【正文】 交線在 xOy 面上的投影方程．解：過(guò)此交線且母線平行于 z 軸的柱面方程為：，整理得：，所以交線在 xOy 面上的投影方程為：24．求旋轉(zhuǎn)拋物面≤≤在三坐標(biāo)面上的投影：解：≤≤≤≤，≤≤≤25．求曲線在 xOy 面上的投影曲線的方程，并指出原曲線是什么曲線．解：消去 z 得到：；原曲線可化為，由此可知是一條拋物線．26．指出下列方程所表示的曲線：（1）；解：將②代入①得到，所以是一條雙曲線．（2）；解：將②代入①得到，是一條拋物線．（3）；解：將②代入①得到，為一橢圓．27．求直線 向上平移1個(gè)單位，又向左平移2個(gè)單位，最后按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的直線方程，并畫出變換后的圖形，給出所用的變換表達(dá)式．解：變換表達(dá)式①為：，代入直線方程得：；變換表達(dá)式②為：，代入直線方程得：；變換表達(dá)式③為：，代入方程為：28. 在單位圓周上均勻撒布 360 個(gè)點(diǎn)，將仿射變換作用其上后，試研究有無(wú)不變的向量或變到相反方向的向量．需編程解決．解略．29. 在單位圓周上隨機(jī)撒布一批點(diǎn)，經(jīng)過(guò)多次仿射變換后，試研究有無(wú)不變的向量或變到相反方向的向量． 需編程解決．解略．30. 當(dāng)一架超音速飛機(jī)在高空中飛行時(shí)，由于飛機(jī)的速度比聲速快，所以人們常常先看到飛機(jī)在天空中掠過(guò)，片刻之后才能聽到震耳的隆隆聲．問(wèn)題是，在同一時(shí)刻，天空中的什么區(qū)域內(nèi)可以聽到飛機(jī)的聲音． (1) 設(shè)空間有一點(diǎn)聲源，它在 時(shí)發(fā)出的聲波以音速向四面八方傳傳播，經(jīng)過(guò)時(shí)間s之后所能達(dá)到的最大傳播范圍是一個(gè)以聲源為心的球面，球面半徑恰好是聲波在 s 時(shí)間內(nèi)所傳播的距離，因此，人們常把聲波稱為球面波，以為半徑的球面稱為 s 時(shí)的波前．想像能聽到飛機(jī)聲音的區(qū)域是什么形狀的． (2) 以 時(shí)飛機(jī)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以飛機(jī)前進(jìn)的方向作為 x 軸，建立三維直角坐標(biāo)系．當(dāng)時(shí)，飛機(jī)處在點(diǎn)，試給出 [0，a] 時(shí)間段內(nèi)任一時(shí)刻 s，飛機(jī)所發(fā)出的球面波的波前的方程． (3) 試消去 s，求包圍能聽到飛機(jī)聲音區(qū)域(即上述球面所充斥區(qū)域)的曲面的方程．解：（1）應(yīng)為錐形區(qū)域。(2a + 3b)解 47． 已知= i＋3k，=j＋3k． (1)求△OAB的面積；(2)求與之間的夾角正弦． 解 　，所以所以三角形的面積為 48． 已知a＝(2， 3，1)，b＝(1， 1，3)，c＝(1， 2，0)，計(jì)算下列各式：(1) ()c ()b (2) 解　(1) ()c ()b=(2 + 3 + 3)c (2 + 6 + 0)b=(0，8，24) (2) (8，5，1)(1，2，0)49． 一架飛機(jī)在某高度并以常速600km/h飛行，一架殲擊機(jī)瞄準(zhǔn)了這一飛機(jī)前進(jìn)路線上的 P 點(diǎn)，以便對(duì)它射擊．飛機(jī)距 P 點(diǎn)2km時(shí)，殲擊機(jī)以 1 200 km/h的速度飛行，并且距離 P 點(diǎn) 4 km，又若兩機(jī)相距5km。 (4) 略。 22． 在一個(gè)擁有80 000人的城市里，在時(shí)刻 得感冒的人數(shù)為其中 是以天為單位．試求開始感冒的人數(shù)及第 4 天感冒的人數(shù)．解　由（人）（人） 23． 將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合　　(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．解（1）由復(fù)合而成；?。?）由復(fù)合而成；　（3）由復(fù)合而成；?。?）由復(fù)合而成．24． 設(shè)，求(1)，進(jìn)而求；(2) 求． 解（1） （2） （3） 25． 求下列函數(shù)的反函數(shù)，指出定義域：　　(1) ； (2) ； (3)(x ≥．解　(1)；(2)；(3)≤≤ 26． 加拿大芳迪灣(Bay of Fundy)以擁有世界上最大的海潮著稱，其高低水位之差達(dá) 15 m 之多．假設(shè)在芳迪灣某一特定點(diǎn)，水的深度 （單位：m）作為時(shí)間 的函數(shù)由給出，其中為自 1994 年 1 月 1 日午夜以來(lái)的小時(shí)數(shù)． (1) 解釋 的物理意義． (2) 求出 的值． (3) 求出 的值，假定連續(xù)兩次高潮位的時(shí)間間隔為 h．(4) 解釋 的物理意義．解 (1) 表示海潮的平衡位置高度．(2) =15/2=(3) (4) 表示1994 年 1 月 1 日午夜以來(lái)海潮第一次達(dá)到最高位置的小時(shí)數(shù)。習(xí) 題 21. 1. 一平面經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1，0，2)，且平行于平面2x＋3y－5z＝0，試寫出其法向量，并寫出平面的方程．解：設(shè)所求平面為 ，法向量為 已知平面：，其法向量 因?yàn)? ，所以 ，即 （為非零常數(shù)） 又因點(diǎn)（1，0，2）在平面 上，所以由點(diǎn)法式得 即 為所求平面的方程．5. 5. 求與坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn) (2，3，4) 的距離之比為2:1的點(diǎn)的全體所組成的曲面的方程，它表示怎樣的曲面？試給出其參數(shù)方程．解：設(shè)曲面上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為 依題意 即 為所求曲面方程（是一個(gè)球面）． 其參數(shù)方程為 9. 9.（3）所給方程表示一個(gè)開口向下的橢圓拋物面，其參數(shù)方程為 解：如圖可得： （i）=–∞（ii）=–∞（iii）因?yàn)?=–∞，故=–∞（iv）=1（v）=2（vi）=2（4）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）. 解：如圖可得： （i）=3（ii）=3（iii）由于==3，故=3（iv）=3（v）=0（vi）不存在（5）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.題圖見教材。x012345y1.–2. 31 4 從表中可以看出，函數(shù)在（–1，0）、（0，1）、（1，2）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn).24. 用計(jì)算器給出函數(shù)在區(qū)域[–1，1][–1，1]上縱橫坐標(biāo)均十等分節(jié)點(diǎn)處的離散化數(shù)值表. 利用數(shù)值表求出函數(shù)在這一區(qū)間上的最小值.解：計(jì)算結(jié)果列表如下： 171 195 219若取更小的 h 值，利用計(jì)算器可得，如下所示：表4–6　2x 在 x=0 附近更多的差商的差商 149 6 150評(píng)論表中的差商. 特別地，為何最后一個(gè)等于零？當(dāng)時(shí)，你預(yù)計(jì)此時(shí)的差商等于多少？解：首先計(jì)算這和表中較小的 h 值所對(duì)應(yīng)的差商差不多. 但當(dāng)h值進(jìn)一步減小，例如當(dāng) h=10–12 時(shí)，差商而與 1 十分接近，在計(jì)算器計(jì)算(–1)時(shí)，由于機(jī)器精度的原因，它將忽略為 0，從而差商的值，計(jì)算器顯示為 0. 可以預(yù)見，當(dāng) h=10–20 時(shí)，計(jì)算器計(jì)算得到的差商也為 0.如果當(dāng) h=10–12 時(shí)，計(jì)算差商，我們讓計(jì)算器采取下面的方法：將會(huì)得到一個(gè)較好的近似值 237. 這是由于先計(jì)算，增強(qiáng)了的精確度.6. 求解以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或指定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值：(1) ；解：∵ ∴=–2cotxcsc2x(2) ；解：∵∴(3) ；解： (4) ，求；解：∵ ∴(5) ，求；解：∵ ∴(6) ；解：7. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1) ；解：∵ 　∴(2) ；解：∵∴8. 落在平靜水面上的石頭使水產(chǎn)生同心波紋，若最外一圈波紋的半徑增大率總是 6 m/s，問(wèn)在 2 s末被擾動(dòng)水面的面積增大率是多少？解：設(shè)在 t s末被擾動(dòng)水面的面積為S(m2)，在 t s末波半徑是 6t(m)，則S=π(6t)2=36πt2于是，=72πt，所以在 2 s末被擾動(dòng)水面的面積增大率是(2)=72π2=144π(m2/s)9. 一氣球從離觀察員 500 m 處離地鉛直上升，其速度為 140 m/s，當(dāng)氣球的高度為 500 m 時(shí)，觀察員的視線的傾斜角增加的速度是多少？解：設(shè)觀察員的視線的傾斜角為 A，氣球上升的高度為 h，A 與 h 均是時(shí)間 t 的函數(shù). 由于tanA=h/500所以A=arctan(h/500)由題設(shè)條件可知，氣球上升的速度是，那么，當(dāng)氣球的高度為 500 米時(shí)，觀察員的視線的傾斜角增加的速度是(弧度/s)10. 設(shè)以 50 cm3/s 的速率把氣體打進(jìn)一個(gè)球形的氣球內(nèi)，假定氣球的壓力不變，而且氣球總是一個(gè)球形，問(wèn)當(dāng)氣球的半徑為 5 cm 時(shí)，氣球半徑的增加率是多少？解：設(shè)氣球的半徑為 r(cm)，氣球的體積為 V(cm3)，它們都是時(shí)間 t 的函數(shù). 對(duì)V=r3，兩邊關(guān)于 t 求導(dǎo)，得依題設(shè)，氣球體積增大的速率是(cm3/s)，于是，當(dāng)氣球的半徑為 5 cm 時(shí)，氣球半徑的增加率是(cm/s)11. 設(shè)某產(chǎn)品一周的產(chǎn)量為，其中 x 是裝配線上勞動(dòng)者的人數(shù). 如果現(xiàn)在有 60 人在裝配線上.(1) 計(jì)算，看看一周產(chǎn)量的實(shí)際變化. (2) 求，并解釋一下，由于增加一個(gè)人，一周產(chǎn)量變化的情況.解：(1) Q(61)–Q(60)=(20061+6612)–(20060+6602)=926(2)由此可知，在現(xiàn)有 60 人的裝配線上再增加一個(gè)人，一周產(chǎn)量約增加 920.12. 植物發(fā)生光合作用的大小 P(x) 取決于光的強(qiáng)度 x，P(x)=145x2–30x3.(1) 求光合作用 P 關(guān)于光強(qiáng)度 x 的變化率(光合作用的速率).(2) 當(dāng)時(shí)，時(shí)，光合作用的變化率是多少?(3) 當(dāng)時(shí)，時(shí)，光合作用速率的變化率是多少?解：(1) 光合作用 P 關(guān)于光強(qiáng)度 x 的變化率是.(2) 當(dāng) x=1 時(shí)，光合作用的變化率是 當(dāng) x=3 時(shí)，光合作用的變化率是(3) 光合作用速率的變化率是，于是，當(dāng) x=1 時(shí)，光合作用速率的變化率是當(dāng) x=3 時(shí)，光合作用速率的變化率是13. 在一烤箱里放入一塊甘薯，并保持爐溫 200 ℃. 假定 t=30 min 時(shí)，甘薯的溫度以 120 ℃/h 的速度增加. 牛頓冷卻(在這里是加熱)定律說(shuō)明，時(shí)刻的溫度由下式給出： 求和.解：由于爐溫保持在 200 ℃，所以甘薯最終也將升溫為 200 ℃，于是，得這樣，在 t=30 min= h 時(shí)，甘薯的溫度以 120 ℃/h 的速度增加，故有即：將已求得的 a=200，代入上式，可得方程 200be––120=0.對(duì)于函數(shù) f(b)= 200be––120，令=0于是，當(dāng) b2 時(shí)，f(b) 單調(diào)增加；當(dāng) b2 時(shí)，f(b) 單調(diào)減少.又f(0)=–1200，f(2)=400e–1–1200，f(4)=800e–2–1200，容易知道 f(b) 在區(qū)間(0，2)、(2，4)各有一個(gè)零點(diǎn)，這兩個(gè)零點(diǎn)也是 f(b) 的全部零點(diǎn). 求得b≈ 67.14. 某種滑板的銷售量 q 取決于銷售價(jià)格 p，設(shè)為給定，.(1) 從和中，對(duì)滑板的銷售情況有何了解？(2) 滑板的銷售總收入 R 由 R=pq 給出，求；(3) 的符號(hào)是什么？若眼下每副滑板賣 140 元，是提高還是降低該價(jià)格才能使總收入增加？解：(1) 由可知，滑板的銷售價(jià)格定為 140 時(shí)，滑板的銷售量是 15 000；由可知，在滑板的銷售價(jià)格定為 140 時(shí)，銷售價(jià)格上調(diào) 1，那末銷售量將減少 100.(2) ∵R=pq=pf(p)(3) 的符號(hào)是正的，說(shuō)明在 p=140 的附近，R 是增函數(shù)，也就是說(shuō)，此時(shí)提高該價(jià)格能使總收入增加.15. 聽到由大眾媒介散布的某傳聞的人數(shù) N，可通過(guò)下列關(guān)于時(shí)間 t （單位：d）的函數(shù)模型給出：假設(shè)總?cè)丝谥杏?200 000 人最終聽到了此傳聞，如果其中 10 % 的人在第一天聽到，求與，設(shè)以天為單位.解：由假設(shè)，總?cè)丝谥杏?200 000 人最終聽到了此傳聞，從而N=200 000.又N=a(1–e–kt)=a(顯然 k0，否則，N 是無(wú)窮大，與題設(shè)不符)得到 a=200 000.因?yàn)樵?200 000 人中有 10 % 的人在第一天聽到，所以200 00010 %=200 000(1–e–k)解得 k=ln(10/9)≈ 36116. 通過(guò)心臟的血液流動(dòng)分析導(dǎo)出了下列形式的函數(shù)：，由于絕對(duì)值函數(shù)在時(shí)不可導(dǎo)，因而可以說(shuō)在時(shí)也不可導(dǎo).(1) 通過(guò)在原點(diǎn)附近放大，考察在時(shí)的可導(dǎo)性.(2) 利用當(dāng)時(shí)，得出當(dāng)時(shí)不含絕對(duì)值符號(hào)的表達(dá)式，利用此表達(dá)式找出右側(cè)的斜率.(3) 利用時(shí)，找出左側(cè)的斜率.(4) 從(2)和(3)的答案，說(shuō)明在處的可導(dǎo)性.解：(1) 將函數(shù)的圖形在原點(diǎn)放大(見下)，可以明顯的看到，在原點(diǎn)附近函數(shù)圖象是光滑的，這說(shuō)明函數(shù)在時(shí)可導(dǎo).(2) 當(dāng)時(shí)，得出，于是右側(cè)的斜率是(3) 當(dāng)時(shí)，得出，于是左側(cè)的斜率是(4) 由(2)和(3)可知，從而有即，這說(shuō)明函數(shù)在處可導(dǎo).17. 在時(shí)刻 T=0 開始放電的某電容器，其電荷量 Q 由下式給出： 其中 R、k 為由電路決定的正常數(shù)，電路中的電流 I 由給出：(1) 求時(shí)的電流 I，時(shí)的電流 I.(2) 時(shí)，定義 I 可能嗎？(3) 時(shí)函數(shù) Q 可導(dǎo)嗎？解：(1) 時(shí)，電流時(shí)，電流(2) ∵又 k0∴，即時(shí)函數(shù)不可導(dǎo)，從而沒有定義.(3) 由(2)的討論，知道時(shí)函數(shù)不可導(dǎo).18. 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：(1) ；解： (2) ；解：由 y 與 x、z 與 x 的對(duì)稱性，可得(3) ；解：(4) ；解：19. 如果將美元存入銀行，年息，年后將