【正文】 （3）有（1）、（2）可得這意味著 Koch 雪花具有有界的面積，無(wú)窮大的邊長(zhǎng).15. 由實(shí)驗(yàn)知，在培養(yǎng)基充足等條件滿足時(shí)，某種細(xì)菌繁殖的速度與當(dāng)時(shí)已有的數(shù)量 A0 成正比，即 v=kA0（為比例常數(shù)），為求經(jīng)過(guò)時(shí)間以后細(xì)菌的數(shù)量，試按以下過(guò)程進(jìn)行計(jì)算：（1）為求時(shí)的細(xì)菌數(shù)量，將時(shí)間間隔 [0，t] 分成等份，將每一等份中的細(xì)菌繁殖速度近似看作不變時(shí)，計(jì)算第一段時(shí)間末的細(xì)菌的總數(shù)量；第二段時(shí)間末的細(xì)菌的總數(shù)量；……；歸納給出最后一段時(shí)間末的細(xì)菌的總數(shù)量（注：這只是細(xì)菌數(shù)量的一個(gè)近似值）；（2）當(dāng)時(shí)間間隔分得越細(xì)時(shí)，（1）中所得值越接近時(shí)的細(xì)菌總數(shù)量，試用你所學(xué)的知識(shí)求這里的精確值──即求時(shí)細(xì)菌總數(shù)量的精確值；（3）若測(cè)得 5 天時(shí)的細(xì)菌總數(shù)為 936 個(gè)，10 天時(shí)的細(xì)菌總數(shù)為 2 190 個(gè)，用（2）中所得公式，求開始時(shí)的細(xì)菌個(gè)數(shù)與 60 天后細(xì)菌的總數(shù).解：（1）為了計(jì)算出時(shí)的細(xì)菌數(shù)量，我們將時(shí)間間隔 [0，t] 分成 n 等份. 由于細(xì)菌的繁殖是連續(xù)變化的，在很短的一段時(shí)間內(nèi)數(shù)量的變化很小，繁殖速度可近似看作不變，因此，在第一段時(shí)間內(nèi)細(xì)菌繁殖的數(shù)量為：，第一段時(shí)間末細(xì)菌的總數(shù)量為；同樣，第二段時(shí)間末的細(xì)菌的總數(shù)量為；……；依此類推，到最后一段時(shí)間末的細(xì)菌的總數(shù)量為.（2）顯然，（1）計(jì)算出的結(jié)果只是細(xì)菌數(shù)量的一個(gè)近似值，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)了在每一小段時(shí)間（i=1，2，…，n）內(nèi)細(xì)菌繁殖的速度不變（同時(shí)還假設(shè)了各小段時(shí)間內(nèi)只繁殖一次）. 可以看出，當(dāng)時(shí)間間隔分得越細(xì)（即當(dāng) n 等份時(shí)，n 越大）時(shí)這個(gè)值越接近精確值，若對(duì)時(shí)間間隔無(wú)限細(xì)分（即當(dāng) n 等份時(shí)，n→∞），則可求得其精確值. 所以，經(jīng)過(guò)時(shí)間 t 后細(xì)菌的總數(shù)是將這個(gè)結(jié)果與第 3 題中連續(xù)復(fù)利的計(jì)算公式比較，發(fā)現(xiàn)二者是一樣的. 這并不偶然，事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)世界中不少事物的生長(zhǎng)規(guī)律都服從這個(gè)模型，所以也稱 y=Aekt 為生長(zhǎng)函數(shù).（3）細(xì)菌繁殖服從生長(zhǎng)函數(shù) y=A0ekt. 由題目所給數(shù)據(jù)，得解此方程組，得A0=，k=. 即開始時(shí)細(xì)菌個(gè)數(shù)為400. 按此速度增長(zhǎng)下去，則 60 天后細(xì)菌個(gè)數(shù)為y（60）= A0e60k≈ 7810716.（兔子問(wèn)題）“有小兔一對(duì)，若第二個(gè)月它們成年，第三個(gè)月生產(chǎn)小兔一對(duì)，以后每月生產(chǎn)一對(duì)小兔. 而所生小兔也在第二個(gè)月成年，第三個(gè)月生產(chǎn)小兔一對(duì)，以后也每月生產(chǎn)小兔一對(duì). 假定每產(chǎn)一對(duì)小兔必為一雌一雄，且均無(wú)死亡，試問(wèn)一年后共有小兔幾對(duì)？”這一生產(chǎn)過(guò)程可用一樹狀圖來(lái)表示，如圖3–28所示，其中●表示未成年兔，○表示成年兔.圖3–28（1）試用樹狀圖計(jì)算出一年內(nèi)各月末小兔的數(shù)量，考察鄰近三個(gè)月小兔數(shù)量間聯(lián)系，給出計(jì)算小兔數(shù)量的遞推關(guān)系，最后計(jì)算出一年后的小兔數(shù)量；（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明，n 月后小兔的總量滿足如下公式（3）利用（2）中通項(xiàng)公式，求兩個(gè)比值極限：與的精確值，用精確值給出近似值，.解：（1）從圖3–28可以看出，自三月份開始，每月的兔子總數(shù)恰好等于它前面兩個(gè)月的兔子總數(shù)之和. 按規(guī)律可以寫出數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144可見一年后共有兔子 144 對(duì).這是一個(gè)有限項(xiàng)數(shù)列，按上述規(guī)律寫出的無(wú)限項(xiàng)數(shù)列就叫做 Fibonacci 數(shù)列，其中的每一項(xiàng)稱為 Fibonacci 數(shù).若設(shè) F1=1，F(xiàn)2=1，F(xiàn)3=2，F(xiàn)4=3，F(xiàn)5=5，……，則此數(shù)列應(yīng)有下列遞推關(guān)系：Fn+2=Fn+1+Fn （n=1，2，3，……）（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明，月后小兔總量的公式是： （2）當(dāng) n=1 時(shí)，當(dāng) n=2 時(shí)，當(dāng) n=3 時(shí)，滿足遞推關(guān)系式（1）.假設(shè)當(dāng)nk+1時(shí)，（2）滿足遞推關(guān)系式（1），即有Fn+2=Fn+1+Fn （n=1，2，3，……，k–2）.那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，也滿足遞推關(guān)系式（1），有數(shù)學(xué)歸納法可知公式（2）成立.（3）∵∴由于，從而故前者剛好就是黃金分割值.　　圖3–2917. 為求極限（其中與h無(wú)關(guān)）的值，考察圖3–29，圖3–29中標(biāo)明了的和（是的增量，即為h）.（1）通過(guò)仔細(xì)考查圖形可知：扇形 OAQ 的面積△OQR 的面積扇形 OBR 的面積試用一個(gè)數(shù)學(xué)不等式表示這一關(guān)系；（2）利用（1）中不等式，求本題中的極限.解：（1）考查圖形可知：扇形 OAQ 的面積△OQR 的面積扇形 OBR 的面積 即：（2）由上式可得兩邊取 h→0 時(shí)的極限，得到18. 求下列函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的連續(xù)性：（1）；解：是初等函數(shù)，故它在定義區(qū)間（–∞，+∞）上是連續(xù)的.（2）；解：定義區(qū)域：{（x，y）|sin（x2+y2）+1≠0}={（x，y）|sin（x2+y2）≠–1}={（x，y）|x2+y2≠2kπ–π/2，k是正整數(shù)}是多元初等函數(shù)，故它在定義區(qū)域上是連續(xù)的.（3）；解：函數(shù)的定義域是（–∞，+∞）.當(dāng) x4 時(shí)，f（x）=2x+3 是初等函數(shù)，從而是連續(xù)的.當(dāng) x4 時(shí)，f（x）=7+16/x 是初等函數(shù)，且在其上有定義，從而也是連續(xù)的.下面考察 x=4 時(shí)，函數(shù)的連續(xù)性.由于故，即于是，f（x）在 x=4 處是連續(xù)的.綜上可得，函數(shù)在定義域上是連續(xù)的.（4）；解：函數(shù)的定義域是（–∞，+∞）.當(dāng)x≠1時(shí)，f（x）=是初等函數(shù)，且在其上有定義，從而是連續(xù)的.下面考察 x=1 時(shí)，函數(shù)的連續(xù)性.由于，從而當(dāng) x→1 時(shí)，函數(shù)極限不存在.于是，f（x）在 x=1 處是間斷的.綜上可得，函數(shù)在（–∞，1）∪（1，+∞）上是連續(xù)的.（5）解：定義區(qū)域：{（x，y）|1–x2–y2–z20}={（x，y）| x2+y2+z21}是多元初等函數(shù)，故它在定義區(qū)域上是連續(xù)的.解：如圖可得：（i）=2（ii）=0（iii）由于≠，故不存在.（iv）=2（v）=2（vi）=0（vii）≠，故不存在.（2）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）. 解：如圖可得：（i）=0（ii）=0（iii）由于=，故=0.（iv）沒(méi)定義（v）=+∞（vi）=+∞（3）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.題圖見教材。16．試求下列直線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）；解：法1：①2+②消去z，代入①得到所以直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：法2：直線的方向向量為(2,3,1) (3,5,2)=(1,7,19)直線上一點(diǎn)所以直線的方程為： （2）；解：法1：②代入①得到：，②變形后即得：所以所求方程為：．法2：直線的方向向量為(1，1，2) (0，1，6)=(8，6，1)直線上一點(diǎn)為（2，3，0）所以直線方成為　．17．兩條直線的夾角是指兩條直線的方向向量所夾的角（0），求下列兩直線之間的夾角：（1）；解：第一條直線的方向向量為：（3，2，1），第二條直線的方向向量為（2，1，3）設(shè)兩條直線的夾角為，則，因?yàn)?，所以（2）；解：經(jīng)過(guò)變形得到：第一條直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即為（3，4，1）,第二條直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即為（2，1，2）,所以，.18. 證明兩直線垂直．解：經(jīng)過(guò)變形得到：第一條直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即為（1，1，2）,第二條直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即為（0，2，1）,所以，.所以兩條直線垂直．19．確定下列方程組所表示的曲線并畫出草圖：（1）；解：兩個(gè)三元一次方程表示兩個(gè)平面，因此此方程組表示的是兩個(gè)平面的交線．圖略．（2）；解：第一個(gè)方程表示一個(gè)球面，第二個(gè)方程代表一個(gè)錐面．他們的交線是一個(gè)圓圖略．（3）；解：第一個(gè)方程表示一個(gè)拋物面，第二個(gè)方程表示一個(gè)平面．它們的交線是一個(gè)圓．圖略．20．將空間曲線的參數(shù)方程化成一般方程．解：由①，②可得：；由①③可得：曲線為以上兩曲面的交線，所以曲線的一般方程為：從而可知，距離減少速度為1 500 km/h。(2) 求r的最大值，可得：，即原物質(zhì)剩余量p減少為原來(lái)的一半時(shí)，反應(yīng)進(jìn)程最快。從而，則水深表達(dá)式為：其中任意。習(xí) 題 11．試?yán)觅J款各參數(shù)間的關(guān)系式，完成以下公積金貸款利率表（表19）．表19 個(gè)人住房公積金貸款利率表年份月數(shù)月利率/‰年利率/%月還款額本息總額總利息112到期一次還本付息10 224 10 336 10 448 10 560 11 1 672 11 1 784 11 1 896 11 1 9108 12 2 10120 12 2 17． 某有機(jī)體死亡 年后所剩的放射性碳14含量由式給出，其中是初始量． (1) 考古控掘出土的某頭蓋骨含有原來(lái)碳14含量的15%，估計(jì)該頭蓋骨的年齡．(2) 試根據(jù)此方程計(jì)算碳14的半衰期．解 (1) 由(2) 18． 一幅佛m爾(Vermeer)(1632—1675)的繪畫含有其原有碳14(半衰期為5 739年)含量的 %．根據(jù)這一信息，是否能判斷出該畫是不是贗品，請(qǐng)解釋理由．解 由上一道題目即這幅畫只有40多年的歷史，由畫家的生卒年月判斷這不會(huì)是畫家的作品． 19． 某動(dòng)物種群數(shù)量 1 月 1 日低至 700，7 月 1 日高至 900，其總量在此兩值之間依正弦曲線改變． (1) 畫出種群總量關(guān)于時(shí)間的圖象． (2) 求出種群量作為時(shí)間 的函數(shù)的表達(dá)式，其中 以月為單位計(jì)量． 解 (1)(2)設(shè)群量為A，則 20． 同一元素的不同類(稱為同位素)可能具有很不同的半衰期．钚240的衰減由公式給出，而钚242的衰減則由公式給出，求钚240和钚242的半衰期． 解 (1) 钚240： (2) 钚242：21． 某一儲(chǔ)水池中水的深度在水的平均深度 7 m上下每隔 6 h完成一次正弦振蕩．如果最小深度為 m，最大深度為 m，求出水的深度表達(dá)式(單位：h)(可能的答案很多)．解 設(shè)水的深度表達(dá)式為：，由題意可知，周期。(2) (2)如果這個(gè)家庭的月收入是 4 000 元，那么這個(gè)家庭購(gòu)買住房可貸款多少? 28． (1) 從表111中所給數(shù)據(jù)，說(shuō)明區(qū)間 0≤≤4 上0的根的數(shù)目，并給出這些根的近似值的大致位置；012340 (2) 試?yán)脠D形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，在區(qū)間 0≤≤4 上畫圖驗(yàn)證(1)中所得結(jié)果； (3) 利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)估算每個(gè)根精確到一位小數(shù)； (4) 解釋最小正根為的理由；(5) 求出方程在區(qū)間04上所有根的精確值(如等)．解 (1) 由題目給出的數(shù)據(jù)可得在0處有一個(gè)根，在區(qū)間(1，2)至少存在一個(gè)根，在區(qū)間(2，3)至少存在一個(gè)根，在區(qū)間(3，4)至少存在一個(gè)根．即在區(qū)間[0，4]至少存在四個(gè)根； (2) 略；(3) ；(4)(5) ． 29． 決定圖155，156每個(gè)圖象的三次多項(xiàng)式．解 (1) 圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)：，因此可設(shè)函數(shù)為：，把代入：，因此所求方程為：(2) 圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以其中有一個(gè)是重根，如圖可設(shè)，因此可設(shè)函數(shù)為，把帶入得：，因此所求方程為：30． 考慮下圖的圖象． (1) 此函數(shù)有多少零點(diǎn)？求零點(diǎn)的近似位置； (2) 計(jì)算和的近似值；(3) 該函數(shù)在 1 附近是遞增的還是遞減的？ 3 附近情況又如何？解 (1) 如圖可知，此函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)． (2) (3) 函數(shù)在1附近是遞減的，3附近是遞增的． 31． (1) 考慮如圖158(a)所示的函數(shù)，求的坐標(biāo)； (2) 考慮如圖158(b)所示的函數(shù)，求用表示的的坐標(biāo)．解 (a) C所在的直線方程為代入拋物線的方程，是題目給出的交點(diǎn)，所以所求的交點(diǎn)C為　 (b) C所在的直線方程為，代入拋物線的方程：所求的交點(diǎn)C為． 32．化學(xué)反應(yīng)中的催化劑是一種加速反應(yīng)進(jìn)程但其本身并不改變的物質(zhì)．如果反應(yīng)生成物本身是催化劑，該反應(yīng)則稱為自催化的．假設(shè)其一特定的自催化反應(yīng)的速率正比于原物質(zhì)的剩余量與生成物的數(shù)量的函數(shù)． (1) 將表示為的函數(shù)；(2) 當(dāng)反應(yīng)進(jìn)程最快時(shí)，的值是多少？解 設(shè)元物質(zhì)總量為Q，由題意可知：(1) ，其中k為正比例常數(shù)。問(wèn)此時(shí)的距離減少速度為多少？解 畫圖易知，兩機(jī)位置及P點(diǎn)構(gòu)成的三角形，與兩速度向量和距離減少速度向量組成的三角形相似。 一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn) (2，1，3) 和 (4，5，6) 等距離，求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡，并說(shuō)明它表示一個(gè)什么樣的曲面．解: 設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，z），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得 即 為動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程． 所以，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)平面．2. 2. 求經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，且法向量為 i＋j＋k 的平面方程． 解：設(shè)所求平面為 ，法向量為 ．由點(diǎn)法式得 即 為所求平面的方程．4. 4. 求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)P(2，3，0)，Q(2，3，4)，R(0，6，0) 的平面方程，并根據(jù)方程寫出其法向量．解：法1 設(shè)所求平面方程為