【正文】 ． 旅客乘坐火車時，隨身攜帶物品，不超過 20 kg免費，超過 20 kg部分，每kg收費 元． 超過50 kg部分再加收 50 %． 試列出收費與物品重量的函數關系式． 解 設收費為，物重為，則當≤20時，；≤12． 某停車場收費標準為：凡停車不超過2 h的，收費 2 元；以后每多停車 1 h(不到 1 h仍以 1 h計)增加收費 元．但停車時間最長不能超過 5 h．試建立停車費用與停車時間之間的函數關系模型．解 設收費為，停車時間為，則當≤≤ 13． 設儀器由于長期磨損，使用年后的價值是由下列模型確定的．使用 20 年后，儀器的價值為 8 元．試問當初此儀器的價值為多少? 解 由，將代入得到：14． 生物在穩(wěn)定的理想狀態(tài)下，細菌的繁殖按指數模型增長: (表示 min后的細菌數)假設在一定的條件下，開始時有 2 000 個細菌，且 20 min后已增加到 6 000 個，試問 1 h后將有多少個細菌? 解 15． 大氣壓力隨著離地球表面的高度的增加而呈指數減少：其中是海平面處的大氣壓力，以m計． (1) 珠穆朗瑪峰的頂峰海拔高 8 m，那里的大氣壓力是多少？將其表示為海平面處大氣壓力的百分數；(2) 一架普通商用客機的最大飛行高度大約是 12 000 m． 此高度的大氣壓力是多少？將其表示為海平面處大氣壓力的百分數．解 16． 某工廠的空氣經過過濾使得污染數量(單位：mg/L)正按照方程減少，其中表示時間（單位：h）．如果在前 5 h內消除了 10 % 的污染物： (1) 10 h后還剩百分之幾的污染物？ (2) 污染減少 50 % 需花多少時間？ (3) 畫出污染物關于時間的函數圖象，在圖象上表示出你的計算結果． (4) 解釋污染量以這種方式減少的可能原因．解 (3) 圖像略。17． 某有機體死亡 年后所剩的放射性碳14含量由式給出，其中是初始量． (1) 考古控掘出土的某頭蓋骨含有原來碳14含量的15%，估計該頭蓋骨的年齡．(2) 試根據此方程計算碳14的半衰期．解 (1) 由(2) 18． 一幅佛m爾(Vermeer)(1632—1675)的繪畫含有其原有碳14(半衰期為5 739年)含量的 %．根據這一信息，是否能判斷出該畫是不是贗品，請解釋理由．解 由上一道題目即這幅畫只有40多年的歷史，由畫家的生卒年月判斷這不會是畫家的作品． 19． 某動物種群數量 1 月 1 日低至 700，7 月 1 日高至 900，其總量在此兩值之間依正弦曲線改變． (1) 畫出種群總量關于時間的圖象． (2) 求出種群量作為時間 的函數的表達式，其中 以月為單位計量． 解 (1)(2)設群量為A，則 20． 同一元素的不同類(稱為同位素)可能具有很不同的半衰期．钚240的衰減由公式給出，而钚242的衰減則由公式給出，求钚240和钚242的半衰期． 解 (1) 钚240： (2) 钚242：21． 某一儲水池中水的深度在水的平均深度 7 m上下每隔 6 h完成一次正弦振蕩．如果最小深度為 m，最大深度為 m，求出水的深度表達式(單位：h)(可能的答案很多)．解 設水的深度表達式為：，由題意可知，周期。 22． 在一個擁有80 000人的城市里，在時刻 得感冒的人數為其中 是以天為單位．試求開始感冒的人數及第 4 天感冒的人數．解　由（人）（人） 23． 將下列函數分解成基本初等函數的復合　　(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．解（1）由復合而成；?。?）由復合而成；?。?）由復合而成；?。?）由復合而成．24． 設，求(1)，進而求；(2) 求． 解（1） （2） （3） 25． 求下列函數的反函數，指出定義域：　　(1) ； (2) ； (3)(x ≥．解　(1)；(2)；(3)≤≤ 26． 加拿大芳迪灣(Bay of Fundy)以擁有世界上最大的海潮著稱，其高低水位之差達 15 m 之多．假設在芳迪灣某一特定點，水的深度 （單位：m）作為時間 的函數由給出，其中為自 1994 年 1 月 1 日午夜以來的小時數． (1) 解釋 的物理意義． (2) 求出 的值． (3) 求出 的值，假定連續(xù)兩次高潮位的時間間隔為 h．(4) 解釋 的物理意義．解 (1) 表示海潮的平衡位置高度．(2) =15/2=(3) (4) 表示1994 年 1 月 1 日午夜以來海潮第一次達到最高位置的小時數。(2) (2)如果這個家庭的月收入是 4 000 元，那么這個家庭購買住房可貸款多少? 28． (1) 從表111中所給數據，說明區(qū)間 0≤≤4 上0的根的數目，并給出這些根的近似值的大致位置；012340 (2) 試利用圖形計算器或計算機，在區(qū)間 0≤≤4 上畫圖驗證(1)中所得結果； (3) 利用計算器或計算機估算每個根精確到一位小數； (4) 解釋最小正根為的理由；(5) 求出方程在區(qū)間04上所有根的精確值(如等)．解 (1) 由題目給出的數據可得在0處有一個根，在區(qū)間(1，2)至少存在一個根，在區(qū)間(2，3)至少存在一個根，在區(qū)間(3，4)至少存在一個根．即在區(qū)間[0，4]至少存在四個根； (2) 略；(3) ；(4)(5) ． 29． 決定圖155，156每個圖象的三次多項式．解 (1) 圖象與x軸有三個交點：，因此可設函數為：，把代入：，因此所求方程為：(2) 圖象與x軸有兩個交點，所以其中有一個是重根，如圖可設，因此可設函數為，把帶入得：，因此所求方程為：30． 考慮下圖的圖象． (1) 此函數有多少零點？求零點的近似位置； (2) 計算和的近似值；(3) 該函數在 1 附近是遞增的還是遞減的？ 3 附近情況又如何？解 (1) 如圖可知，此函數有四個零點． (2) (3) 函數在1附近是遞減的，3附近是遞增的． 31． (1) 考慮如圖158(a)所示的函數，求的坐標； (2) 考慮如圖158(b)所示的函數，求用表示的的坐標．解 (a) C所在的直線方程為代入拋物線的方程，是題目給出的交點，所以所求的交點C為　 (b) C所在的直線方程為，代入拋物線的方程：所求的交點C為． 32．化學反應中的催化劑是一種加速反應進程但其本身并不改變的物質．如果反應生成物本身是催化劑，該反應則稱為自催化的．假設其一特定的自催化反應的速率正比于原物質的剩余量與生成物的數量的函數． (1) 將表示為的函數；(2) 當反應進程最快時，的值是多少？解 設元物質總量為Q，由題意可知：(1) ，其中k為正比例常數。 33．在空間直角坐標系中，說明下列各點的位置A(3，1，2)、B(2，3，2)、C(1，2，4)、D(3，0，4)、E(0，0，2)、F(2，6，2)． 解 A(3，1，2)位于第一卦限、B(2，3，2) 位于第四卦限、C(1，2，4) 位于第八卦限、D(3，0，4) 位于平面、E(0，0，2) 位于z軸負向、F(2，6，2) 位于第六卦限．34．求點M(2，3，4)關于(1)各坐標面(2)各坐標軸(3)坐標原點的對稱點的坐標． 解 (1) 關于的對稱點為(2，3，4)，關于的對稱點為(2，3，4)，關于的對稱點為(2，3，4)．(2)關于x軸的對稱點為(2，3，4)，關于y軸的對稱點為(2，3，4)，關于z軸的對稱點為(2，3，4)． (3)關于坐標原點的對稱點的坐標為(2，3，4)．35． 求下列各函數的定義域，并畫出定義域的圖形：(1)； (2) ； (3) ； (4) ． 36． 某公司生產中使用 I 和 II 兩種原料，已知 I 和 II 兩種原料分別使用x單位和y單位可生產U單位的產品，這里并且第 I 種原料每單位的價值為10元，第 II 種原料每單位的價值為 4 元，產品成品每單位的售價為 40 元，試給出其利潤函數． 解 其單位產品利潤為 P=單位價格單位成本=37． 一個燈泡懸吊在半徑為r的圓桌正上方，桌上任一點受到的光照度與光線的入射角的余弦值成正比(入射角是光線與桌面的垂直線之間的夾角)，而與光源的距離平方成反比．試求桌子邊緣所得到的光照度．38． 在平行四邊形ABCD中，已知，M為對角線 AC 與 BD 的交點，試用 a，b 表示，．解 所以39． 已知|a|=5，|b|=3，|a + b|＝7，求|a b|．解 設兩向量之間的夾角為，則由余弦公式，所以， 所以|a－b|40． 由坐標系的原點到一點所引的向量稱為這一點的向徑． 已知在平行四邊形 ABCD 中，三個頂點 A、B、C的向徑表達式為：＝，＝，＝，試求向徑的表達式，如圖 159 所示． 解 41． 一條東西走向的河流，水由東流向西，流速為 1 km/h，某游泳者從河南岸的 A 點以 2 km/h的速度游往對岸，方向為正北． 若河的寬度為4km，畫圖分析游泳者的真實游泳方向，然后求解：(1) 游泳者的游動速度？(2) 游泳者花多長時間可以游至對岸？所游的路程為多少？解 (1) (2) （h），所游路程為：（km） 42． 求下列各對點之間的距離(1) 點 A(0，0，0)與點 B(2，3，1)； (2) 點 C(5，2，3)與點 D(1，3，2)． 解 (1) (2) 43． 在x軸上求與點A(1，2，3)和B(2，3，5)等距離的點． 解 設這個點為：，則解之可得：44． 在 yOz 面上，求與點 A(4，2， 2)， B(3，1，2)和 C(0，5，1)等距離的點． 解 設這個點為：，則解之得：，所以這個點為45． 已知 a=i＋j 4k，b=2i 2j＋k，試求：、|a| 、|b|及()． 解 =； |a|=， |b|=cos()=46． 已知|a|＝4，|b|＝5，()=，試求：(1) (2) (a + b) (3) (3a 2b)問此時的距離減少速度為多少？解 畫圖易知，兩機位置及P點構成的三角形，與兩速度向量和距離減少速度向量組成的三角形相似。習 題 21. 1. 一動點與兩定點 (2，1，3) 和 (4，5，6) 等距離，求此動點的軌跡，并說明它表示一個什么樣的曲面．解: 設動點坐標為（x，y，z），根據兩點間距離公式得 即 為動點軌跡的方程． 所以，該動點的軌跡是一個平面．2. 2. 方程表示什么曲面？解：將已知方程配方得 所以，原方程表示以（1，2，1）為球心，半徑為的球面．3. 3. 求經過點 ，且法向量為 i＋j＋k 的平面方程． 解：設所求平面為 ，法向量為 ．由點法式得 即 為所求平面的方程．4. 4. 一平面經過點 (1，0，2)，且平行于平面2x＋3y－5z＝0，試寫出其法向量，并寫出平面的方程．解：設所求平面為 ，法向量為 已知平面：，其法向量 因為 ，所以 ，即 （為非零常數） 又因點（1，0，2）在平面 上，所以由點法式得 即 為所求平面的方程．5. 5. 求經過三點P(2，3，0)，Q(2，3，4)，R(0，6，0) 的平面方程，并根據方程寫出其法向量．解：法1 設所求平面方程為 ?。?）依題意得 　（2）解（2）式得 （3）將（3）式代入（1）式得 當 時， 即為所求平面的方程，且法向量為 法2　設所求平面為 ，法向量為 依題意 ， 因為P、Q、R都在平面上，所以 , ,即 且 ，（l為非零常數） 所以 即 為所求平面的方程，且法向量為 ．6. 6. 求經過兩點 (1，5，1) 和 (3，2，2)，且平行于y軸的平面方程．試寫出其參數方程．解：由于平面平行y軸 ，設所求平面方程為 　（1） 將已知點代入（1）式得 ?。?） 解（2）式得 （3） 再將（3）式代入（1）式得即 為所求平面的方程． 令 ，則其參數方程為 7. 7. 一平面經過點(4，1，2)，它在x軸和y軸上的截距分別為2和1，求其方程．并將其轉化為平面的參數方程．解：設所求平面方程為 （1） 依題意 ，點（4，1，2）代入（1）式得 即所求平面方程為 令 則平面的參數方程為 8. 8. 求與坐標原點O及點 (2，3，4) 的距離之比為2:1的點的全體所組成的曲面的方程，它表示怎樣的曲面？試給出其參數方程．解：設曲面上的動點坐標為