【正文】 停車場(chǎng)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：凡停車不超過(guò)2 h的，收費(fèi) 2 元；以后每多停車 1 h(不到 1 h仍以 1 h計(jì))增加收費(fèi) 元．但停車時(shí)間最長(zhǎng)不能超過(guò) 5 h．試建立停車費(fèi)用與停車時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系模型．解 設(shè)收費(fèi)為，停車時(shí)間為，則當(dāng)≤≤ 13． 設(shè)儀器由于長(zhǎng)期磨損，使用年后的價(jià)值是由下列模型確定的．使用 20 年后，儀器的價(jià)值為 8 元．試問(wèn)當(dāng)初此儀器的價(jià)值為多少? 解 由，將代入得到：14． 生物在穩(wěn)定的理想狀態(tài)下，細(xì)菌的繁殖按指數(shù)模型增長(zhǎng): (表示 min后的細(xì)菌數(shù))假設(shè)在一定的條件下，開始時(shí)有 2 000 個(gè)細(xì)菌，且 20 min后已增加到 6 000 個(gè)，試問(wèn) 1 h后將有多少個(gè)細(xì)菌? 解 15． 大氣壓力隨著離地球表面的高度的增加而呈指數(shù)減少：其中是海平面處的大氣壓力，以m計(jì)． (1) 珠穆朗瑪峰的頂峰海拔高 8 m，那里的大氣壓力是多少？將其表示為海平面處大氣壓力的百分?jǐn)?shù)；(2) 一架普通商用客機(jī)的最大飛行高度大約是 12 000 m． 此高度的大氣壓力是多少？將其表示為海平面處大氣壓力的百分?jǐn)?shù)．解 16． 某工廠的空氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾使得污染數(shù)量(單位：mg/L)正按照方程減少，其中表示時(shí)間（單位：h）．如果在前 5 h內(nèi)消除了 10 % 的污染物： (1) 10 h后還剩百分之幾的污染物？ (2) 污染減少 50 % 需花多少時(shí)間？ (3) 畫出污染物關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象，在圖象上表示出你的計(jì)算結(jié)果． (4) 解釋污染量以這種方式減少的可能原因．解 (3) 圖像略。27． 設(shè)一個(gè)家庭貸款購(gòu)房的能力 y 是其償還能力 u 的 100 倍，而這個(gè)家庭的償還能力 u 是月收入 x 的 20 %．(1) (1)試把此家庭貸款購(gòu)房能力 y 表示成月收入 x 的函數(shù)。15．按指定條件求出直線方程：（1）平行于直線且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2，1）；解：法1：經(jīng)過(guò)點(diǎn)平行于兩個(gè)平面的直線，可以由經(jīng)過(guò)點(diǎn)分別平行于兩個(gè)平面的平面相交而成，因而所求直線即為過(guò)點(diǎn)分別平行于已知平面的兩個(gè)平面的交線．過(guò)點(diǎn)（1，2，1）平行于的平面方程為即過(guò)點(diǎn)（1，2，1）平行于的平面方程為即因此所求直線的一般方程為： 法2：直線的方向向量為 (1，1，2)180。 解：如圖可得： （i）=–∞（ii）=+∞（iii）由于≠，則不存在.（iv）沒定義（v）=0（vi）=2（6）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）. 解：如圖可得： （i）=1（ii）=–∞（iii）因?yàn)椤?，故不存?（iv）=（v）=+∞（vi）=+∞6. 計(jì)算下列各極限：（1）；解：=–3（2）；解：=123=36（3）；解：==–3（4）；解：（5）；解：（6）；解：（7）；解：(2) 設(shè) f(x) 表示總效應(yīng)函數(shù)，x 表示消費(fèi)的商品數(shù)量. 由“消費(fèi)更多的同類商品時(shí)，總效用會(huì)增加”，可知 f(x) 是增函數(shù)，故有0. 由“隨著新的商品的不斷涌現(xiàn)，總效用會(huì)按照越來(lái)越慢的速度增長(zhǎng)”，可知 f(x) 是凸函數(shù)，故有0.25. 假設(shè)代表在時(shí)刻時(shí)某公司的股票價(jià)格，請(qǐng)根據(jù)下面的每一陳述判斷的一階和二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)為正還是為負(fù).(1) “股票價(jià)格上升得越來(lái)越快”；(2) “股票價(jià)格接近最低點(diǎn)”.解：(1) “股票價(jià)格上升”說(shuō)明是增函數(shù)，故有0；價(jià)格上升得“越來(lái)越快”說(shuō)明是凹函數(shù)，故有0.(2) “股票價(jià)格接近最低點(diǎn).”說(shuō)明是減函數(shù)、凹函數(shù)，故有0、0.26. 設(shè)多項(xiàng)式函數(shù)恰有兩個(gè)局部極大值和一個(gè)局部極小值.(1) 畫出的一個(gè)可能的圖像.解：函數(shù)恰有兩個(gè)局部極大值和一個(gè)局部極小值，那么極小值點(diǎn)必然位于兩個(gè)極大值點(diǎn)中間，如圖：x y01–1 471 005 555 258 195 766– 356 291 851 471 996 195– 642 127 219 308 471 258– 418 455 995 219 851 555– 669 087 455 127 291 00500. 669 418 642 356 471 669 087 455 127 291 005 418 455 995 219 851 555 642 127 219 308 471 258 356 291 851 471 996 1951 471 005 555 258 195 766從表中可以看出，函數(shù)在區(qū)域[–1，1][–1，1]上的最小值是 0. 事實(shí)上，容易知道函數(shù)在區(qū)域[–1，1][–1，1]上的最小值和最大值分別為0、而正弦函數(shù) sin u 在區(qū)間[0，]上是單調(diào)遞增的，從而，得到在區(qū)域[–1，1][–1，1]上的最小值是 0.25. 試記錄某天中午 10~12 時(shí)的室外溫度變化（離散化點(diǎn)數(shù)自定），給出溫度隨時(shí)間的變化列表. 畫出這一溫度函數(shù)的散點(diǎn)圖.解：略.習(xí) 題 41. 若函數(shù) p(t) 表示在時(shí)刻 t 某種產(chǎn)品的價(jià)格，則在通貨膨脹期間，p(t) 將迅速增加. 假設(shè)某國(guó)家的經(jīng)濟(jì)正處于通貨膨脹時(shí)期，該國(guó)總統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)觀察員發(fā)現(xiàn)，通貨膨脹速率正在減慢. 于是在不久以后的某次發(fā)布會(huì)上，總統(tǒng)說(shuō)：“通貨膨脹仍然存在，但已經(jīng)在控制之下，不久物價(jià)將會(huì)穩(wěn)定下來(lái)”.(1) 用導(dǎo)數(shù)描述為什么“通貨膨脹仍然存在”；(2) 用導(dǎo)數(shù)描述為什么總統(tǒng)相信“通貨膨脹已經(jīng)在控制之下”；(3) 用導(dǎo)數(shù)描述總統(tǒng)的預(yù)言“不久物價(jià)將會(huì)穩(wěn)定下來(lái)”.解： (1) 在通貨膨脹期間，p(t) 將迅速增加，而 p(t) 表示在時(shí)刻 t 某種產(chǎn)品的價(jià)格，因此，表示“通貨膨脹仍然存在”.(2) “通貨膨脹已經(jīng)在控制之下”意味著通貨膨脹增長(zhǎng)的速率在下降，也就是 p(t) 增加的速率在下降，此時(shí)，.(3) 所謂“不久物價(jià)將會(huì)穩(wěn)定下來(lái)”是指存在某時(shí)刻 t0，物價(jià) p(t) 將不再增加，于是，存在點(diǎn) t0，使得.2. 一跳傘運(yùn)動(dòng)員從一架飛機(jī)上跳下. 假設(shè)在傘打開期間，跳傘運(yùn)動(dòng)員下落的位移為，其中 s 的單位為m，t 的單位為s. (1) 求跳傘者在區(qū)間[5，]和[，5]上的平均速度；(2) 求跳傘者在 t=15 時(shí)的瞬時(shí)速度；(提示：時(shí)，)(3) 求跳傘者在 t=5 時(shí)的瞬時(shí)加速度.解：(1) 跳傘者在區(qū)間[5，]上的平均速度是：跳傘者在區(qū)間[，5]上的平均速度是：(2) 方法1.(用導(dǎo)數(shù)的極限定義)跳傘者在 t=15 時(shí)的瞬時(shí)速度是：方法2.(用導(dǎo)數(shù)的物理意義，先求出導(dǎo)函數(shù)，再求出一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值)∵v(t)==986 ()+176∴跳傘者在 t=15 時(shí)的瞬時(shí)速度是：v(15)== (m/s)(3) 注意到，瞬時(shí)加速度 a 是速度的導(dǎo)數(shù)，是位移的二階導(dǎo)數(shù)，所以跳傘者在 t=5 時(shí)的瞬時(shí)加速度為a(5)==986 ()|t=5=(m/s2)3. 用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在 x=0 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).解：依導(dǎo)數(shù)定義，在 x=0 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是4. 一塊涼的甘薯被放進(jìn)烤箱，其溫度 T (單位：℃)由函數(shù)給出，其中 t（單位：min）從甘薯放進(jìn)烤箱開始計(jì)時(shí). (1) 的符號(hào)是什么？為什么？ (2) 的單位是什么？有什么實(shí)際意義？解：(1) 若0，則 f(t) 是增函數(shù)，所以，隨著時(shí)間的推移，甘薯溫度不斷升高；若0，則 f(t) 是減函數(shù)，所以，隨著時(shí)間的推移，甘薯溫度不斷下降.(2) 由導(dǎo)數(shù)的定義式，可知的單位是℃/min.表示，在第 20 min時(shí)刻，甘薯溫度升高的瞬時(shí)速率為 2℃/min.5. 若取較小的 h 值，利用計(jì)算器可得，如下所示：表4–5　2x 在 x=0 附近不同的差商值h2h差商：– 3– 2– 10 1 2 3 792 077 861 380 930 6881 069 32 138 64 207 97 075 099 123≈ 1（m）（2）用近似公式計(jì)算為（m），它比（1）中的精確值較小，且誤差較大.9. 已知某藥物在人體內(nèi)的代謝速度與藥物進(jìn)入人體的時(shí)間 t 呈現(xiàn)函數(shù)關(guān)系. 試畫出該函數(shù)的大致圖形，并求出代謝速度最終的穩(wěn)定值（即時(shí)的極限）. 解：函數(shù)大致圖形如下：注意到，從而代謝速度最終的穩(wěn)定值是 .10. 假定某種疾病流行天后，感染的人數(shù) N 由下式給出： （1）從長(zhǎng)遠(yuǎn)考慮，將有多少人染上這種??？（2）有可能某天會(huì)有 100 多萬(wàn)人染上病嗎？50 萬(wàn)人呢？25 萬(wàn)人呢？（注：不必求出到底哪天發(fā)生這樣的情形.）解：（1） 注意到，故從長(zhǎng)遠(yuǎn)考慮，將有 100 萬(wàn)人染上這種病.（2） 不會(huì)有 100 多萬(wàn)人染上這種病，但可能某一天會(huì)有 50 萬(wàn)人或 25 萬(wàn)人染上它.11. 設(shè)清除費(fèi)用與清除污染成分的 x % 之間的函數(shù)模型為求（1）；（2）；（3）能否 100 % 地清除污染.解：（1） （2） （3） 由（2）可知，要想 100 % 地清除污染，清除費(fèi)用是無(wú)限大的，因此不能否 100 % 地清除污染.12. 已知生產(chǎn) x 對(duì)汽車擋泥板的成本是（單位：元），每對(duì)的售價(jià)為 40 元. 于是銷售收入為.（1）出售 x+1 對(duì)比出售 x 對(duì)所產(chǎn)生的利潤(rùn)增長(zhǎng)額為當(dāng)產(chǎn)量穩(wěn)定、生產(chǎn)量很大時(shí)，這一增長(zhǎng)額為，試求這一極限值；（2）生產(chǎn)了 x 對(duì)擋泥板時(shí)，每對(duì)的平均成本為，同樣當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量很大時(shí)，每對(duì)的成本大致是，試求這一極限.解：（1）求，實(shí)質(zhì)上是求于是，（2）13. 放入 200 ℃ 烤爐中的甘薯的溫度 T 由下列關(guān)于時(shí)間 t 的函數(shù)給出：其中 T 的單位是 ℃，t 以 min 為單位，k0.（1） 若甘薯的初始溫度為20℃，求與（2） 若甘薯溫度又滿足（℃/min），求 k.解：（1）放入 200 ℃ 烤爐中的甘薯的溫度 T 隨著時(shí)間的變化，將趨近 200 ℃，即有 （1）又甘薯的初始溫度為 20 ℃，即有T(0)=a(1–e–k0)+b=b=20將 b=20，代入（1）式，得 a=180.（2）令1–e–kt=u，則，且當(dāng) t→0 時(shí)，u→0，將它們代入上式，得　　　圖3–26　　　　　　　　　　　　　　　　　圖3–27又由條件，得到 k=1/90.14. 分形幾何中有一種曲線，叫Koch雪花（圖3–26），它可通過(guò)遞歸方法生成. 設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形；將其每一邊三等分，以中間三分之一段為邊向外作正三角形，如圖3–27所示，每一條邊生成四條新邊；又將得到的多邊形的每一條邊三等分，都以中間三分之一段為邊向外作正三角形，……，如此進(jìn)行下去. 每一次等分并向外作正三角形稱為一次遞歸.（1）寫出第一個(gè)三角形的周長(zhǎng)，一次遞歸所得多邊形的周長(zhǎng)，二次遞歸所得多邊形的周長(zhǎng)，……，n 次遞歸所得多邊形的周長(zhǎng)；（2）寫出第一個(gè)三角形的面積，一次遞歸所得多邊形的面積，二次遞歸所得多邊形的面積，……，n 次遞歸所得多邊形的面積；（3）求（1）（2）中所得通項(xiàng)當(dāng)時(shí)的極限，并考慮為什么會(huì)有這樣的結(jié)果.解：（1）最初三角形的周長(zhǎng)是 P0=3.將其每一邊三等分，以中間三分之一段為邊向外作正三角形，每一條邊生成四條新邊，新邊長(zhǎng)為原來(lái)邊長(zhǎng)的1/3，故一次遞歸所得多邊形的周長(zhǎng)為.依次進(jìn)行下去，得二次遞歸所得多邊形的周長(zhǎng)，……n 次遞歸所得多邊形的周長(zhǎng).（2）最初三角形的面積是.將其每一邊三等分，以中間三分之一段為邊向外作正三角形，生成三個(gè)新三角形，每個(gè)的面積為原來(lái)三角形面積的1/9，故一次遞歸所得多邊形的面積為.依次進(jìn)行下去，得二次遞歸所得多邊形的面積，……注意，遞歸中：（1）每一條邊生成四條新邊；（2）下一步，四條新邊共生成四個(gè)新的小三角形，得到 n 次遞歸所得多邊形的面積（3）有（1）、（2）可得這意味著 Koch 雪花具有有界的面積，無(wú)窮大的邊長(zhǎng).15. 由實(shí)驗(yàn)知，在培養(yǎng)基充足等條件滿足時(shí)，某種細(xì)菌繁殖的速度與當(dāng)時(shí)已有的數(shù)量 A0 成正比，即 v=kA0（為比例常數(shù)），為求經(jīng)過(guò)時(shí)間以后細(xì)菌的數(shù)量，試按以下過(guò)程進(jìn)行計(jì)算：（1）為求時(shí)的細(xì)菌數(shù)量，將時(shí)間間隔 [0，t] 分成等份，將每一等份中的細(xì)菌繁殖速度近似看作不變時(shí)，計(jì)算第一段時(shí)間末的細(xì)菌的總數(shù)量；第二段時(shí)間末的細(xì)菌的總數(shù)量；……；歸納給出最后一段時(shí)間末的細(xì)菌的總數(shù)量（注：這只是細(xì)菌數(shù)量的一個(gè)近似值）；（2）當(dāng)時(shí)間間隔分得越細(xì)時(shí)，（1）中所得值越接近時(shí)的細(xì)菌總數(shù)量，試用你所學(xué)的知識(shí)求這里的精確值──即求時(shí)細(xì)菌總數(shù)量的精確值；（3）若測(cè)得 5 天時(shí)的細(xì)菌總數(shù)為 936 個(gè)，10 天時(shí)的細(xì)菌總數(shù)為 2 190 個(gè)，用（2）中所得公式，求開始時(shí)的細(xì)菌個(gè)數(shù)與 60 天后細(xì)菌的總數(shù).解：（1）為了計(jì)算出時(shí)的細(xì)菌數(shù)量，我們將時(shí)間間隔 [0，t] 分成 n 等份. 由于細(xì)菌的繁殖是連續(xù)變化的，在很短的一段時(shí)間內(nèi)數(shù)量的變化很小，繁殖速度可近似看作不變，因此，在第一段時(shí)間內(nèi)細(xì)菌繁殖的數(shù)量為：，第一段時(shí)間末細(xì)菌的總數(shù)量為；同樣，第二段時(shí)間末的細(xì)菌的總數(shù)量為；……；依此類推，到最后一段時(shí)間末的細(xì)菌的總數(shù)量為.（2）顯然，（1）計(jì)算出的結(jié)果只是細(xì)菌數(shù)量的一個(gè)近似值，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)了在每一小段時(shí)間（i=1，2，…，n）內(nèi)細(xì)菌繁殖的速度不變（同時(shí)還假設(shè)了各小段時(shí)間內(nèi)只繁殖一次）. 可