【正文】 中可以看出，函數(shù)在（–1，0）、（0，1）、（1，2）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn).24. 用計(jì)算器給出函數(shù)在區(qū)域[–1，1][–1，1]上縱橫坐標(biāo)均十等分節(jié)點(diǎn)處的離散化數(shù)值表. 利用數(shù)值表求出函數(shù)在這一區(qū)間上的最小值.解：計(jì)算結(jié)果列表如下：x y–1–––––1 766 195 258 555 005– 195 996 471 851 291– 258 471 308 219 127– 555 851 219 995 455– 005 291 127 455 0870 471 356 642 418 669 005 291 127 455 087 555 851 219 995 455 258 471 308 219 127 195 996 471 851 2911 766 195 258 555 005 171 195 219若取更小的 h 值，利用計(jì)算器可得，如下所示：表4–6　2x 在 x=0 附近更多的差商的差商 149 6 150評論表中的差商. 特別地，為何最后一個(gè)等于零？當(dāng)時(shí)，你預(yù)計(jì)此時(shí)的差商等于多少？解：首先計(jì)算這和表中較小的 h 值所對應(yīng)的差商差不多. 但當(dāng)h值進(jìn)一步減小，例如當(dāng) h=10–12 時(shí)，差商而與 1 十分接近，在計(jì)算器計(jì)算(–1)時(shí)，由于機(jī)器精度的原因，它將忽略為 0，從而差商的值，計(jì)算器顯示為 0. 可以預(yù)見，當(dāng) h=10–20 時(shí)，計(jì)算器計(jì)算得到的差商也為 0.如果當(dāng) h=10–12 時(shí)，計(jì)算差商，我們讓計(jì)算器采取下面的方法：將會(huì)得到一個(gè)較好的近似值 237. 這是由于先計(jì)算，增強(qiáng)了的精確度.6. 求解以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或指定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值：(1) ；解：∵ ∴=–2cotxcsc2x(2) ；解：∵∴(3) ；解： (4) ，求；解：∵ ∴(5) ，求；解：∵ ∴(6) ；解：7. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1) ；解：∵ 　∴(2) ；解：∵∴8. 落在平靜水面上的石頭使水產(chǎn)生同心波紋，若最外一圈波紋的半徑增大率總是 6 m/s，問在 2 s末被擾動(dòng)水面的面積增大率是多少？解：設(shè)在 t s末被擾動(dòng)水面的面積為S(m2)，在 t s末波半徑是 6t(m)，則S=π(6t)2=36πt2于是，=72πt，所以在 2 s末被擾動(dòng)水面的面積增大率是(2)=72π2=144π(m2/s)9. 一氣球從離觀察員 500 m 處離地鉛直上升，其速度為 140 m/s，當(dāng)氣球的高度為 500 m 時(shí)，觀察員的視線的傾斜角增加的速度是多少？解：設(shè)觀察員的視線的傾斜角為 A，氣球上升的高度為 h，A 與 h 均是時(shí)間 t 的函數(shù). 由于tanA=h/500所以A=arctan(h/500)由題設(shè)條件可知，氣球上升的速度是，那么，當(dāng)氣球的高度為 500 米時(shí)，觀察員的視線的傾斜角增加的速度是(弧度/s)10. 設(shè)以 50 cm3/s 的速率把氣體打進(jìn)一個(gè)球形的氣球內(nèi)，假定氣球的壓力不變，而且氣球總是一個(gè)球形，問當(dāng)氣球的半徑為 5 cm 時(shí)，氣球半徑的增加率是多少？解：設(shè)氣球的半徑為 r(cm)，氣球的體積為 V(cm3)，它們都是時(shí)間 t 的函數(shù). 對V=r3，兩邊關(guān)于 t 求導(dǎo)，得依題設(shè)，氣球體積增大的速率是(cm3/s)，于是，當(dāng)氣球的半徑為 5 cm 時(shí)，氣球半徑的增加率是(cm/s)11. 設(shè)某產(chǎn)品一周的產(chǎn)量為，其中 x 是裝配線上勞動(dòng)者的人數(shù). 如果現(xiàn)在有 60 人在裝配線上.(1) 計(jì)算，看看一周產(chǎn)量的實(shí)際變化. (2) 求，并解釋一下，由于增加一個(gè)人，一周產(chǎn)量變化的情況.解：(1) Q(61)–Q(60)=(20061+6612)–(20060+6602)=926(2)由此可知，在現(xiàn)有 60 人的裝配線上再增加一個(gè)人，一周產(chǎn)量約增加 920.12. 植物發(fā)生光合作用的大小 P(x) 取決于光的強(qiáng)度 x，P(x)=145x2–30x3.(1) 求光合作用 P 關(guān)于光強(qiáng)度 x 的變化率(光合作用的速率).(2) 當(dāng)時(shí)，時(shí)，光合作用的變化率是多少?(3) 當(dāng)時(shí)，時(shí)，光合作用速率的變化率是多少?解：(1) 光合作用 P 關(guān)于光強(qiáng)度 x 的變化率是.(2) 當(dāng) x=1 時(shí)，光合作用的變化率是 當(dāng) x=3 時(shí)，光合作用的變化率是(3) 光合作用速率的變化率是，于是，當(dāng) x=1 時(shí)，光合作用速率的變化率是當(dāng) x=3 時(shí)，光合作用速率的變化率是13. 在一烤箱里放入一塊甘薯，并保持爐溫 200 ℃. 假定 t=30 min 時(shí)，甘薯的溫度以 120 ℃/h 的速度增加. 牛頓冷卻(在這里是加熱)定律說明，時(shí)刻的溫度由下式給出： 求和.解：由于爐溫保持在 200 ℃，所以甘薯最終也將升溫為 200 ℃，于是，得這樣，在 t=30 min= h 時(shí)，甘薯的溫度以 120 ℃/h 的速度增加，故有即：將已求得的 a=200，代入上式，可得方程 200be––120=0.對于函數(shù) f(b)= 200be––120，令=0于是，當(dāng) b2 時(shí)，f(b) 單調(diào)增加；當(dāng) b2 時(shí)，f(b) 單調(diào)減少.又f(0)=–1200，f(2)=400e–1–1200，f(4)=800e–2–1200，容易知道 f(b) 在區(qū)間(0，2)、(2，4)各有一個(gè)零點(diǎn)，這兩個(gè)零點(diǎn)也是 f(b) 的全部零點(diǎn). 求得b≈ 67.14. 某種滑板的銷售量 q 取決于銷售價(jià)格 p，設(shè)為給定，.(1) 從和中，對滑板的銷售情況有何了解？(2) 滑板的銷售總收入 R 由 R=pq 給出，求；(3) 的符號(hào)是什么？若眼下每副滑板賣 140 元，是提高還是降低該價(jià)格才能使總收入增加？解：(1) 由可知，滑板的銷售價(jià)格定為 140 時(shí)，滑板的銷售量是 15 000；由可知，在滑板的銷售價(jià)格定為 140 時(shí)，銷售價(jià)格上調(diào) 1，那末銷售量將減少 100.(2) ∵R=pq=pf(p)(3) 的符號(hào)是正的，說明在 p=140 的附近，R 是增函數(shù)，也就是說，此時(shí)提高該價(jià)格能使總收入增加.15. 聽到由大眾媒介散布的某傳聞的人數(shù) N，可通過下列關(guān)于時(shí)間 t （單位：d）的函數(shù)模型給出：假設(shè)總?cè)丝谥杏?200 000 人最終聽到了此傳聞，如果其中 10 % 的人在第一天聽到，求與，設(shè)以天為單位.解：由假設(shè)，總?cè)丝谥杏?200 000 人最終聽到了此傳聞，從而N=200 000.又N=a(1–e–kt)=a(顯然 k0，否則，N 是無窮大，與題設(shè)不符)得到 a=200 000.因?yàn)樵?200 000 人中有 10 % 的人在第一天聽到，所以200 00010 %=200 000(1–e–k)解得 k=ln(10/9)≈ 36116. 通過心臟的血液流動(dòng)分析導(dǎo)出了下列形式的函數(shù)：，由于絕對值函數(shù)在時(shí)不可導(dǎo)，因而可以說在時(shí)也不可導(dǎo).(1) 通過在原點(diǎn)附近放大，考察在時(shí)的可導(dǎo)性.(2) 利用當(dāng)時(shí)，得出當(dāng)時(shí)不含絕對值符號(hào)的表達(dá)式，利用此表達(dá)式找出右側(cè)的斜率.(3) 利用時(shí)，找出左側(cè)的斜率.(4) 從(2)和(3)的答案，說明在處的可導(dǎo)性.解：(1) 將函數(shù)的圖形在原點(diǎn)放大(見下)，可以明顯的看到，在原點(diǎn)附近函數(shù)圖象是光滑的，這說明函數(shù)在時(shí)可導(dǎo).(2) 當(dāng)時(shí)，得出，于是右側(cè)的斜率是(3) 當(dāng)時(shí)，得出，于是左側(cè)的斜率是(4) 由(2)和(3)可知，從而有即，這說明函數(shù)在處可導(dǎo).17. 在時(shí)刻 T=0 開始放電的某電容器，其電荷量 Q 由下式給出： 其中 R、k 為由電路決定的正常數(shù)，電路中的電流 I 由給出：(1) 求時(shí)的電流 I，時(shí)的電流 I.(2) 時(shí)，定義 I 可能嗎？(3) 時(shí)函數(shù) Q 可導(dǎo)嗎？解：(1) 時(shí)，電流時(shí)，電流(2) ∵又 k0∴，即時(shí)函數(shù)不可導(dǎo)，從而沒有定義.(3) 由(2)的討論，知道時(shí)函數(shù)不可導(dǎo).18. 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：(1) ；解： (2) ；解：由 y 與 x、z 與 x 的對稱性，可得(3) ；解：(4) ；解：19. 如果將美元存入銀行，年息，年后將擁有美元，其中 (1) 求，假定，都為常量，對于資金來講，意味著什么？ (2) 求，假定，都為常量，對于資金來講，意味著什么？解：(1) 當(dāng)，都為常量，對于資金來講，表示 B 隨時(shí)間 t 的變化率，也就是 t 增加 1 個(gè)單位，B增加.(2) 當(dāng)，都為常量，對于資金來講，表示 B 隨 r 的變化率，也就是 r 增加 1 個(gè)單位，B 增加. 20. 設(shè)某廠生產(chǎn) x 個(gè)單位的產(chǎn)品 A 與 y 個(gè)單位的產(chǎn)品 B 的成本為C(x，y)=50x+100y+x2+xy+y2+10 000試求與，并解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義.解：∵ ∴=50+210+20=90，它表示此時(shí)再多生產(chǎn) 1 個(gè)單位的產(chǎn)品 A，總成本將增加90個(gè)單位. ∵ ∴=100+10+220=150，它表示此時(shí)再多生產(chǎn)1個(gè)單位的產(chǎn)品 B，總成本將增加150個(gè)單位.21. 例 31 中，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，先求導(dǎo)、求駐點(diǎn)，可分出單調(diào)區(qū)間、. 在區(qū)分單調(diào)增加與單調(diào)減少區(qū)間時(shí)改用以下方法：分別在區(qū)間內(nèi)各任取一 x 值，比如對應(yīng)上述區(qū)間分別取，求各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值可得如下結(jié)果：由上述導(dǎo)數(shù)值情況可以斷定，所討論函數(shù)在區(qū)間、上單調(diào)增加，在區(qū)間、上單調(diào)減少.試問，為什么可以這樣做？解：注意到在上述單調(diào)區(qū)間內(nèi)部，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)是確定的，要么為正，要么為負(fù). 于是，我們可用該區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)，來確定該區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，然后就可以給出單調(diào)性的判別了.22. 求下列函數(shù)的增減區(qū)間：(1) ；解：函數(shù)的定義域是(–∞，+∞)令=0又 x3–3x+2=x(x–1)2+2x2–4x+2=x(x–1)2+2(x2–2x+1) =x(x–1)2+2(x–1)2=(x–1)2(x+2)可得方程的解為 x=–2，x=1. 于是，列表：x(–∞，–2)(–2，1)(1，+∞)–++y單調(diào)減少單調(diào)增加單調(diào)增加(2) ；解：函數(shù)的定義域是(0，+∞)令=0可得方程的解為 x=–(負(fù)根，舍去)，x=. 于是，列表：x(0，)(，+∞)–+y單調(diào)減少單調(diào)增加(3) y=2sinx+cos2x（0≤x≤2π）；解：函數(shù)的定義域是[0，2π]令=0又 cosx–sin2x=cosx–2sinxcosx=cosx(1–2sinx)可得方程在區(qū)間[0，2π]的解為x=π/6，π/2，5π/6，3π/2. 于是，列表：x[0，π/6](π/6，π/2)(π/2，5π/6)(5π/6，3π/2)(3π/2，2π)+–+–+y單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)增加(2) 最多能有幾個(gè)零點(diǎn)？解：從圖中看出，x 軸與至多會(huì)有 4 個(gè)交點(diǎn)，于是最多能有 4 個(gè)零點(diǎn)(不相同的).(3) 至少能有幾個(gè)零點(diǎn)？解：由的特性可知，在定義域上的最大值只能在極大值點(diǎn)取得，那末當(dāng)兩個(gè)極大值都小于 0 時(shí)，就沒有零點(diǎn)了.(4) 最多能有幾個(gè)拐點(diǎn)？解：多項(xiàng)式函數(shù)在定義域上是可導(dǎo)的，所以極值一定在駐點(diǎn)上取得，而有 3 個(gè)極值點(diǎn)，所以有 3 個(gè)不等實(shí)根. 若出現(xiàn)有重根，那么重?cái)?shù)一定是奇數(shù)，否則，經(jīng)過該點(diǎn)不會(huì)改變符號(hào)，從而不取得極值，與題設(shè)矛盾. 這樣，不妨令=A(x–a)m(x–b)n(x–c)k，其中系數(shù)A≠0，a、b、c互不相等，m、n、k是正奇數(shù). 于是，=A[m(x–a)m–1(x–b)n(x–c)k+n(x–a)m(x–b)n–1(x–c)k+k(x–a)m(x–b)n(x–c)k–1] =A(x–a)m–1(x–b)n–1(x–c)k–1[m(x–b)(x–c)+n(x–a)(x–c)+k(x–a)(x–b)]很明顯，若a、b、c是的零點(diǎn)，那么它們也是偶次重根，從而經(jīng)過它們時(shí)，不改變的符號(hào)，也就是說它們不是的拐點(diǎn). 這樣，至多有兩個(gè)單根，即最多能有 2 個(gè)拐點(diǎn).(5) 是奇次的還是偶次的，你是如何知道的？解：由(4)的討論可知，是奇次多項(xiàng)式，所以是偶次的.(6) 最少是幾次的？解：多項(xiàng)式函數(shù)在定義域上是可導(dǎo)的，所以極值一定在駐點(diǎn)上取得，而恰有兩個(gè)局部極大值和一個(gè)局部極小值，這說明有 3 個(gè)駐點(diǎn)，即至少是 3 次多項(xiàng)式，于是最少是 4 次的.(7) 求的一個(gè)可能表達(dá)式.解：例如 f(x)=–x4+2x2.27. 函數(shù)表示一個(gè)質(zhì)量為 m 的物體在彈簧的底端的振動(dòng). 常量 k 體現(xiàn)了彈簧的“彈性”.(1) 找出在哪一時(shí)刻物體離平衡位置最遠(yuǎn)？哪一時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)得最快？哪一時(shí)刻其加速度最大？(2) 振動(dòng)的周期 T 是多少？(3) 求，從的正負(fù)符號(hào)中能獲取什么信息？解：(1) 當(dāng)時(shí)，即或時(shí)(n 是整數(shù))，物體離平衡位置最遠(yuǎn).物體運(yùn)動(dòng)速度是，于是，或時(shí)(n 是整數(shù))，物體運(yùn)動(dòng)得最快.物體運(yùn)動(dòng)加速度是，于是，或時(shí)(n 是整數(shù))，物體加速度最大.(2) 物體振