(shí)發(fā)出的聲波以音速向四面八方傳傳播，經(jīng)過(guò)時(shí)間s之后所能達(dá)到的最大傳播范圍是一個(gè)以聲源為心的球面，球面半徑恰好是聲波在 s 時(shí)間內(nèi)所傳播的距離，因此，人們常把聲波稱為球面波，以為半徑的球面稱為 s 時(shí)的波前．想像能聽到飛機(jī)聲音的區(qū)域是什么形狀的． (2) 以 時(shí)飛機(jī)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以飛機(jī)前進(jìn)的方向作為 x 軸，建立三維直角坐標(biāo)系．當(dāng)時(shí)，飛機(jī)處在點(diǎn)，試給出 [0，a] 時(shí)間段內(nèi)任一時(shí)刻 s，飛機(jī)所發(fā)出的球面波的波前的方程． (3) 試消去 s，求包圍能聽到飛機(jī)聲音區(qū)域(即上述球面所充斥區(qū)域)的曲面的方程．解：（1）應(yīng)為錐形區(qū)域。16．試求下列直線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）；解：法1：①2+②消去z，代入①得到所以直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：法2：直線的方向向量為(2,3,1) (3,5,2)=(1,7,19)直線上一點(diǎn)所以直線的方程為： （2）；解：法1：②代入①得到：，②變形后即得：所以所求方程為：．法2：直線的方向向量為(1，1，2) (0，1，6)=(8，6，1)直線上一點(diǎn)為（2，3，0）所以直線方成為?。?7．兩條直線的夾角是指兩條直線的方向向量所夾的角（0），求下列兩直線之間的夾角：（1）；解：第一條直線的方向向量為：（3，2，1），第二條直線的方向向量為（2，1，3）設(shè)兩條直線的夾角為，則，因?yàn)?，所以（2）；解：經(jīng)過(guò)變形得到：第一條直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即為（3，4，1）,第二條直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即為（2，1，2）,所以，.18. 證明兩直線垂直．解：經(jīng)過(guò)變形得到：第一條直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即為（1，1，2）,第二條直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即為（0，2，1）,所以，.所以兩條直線垂直．19．確定下列方程組所表示的曲線并畫出草圖：（1）；解：兩個(gè)三元一次方程表示兩個(gè)平面，因此此方程組表示的是兩個(gè)平面的交線．圖略．（2）；解：第一個(gè)方程表示一個(gè)球面，第二個(gè)方程代表一個(gè)錐面．他們的交線是一個(gè)圓圖略．（3）；解：第一個(gè)方程表示一個(gè)拋物面，第二個(gè)方程表示一個(gè)平面．它們的交線是一個(gè)圓．圖略．20．將空間曲線的參數(shù)方程化成一般方程．解：由①，②可得：；由①③可得：曲線為以上兩曲面的交線，所以曲線的一般方程為：15．按指定條件求出直線方程：（1）平行于直線且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2，1）；解：法1：經(jīng)過(guò)點(diǎn)平行于兩個(gè)平面的直線，可以由經(jīng)過(guò)點(diǎn)分別平行于兩個(gè)平面的平面相交而成，因而所求直線即為過(guò)點(diǎn)分別平行于已知平面的兩個(gè)平面的交線．過(guò)點(diǎn)（1，2，1）平行于的平面方程為即過(guò)點(diǎn)（1，2，1）平行于的平面方程為即因此所求直線的一般方程為： 法2：直線的方向向量為 (1，1，2)180。從而可知，距離減少速度為1 500 km/h。(2a + 3b)解 47． 已知= i＋3k，=j＋3k． (1)求△OAB的面積；(2)求與之間的夾角正弦． 解 　，所以所以三角形的面積為 48． 已知a＝(2， 3，1)，b＝(1， 1，3)，c＝(1， 2，0)，計(jì)算下列各式：(1) ()c ()b (2) 解　(1) ()c ()b=(2 + 3 + 3)c (2 + 6 + 0)b=(0，8，24) (2) (8，5，1)(1，2，0)49． 一架飛機(jī)在某高度并以常速600km/h飛行，一架殲擊機(jī)瞄準(zhǔn)了這一飛機(jī)前進(jìn)路線上的 P 點(diǎn)，以便對(duì)它射擊．飛機(jī)距 P 點(diǎn)2km時(shí)，殲擊機(jī)以 1 200 km/h的速度飛行，并且距離 P 點(diǎn) 4 km，又若兩機(jī)相距5km。(2) 求r的最大值，可得：，即原物質(zhì)剩余量p減少為原來(lái)的一半時(shí)，反應(yīng)進(jìn)程最快。27． 設(shè)一個(gè)家庭貸款購(gòu)房的能力 y 是其償還能力 u 的 100 倍，而這個(gè)家庭的償還能力 u 是月收入 x 的 20 %．(1) (1)試把此家庭貸款購(gòu)房能力 y 表示成月收入 x 的函數(shù)。從而，則水深表達(dá)式為：其中任意。 (4) 略。習(xí) 題 11．試?yán)觅J款各參數(shù)間的關(guān)系式，完成以下公積金貸款利率表（表19）．表19 個(gè)人住房公積金貸款利率表年份月數(shù)月利率/‰年利率/%月還款額本息總額總利息112到期一次還本付息10 224 10 336 10 448 10 560 11 1 672 11 1 784 11 1 896 11 1 9108 12 2 10120 12 2 2． 某工廠有一水池，其容積為100，原有水為10． ． 試將水池中水的體積表示為時(shí)間 t 的函數(shù)，且問(wèn)需用多少min水池才能灌滿？解 設(shè)水的體積為 V， 則V= + 10(min)3． 以速率A (單位：)往一圓錐形容器注水． 容器的半徑為 R cm，高為H ． 試將容器中水的體積 V 分別表示成時(shí)間 t 與水高度 y 的函數(shù)． 解 4． (手機(jī)服務(wù)的選擇問(wèn)題)假設(shè)目前的手機(jī)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是這樣的：“133 環(huán)保網(wǎng)”的收費(fèi)為每月基本費(fèi)用 50 元，每通話 1 min(不足 1 min按 1 min計(jì)算)再加收 元；“神州行”無(wú)每月基本費(fèi)用，但按每通話 1 min(不足 1 min按 1 min計(jì)算)加收 元計(jì)算話費(fèi)．若僅在本地區(qū)使用手機(jī)，如何選擇手機(jī)服務(wù)？請(qǐng)給出一個(gè)建議．解 133 環(huán)保網(wǎng)話費(fèi)為；神州行話費(fèi)為 ≤0時(shí)，即≥125（h）時(shí)，≤，即使用“133 環(huán)保網(wǎng)”所需交納的話費(fèi)較少， 若每月通話時(shí)間不足 125 min則用“神州行”合適．5． 某公司每天要支付一筆固定費(fèi)用 300 元(用于房租與薪水等)，它所出售的食品的生產(chǎn)費(fèi)用為 1 元/kg，而銷售價(jià)格為 2 元/kg．試問(wèn)他們每天應(yīng)當(dāng)銷售多少 kg 食品才能使公司的收支保持平衡?解 (kg) 6． 設(shè)某商品的供給函數(shù)(即供給量作為價(jià)格的函數(shù))為， 需求函數(shù)(即需求量作為價(jià)格的函數(shù))為， 其中為價(jià)格．(1) (1)在同一坐標(biāo)系中，畫出的圖形；(2) (2)若該商品的需求量與供給量均衡，求其價(jià)格．解 由實(shí)際意義取7． 有一物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知物體所受阻力的大小與物體的運(yùn)動(dòng)速度成正比，但方向相反．當(dāng)物體以4m/s的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，阻力為 2 N，試建立阻力與速度之間的函數(shù)關(guān)系．解 設(shè)8． 一架飛機(jī)起飛用油是一個(gè)固定量，著陸用油是一個(gè)(不同的)固定量，空中飛行每km用油也是一個(gè)固定量，所需的燃料總量是如何依賴于航程距離的？寫出有關(guān)函數(shù)的表達(dá)式．解釋表達(dá)式中常數(shù)的意義．解 設(shè)起飛用油為，著陸用油，空中飛行用油為，則為常量，其中，其中為飛行每km用油量，為航程，因此所需燃料總量9． 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)要估價(jià)財(cái)產(chǎn)，例如對(duì)小汽車或冰箱進(jìn)行估價(jià)．財(cái)產(chǎn)的價(jià)值將隨其使用時(shí)間的加長(zhǎng)而降低，也就是會(huì)貶值．例如最初花 100 000 元購(gòu)買的小汽車，幾年后只值 50 000 元．計(jì)算財(cái)產(chǎn)值的最簡(jiǎn)單方法是利用“貶值直線”，它假定財(cái)產(chǎn)價(jià)值是時(shí)間的線性函數(shù)．如果一個(gè) 1 950 美元的冰箱 7 年后貶得一文不值，求出其價(jià)值作為時(shí)間函數(shù)的表達(dá)式．解 設(shè)財(cái)產(chǎn)價(jià)值為，時(shí)間為，則此線性函數(shù)可設(shè)為時(shí)，；；所以10．(1) 利用表110中的數(shù)據(jù)確定一個(gè)形如的公式．該公式給出了時(shí)刻 (以月計(jì))時(shí)，兔子的數(shù)量． (2) 該兔子種群的近似倍增期是多少? (3) 利用你的方程預(yù)測(cè)該兔子種群何時(shí)達(dá)到1 000只． 表110012345254375130226391 解 （1）解方程組：，所以公式為 （2）由得到：(月) （3）由得到：(月)注：求r的時(shí)候可以選取任意兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，也可以用其他方式進(jìn)行計(jì)算，比如用各相鄰兩組數(shù)據(jù)的差的平均值．結(jié)果略有差異．11