【正文】 此 10．設(shè)與獨(dú)立，且，求下列事件的概率：，.解 11．已知獨(dú)立，且，求.解 因，由獨(dú)立性有從而 導(dǎo)致 再由 ，有 所以 。求(1) 收到信號(hào)的概率；(2) 當(dāng)收到時(shí)，發(fā)出的概率。解 (1) 記{該球是紅球}，{取自甲袋}，{取自乙袋}，已知，所以(2) 7．某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間，生產(chǎn)同一產(chǎn)品，每個(gè)車間的產(chǎn)量分別占全廠的25%，35%，40%，各車間產(chǎn)品的次品率分別為5%，4%，2%，求該廠產(chǎn)品的次品率。解 {遲到}，{坐火車}，{坐船}，{坐汽車}，{乘飛機(jī)}，則 ，且按題意，.由全概率公式有： 6．已知甲袋中有6只紅球，4只白球；乙袋中有8只紅球，6只白球。解 .3．某人有一筆資金，(1) 已知他已投入基金，再購買股票的概率是多少？(2) 已知他已購買股票，再投入基金的概率是多少？解 記{基金}，{股票}，則(1) (2) .4．給定，驗(yàn)證下面四個(gè)等式： ，解 5．有朋自遠(yuǎn)方來，他坐火車、船、若坐火車，若坐船，若坐汽車，若坐飛機(jī)則不會(huì)遲到。解 記求概率的事件為，則為圖中陰影部分，而，最后由幾何概型的概率計(jì)算公式可得111/3.9．（見前面問答題2. 3）10．已知，求(1),；(2)；(3)；(4)；(5).解 (1)，；(2)；(3)；(4), 。解 記求概率的事件為，樣本點(diǎn)總數(shù)為，而有利的樣本點(diǎn)數(shù)為，所以 .7．總經(jīng)理的五位秘書中有兩位精通英語，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：(1) 事件：“其中恰有一位精通英語”；(2) 事件：“其中恰有二位精通英語”；(3) 事件：“其中有人精通英語”。(6,6), 一共18個(gè)樣本點(diǎn)。(4,4),(4,6),(6,4)。解 分別記題(1)、(2)、(3)的事件為,樣本點(diǎn)總數(shù)(ⅰ)含樣本點(diǎn),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)(ⅱ)含樣本點(diǎn)(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) (ⅲ)含樣本點(diǎn)(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1)。解 本題是無放回模式，樣本點(diǎn)總數(shù).(ⅰ) 最小號(hào)碼為3，只能從編號(hào)為3，4，5，6這四個(gè)球中取2只，且有一次抽到3，因而有利樣本點(diǎn)數(shù)為，所求概率為 .(ⅱ) 最大號(hào)碼為3，只能從1，2，3號(hào)球中取，且有一次取到3，于是有利樣本點(diǎn)數(shù)為，所求概率為 .4．一個(gè)盒子中裝有6只晶體管，其中有2只是不合格品，現(xiàn)在作不放回抽樣，接連取2次，每次取1只，試求下列事件的概率：(1) 2只都合格；(2) 1只合格，1只不合格；(3) 至少有1只合格。求(1) 第一次、第二次都取到紅球的概率；(2) 第一次取到紅球，第二次取到白球的概率；(3) 二次取得的球?yàn)榧t、白各一的概率；(4) 第二次取到紅球的概率。解 習(xí)題二解答 1．從一批由45件正品、5件次品組成的產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求其中恰有1件次品的概率。 解 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)；(8).5. 一批產(chǎn)品中有合格品和廢品，從中有放回地抽取三次，每次取一件，設(shè)表示事件“第次抽到廢品”，試用表示下列事件：(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到廢品；(2) 只有第一次抽到廢品；(3) 三次都抽到廢品；(4) 至少有一次抽到合格品；(2) 只有兩次抽到廢品。 (2) 。習(xí)題一解答1. 用集合的形式寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與隨機(jī)事件：(1) 拋一枚硬幣兩次，觀察出現(xiàn)的面，事件；(2) 記錄某電話總機(jī)一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，事件一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)不超過次}；(3) 從一批燈泡中隨機(jī)抽取一只，測試其壽命，事件壽命在到小時(shí)之間}。解 (1) ， . (2) 記為一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則， . (3) 記為抽到的燈泡的壽命（單位：小時(shí)），則， .2. 袋中有個(gè)球，分別編有號(hào)碼1至10，從中任取1球，設(shè){取得球的號(hào)碼是偶數(shù)}，{取得球的號(hào)碼是奇數(shù)}，{取得球的號(hào)碼小于5}，問下列運(yùn)算表示什么事件：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).解 (1) 是必然事件； (2) 是不可能事件； (3) {取得球的號(hào)碼是2，4}； (4) {取得球的號(hào)碼是1，3，5，6，7，8，9，10}； (5) {取得球的號(hào)碼為奇數(shù)，且不小于5}{取得球的號(hào)碼為5，7，9}； (6) {取得球的號(hào)碼是不小于5的偶數(shù)}{取得球的號(hào)碼為6，8，10}； (7) {取得球的號(hào)碼是不小于5的偶數(shù)}={取得球的號(hào)碼為6，8，10}3. 在區(qū)間上任取一數(shù)，記，求下列事件的表達(dá)式：(1)；(2)；(3)；(4).解 (1) 。 (3) 因?yàn)?，所以?4) 4. 用事件的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件： (1) 出現(xiàn)，都不出現(xiàn)（記為）； (2) 都出現(xiàn)，不出現(xiàn)（記為）； (3) 所有三個(gè)事件都出現(xiàn)（記為）； (4) 三個(gè)事件中至少有一個(gè)出現(xiàn)（記為）； (5) 三個(gè)事件都不出現(xiàn)（記為）； (6) 不多于一個(gè)事件出現(xiàn)（記為）； (7) 不多于兩個(gè)事件出現(xiàn)（記為）； (8) 三個(gè)事件中至少有兩個(gè)出現(xiàn)（記為）。解 (1)； (2)； (3)；(4)； (5). 6. 接連進(jìn)行三次射擊，設(shè)={第次射擊命中}，{三次射擊恰好命中二次}，{三次射擊至少命中二次}；試用表示和。解 這是不放回抽取，樣本點(diǎn)總數(shù)，記求概率的事件為，則有利于的樣本點(diǎn)數(shù). 于是2．一口袋中有5個(gè)紅球及2個(gè)白球，從這袋中任取一球，看過它的顏色后放回袋中，然后，再從這袋中任取一球，設(shè)每次取球時(shí)袋中各個(gè)球被取到的可能性相同。解 本題是有放回抽取模式，樣本點(diǎn)總數(shù). 記(1)(2)(3)(4)題求概率的事件分別為.(ⅰ)有利于的樣本點(diǎn)數(shù)，故 (ⅱ) 有利于的樣本點(diǎn)數(shù)，故 (ⅲ) 有利于的樣本點(diǎn)數(shù)，故 (ⅳ) 有利于的樣本點(diǎn)數(shù)，故 .3．一個(gè)口袋中裝有6只球，分別編上號(hào)碼1至6，隨機(jī)地從這個(gè)口袋中取2只球，試求：(1) 最小號(hào)碼是3的概率；(2) 最大號(hào)碼是3的概率。解 分別記題(1)、(2)、(3)涉及的事件為，則注意到，且與互斥，因而由概率的可加性知5．?dāng)S兩顆骰子，求下列事件的概率：(1) 點(diǎn)數(shù)之和為7；(2) 點(diǎn)數(shù)之和不超過5；(3) 點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)。(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3)。(5,5)。 6．把甲、乙、丙三名學(xué)生隨機(jī)地分配到5間空置的宿舍中去，假設(shè)每間宿舍最多可住8人，試求這三名學(xué)生住不同宿舍的概率。解 樣本點(diǎn)總數(shù)為(1) ；(2) ；(3) 因，且與互斥，因而 .8．設(shè)一質(zhì)點(diǎn)一定落在平面內(nèi)由軸、軸及直線所圍成的三角形內(nèi)，而落在這三角形內(nèi)各點(diǎn)處的可能性相等，計(jì)算這質(zhì)點(diǎn)落在直線的左邊的概率。(5)11．設(shè)是兩個(gè)事件，已知，試求及解 注意到 ，因而 . 于是， ；.習(xí)題三解答1．已知隨機(jī)事件的概率，隨機(jī)事件的概率，條件概率，試求及.解 2．一批零件共100個(gè)，次品率為10%，從中不放回取三次（每次取一個(gè)），求第三次才取得正品的概率。求他最后可能遲到的概率。求下列事件的概率：(1) 隨機(jī)取一只袋，再從該袋中隨機(jī)取一球，該球是紅球；(2) 合并兩只袋，從中隨機(jī)取一球，該球是紅球。解 8．，由于通信受到干擾，當(dāng)發(fā)出時(shí)，同樣，當(dāng)發(fā)出信號(hào)時(shí)。解 記 {收到信號(hào)}，{發(fā)出信號(hào)}(1) (2) .9．設(shè)某工廠有三個(gè)車間，生產(chǎn)同一螺釘，各個(gè)車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%，35%，40%，各個(gè)車間成品中次品的百分比分別為5%，4%，2%，如從該廠產(chǎn)品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是車間生產(chǎn)的概率。最后得到 12．甲、乙、丙三人同時(shí)獨(dú)立地向同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為1/3，1/2，2/3，求目標(biāo)被命中的概率。假定各個(gè)元件通達(dá)與否是相互獨(dú)立的。解 .15．，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率。解 注意到，加工零件為次品，當(dāng)且僅當(dāng)13道工序中至少有一道出現(xiàn)次品。解 記 {譯出密碼}， {第人譯出}， 則19．將一枚均勻硬幣連續(xù)