【正文】 擁有美元，其中 (1) 求，假定，都為常量，對于資金來講，意味著什么？ (2) 求，假定，都為常量，對于資金來講，意味著什么？解：(1) 當(dāng)，都為常量，對于資金來講，表示 B 隨時間 t 的變化率，也就是 t 增加 1 個單位，B增加.(2) 當(dāng)，都為常量，對于資金來講，表示 B 隨 r 的變化率，也就是 r 增加 1 個單位，B 增加. 20. 設(shè)某廠生產(chǎn) x 個單位的產(chǎn)品 A 與 y 個單位的產(chǎn)品 B 的成本為C(x，y)=50x+100y+x2+xy+y2+10 000試求與，并解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義.解：∵ ∴=50+210+20=90，它表示此時再多生產(chǎn) 1 個單位的產(chǎn)品 A，總成本將增加90個單位. ∵ ∴=100+10+220=150，它表示此時再多生產(chǎn)1個單位的產(chǎn)品 B，總成本將增加150個單位.21. 例 31 中，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，先求導(dǎo)、求駐點，可分出單調(diào)區(qū)間、. 在區(qū)分單調(diào)增加與單調(diào)減少區(qū)間時改用以下方法：分別在區(qū)間內(nèi)各任取一 x 值，比如對應(yīng)上述區(qū)間分別取，求各點處的導(dǎo)數(shù)值可得如下結(jié)果：由上述導(dǎo)數(shù)值情況可以斷定，所討論函數(shù)在區(qū)間、上單調(diào)增加，在區(qū)間、上單調(diào)減少.試問，為什么可以這樣做？解：注意到在上述單調(diào)區(qū)間內(nèi)部，導(dǎo)數(shù)的符號是確定的，要么為正，要么為負(fù). 于是，我們可用該區(qū)間內(nèi)某一點的導(dǎo)數(shù)值的符號，來確定該區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號，然后就可以給出單調(diào)性的判別了.22. 求下列函數(shù)的增減區(qū)間：(1) ；解：函數(shù)的定義域是(–∞，+∞)令=0又 x3–3x+2=x(x–1)2+2x2–4x+2=x(x–1)2+2(x2–2x+1) =x(x–1)2+2(x–1)2=(x–1)2(x+2)可得方程的解為 x=–2，x=1. 于是，列表：x(–∞，–2)(–2，1)(1，+∞)–++y單調(diào)減少單調(diào)增加單調(diào)增加(2) ；解：函數(shù)的定義域是(0，+∞)令=0可得方程的解為 x=–(負(fù)根，舍去)，x=. 于是，列表：x(0，)(，+∞)–+y單調(diào)減少單調(diào)增加(3) y=2sinx+cos2x（0≤x≤2π）；解：函數(shù)的定義域是[0，2π]令=0又 cosx–sin2x=cosx–2sinxcosx=cosx(1–2sinx)可得方程在區(qū)間[0，2π]的解為x=π/6，π/2，5π/6，3π/2. 于是，列表：x[0，π/6](π/6，π/2)(π/2，5π/6)(5π/6，3π/2)(3π/2，2π)+–+–+y單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)增加19. 設(shè) 1g 冰從–40 ℃ 升到 x ℃ 所需的熱量（單位：J）為試問當(dāng) x=0時，函數(shù)是否連續(xù)?并解釋它的幾何意義.解：由于故，從而當(dāng) x→0 時，函數(shù)極限不存在.于是，f（x）在 x=0 處不連續(xù).由模型的物理意義可以知道，x=0 是1g 冰從–40 ℃ 升到 x ℃ 所需的熱量的臨界值，升溫所需熱量是不同比例的.20. 設(shè)某城市居民的用水費用的函數(shù)模型為其中為用水量（單位：t），為水費（單位：元）（1）求；（2）是連續(xù)函數(shù)嗎?（3）畫出的圖形.解：（1）由于故，故于是，f（x）在 x=4 處是連續(xù)的.（2）函數(shù)的定義域是（0，+∞）.當(dāng) 0≤x 時，f（x）= 是初等函數(shù)，從而是連續(xù)的.當(dāng) x 時，f（x）=+5（x–）是初等函數(shù)，從而也是連續(xù)的.下面考察 x= 時，函數(shù)的連續(xù)性.由（1）可知，于是，f（x）在 x= 處是連續(xù)的.綜上可得，函數(shù)在定義域上是連續(xù)的.（3）的圖形如下：21. 用二分法求方程 x3–4x+1=0 在區(qū)間[1，2]內(nèi)的根.解：令f（x）= x3–4x+1. 由于 f（1）=–20，f（2）=10，故方程 x3–4x+1=0 在區(qū)間[1，2]內(nèi)有根. 可以證明，在該區(qū)間，方程只有一個根.用二分法求近似根，使其絕對誤差不超過 . 為此，只需作 n≥log2(2–1)–log2(210–3)≈ 78 即 9 次二分區(qū)間，就可達(dá)到精度.計算結(jié)果，列表如下：iaibimi=（ai+bi）/2f（mi）11.2.–22.– 62532. 796 94 5– 6545 5 75– 336 75 38– 128 577 38 19 992 38 38 19 28 846 69 38 28 33 337 69于是，求得方程 x3–4x+1=0 在區(qū)間[1，2]內(nèi)的近似根是 33，可與精確值 81 比較.圖3–3022. 圖 3–30 為函數(shù)的大致圖形，求方程所有實根的近似值（精確到三位有效數(shù)字）.解：由圖可知y(–2)0，y(–1)0及y(1)0，y(2)0，故方程在區(qū)間[–2，–1]及[1，2]內(nèi)各有一根.用二分法求[–2，–1]內(nèi)的近似根，使其絕對誤差不超過 . 為此，只需作n≥log2[–1–（–2）]–log2（210–3）≈ 78 即 9 次二分區(qū)間，就可達(dá)到精度.計算結(jié)果，列表如下：21．指出下列方程組在平面直角坐標(biāo)系下與在空間直角坐標(biāo)系下分別表示什么圖形．（1）；解：平面直角坐標(biāo)系下這兩個方程表示兩條直線的交點．空間直角坐標(biāo)系下表示兩個平面的交線．（2）；解：平面直角坐標(biāo)系下表示一個橢圓和一條直線的的交點（其實是切點）； 空間直角坐標(biāo)系下表示一個柱面和一個平面的交線（一條）．22．分別求出母線平行于 x 軸及 y 軸并且通過曲線 的柱面方程。 求經(jīng)過兩點 (1，5，1) 和 (3，2，2)，且平行于y軸的平面方程．試寫出其參數(shù)方程．解：由于平面平行y軸 ，設(shè)所求平面方程為 　（1） 將已知點代入（1）式得 ?。?） 解（2）式得 （3） 再將（3）式代入（1）式得即 為所求平面的方程． 令 ，則其參數(shù)方程為 7. 7. 方程表示什么曲面？解：將已知方程配方得 所以，原方程表示以（1，2，1）為球心，半徑為的球面．3. 3. 33．在空間直角坐標(biāo)系中，說明下列各點的位置A(3，1，2)、B(2，3，2)、C(1，2，4)、D(3，0，4)、E(0，0，2)、F(2，6，2)． 解 A(3，1，2)位于第一卦限、B(2，3，2) 位于第四卦限、C(1，2，4) 位于第八卦限、D(3，0，4) 位于平面、E(0，0，2) 位于z軸負(fù)向、F(2，6，2) 位于第六卦限．34．求點M(2，3，4)關(guān)于(1)各坐標(biāo)面(2)各坐標(biāo)軸(3)坐標(biāo)原點的對稱點的坐標(biāo)． 解 (1) 關(guān)于的對稱點為(2，3，4)，關(guān)于的對稱點為(2，3，4)，關(guān)于的對稱點為(2，3，4)．(2)關(guān)于x軸的對稱點為(2，3，4)，關(guān)于y軸的對稱點為(2，3，4)，關(guān)于z軸的對稱點為(2，3，4)． (3)關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點的坐標(biāo)為(2，3，4)．35． 求下列各函數(shù)的定義域，并畫出定義域的圖形：(1)； (2) ； (3) ； (4) ． 36． 某公司生產(chǎn)中使用 I 和 II 兩種原料，已知 I 和 II 兩種原料分別使用x單位和y單位可生產(chǎn)U單位的產(chǎn)品，這里并且第 I 種原料每單位的價值為10元，第 II 種原料每單位的價值為 4 元，產(chǎn)品成品每單位的售價為 40 元，試給出其利潤函數(shù)． 解 其單位產(chǎn)品利潤為 P=單位價格單位成本=37． 一個燈泡懸吊在半徑為r的圓桌正上方，桌上任一點受到的光照度與光線的入射角的余弦值成正比(入射角是光線與桌面的垂直線之間的夾角)，而與光源的距離平方成反比．試求桌子邊緣所得到的光照度．38． 在平行四邊形ABCD中，已知，M為對角線 AC 與 BD 的交點，試用 a，b 表示，．解 所以39． 已知|a|=5，|b|=3，|a + b|＝7，求|a b|．解 設(shè)兩向量之間的夾角為，則由余弦公式，所以， 所以|a－b|40． 由坐標(biāo)系的原點到一點所引的向量稱為這一點的向徑． 已知在平行四邊形 ABCD 中，三個頂點 A、B、C的向徑表達(dá)式為：＝，＝，＝，試求向徑的表達(dá)式，如圖 159 所示． 解 41． 一條東西走向的河流，水由東流向西，流速為 1 km/h，某游泳者從河南岸的 A 點以 2 km/h的速度游往對岸，方向為正北． 若河的寬度為4km，畫圖分析游泳者的真實游泳方向，然后求解：(1) 游泳者的游動速度？(2) 游泳者花多長時間可以游至對岸？所游的路程為多少？解 (1) (2) （h），所游路程為：（km） 42． 求下列各對點之間的距離(1) 點 A(0，0，0)與點 B(2，3，1)； (2) 點 C(5，2，3)與點 D(1，3，2)． 解 (1) (2) 43． 在x軸上求與點A(1，2，3)和B(2，3，5)等距離的點． 解 設(shè)這個點為：，則解之可得：44． 在 yOz 面上，求與點 A(4，2， 2)， B(3，1，2)和 C(0，5，1)等距離的點． 解 設(shè)這個點為：，則解之得：，所以這個點為45． 已知 a=i＋j 4k，b=2i 2j＋k，試求：、|a| 、|b|及()． 解 =； |a|=， |b|=cos()=46． 已知|a|＝4，|b|＝5，()=，試求：(1) (2) (a + b) (3) (3a 2b)2． 某工廠有一水池，其容積為100，原有水為10． ． 試將水池中水的體積表示為時間 t 的函數(shù)，且問需用多少min水池才能灌滿？解 設(shè)水的體積為 V， 則V= + 10(min)3． 以速率A (單位：)往一圓錐形容器注水． 容器的半徑為 R cm，高為H ． 試將容器中水的體積 V 分別表示成時間 t 與水高度 y 的函數(shù)． 解 4． (手機(jī)服務(wù)的選擇問題)假設(shè)目前的手機(jī)收費標(biāo)準(zhǔn)是這樣的：“133 環(huán)保網(wǎng)”的收費為每月基本費用 50 元，每通話 1 min(不足 1 min按 1 min計算)再加收 元；“神州行”無每月基本費用，但按每通話 1 min(不足 1 min按 1 min計算)加收 元計算話費．若僅在本地區(qū)使用手機(jī)，如何選擇手機(jī)服務(wù)？請給出一個建議．解 133 環(huán)保網(wǎng)話費為；神州行話費為 ≤0時，即≥125（h）時，≤，即使用“133 環(huán)保網(wǎng)”所需交納的話費較少， 若每月通話時間不足 125 min則用“神州行”合適．5． 某公司每天要支付一筆固定費用 300 元(用于房租與薪水等)，它所出售的食品的生產(chǎn)費用為 1 元/kg，而銷售價格為 2 元/kg．試問他們每天應(yīng)當(dāng)銷售多少 kg 食品才能使公司的收支保持平衡?解 (kg) 6． 設(shè)某商品的供給函數(shù)(即供給量作為價格的函數(shù))為， 需求函數(shù)(即需求量作為價格的函數(shù))為， 其中為價格．(1) (1)在同一坐標(biāo)系中，畫出的圖形；(2) (2)若該商品的需求量與供給量均衡，求其價格．解 由實際意義取7． 有一物體作直線運(yùn)動，已知物體所受阻力的大小與物體的運(yùn)動速度成正比，但方向相反．當(dāng)物體以4m/s的速度運(yùn)動時，阻力為 2 N，試建立阻力與速度之間的函數(shù)關(guān)系．解 設(shè)8． 一架飛機(jī)起飛用油是一個固定量，著陸用油是一個(不同的)固定量，空中飛行每km用油也是一個固定量，所需的燃料總量是如何依賴于航程距離的？寫出有關(guān)函數(shù)的表達(dá)式．解釋表達(dá)式中常數(shù)的意義．解 設(shè)起飛用油為，著陸用油，空中飛行用油為，則為常量，其中，其中為飛行每km用油量，為航程，因此所需燃料總量9． 財產(chǎn)保險要估價財產(chǎn)，例如對小汽車或冰箱進(jìn)行估價．財產(chǎn)的價值將隨其使用時間的加長而降低，也就是會貶值．例如最初花 100 000 元購買的小汽車，幾年后只值 50 000 元．計算財產(chǎn)值的最簡單方法是利用“貶值直線”，它假定財產(chǎn)價值是時間的線性函數(shù)．如果一個 1 950 美元的冰箱 7 年后貶得一文不值，求出其價值作為時間函數(shù)的表達(dá)式．解 設(shè)財產(chǎn)價值為，時間為，則此線性函數(shù)可設(shè)為時，；；所以10．(1) 利用表110中的數(shù)據(jù)確定一個形如的公式．該公式給出了時刻 (以月計)時，兔子的數(shù)量． (2) 該兔子種群的近似倍增期是多少? (3) 利用你的方程預(yù)測該兔子種群何時達(dá)到1 000只． 表110012345254375130226391 解 （1）解方程組：，所以公式為 （2）由得到：(月) （3）由得到：(月)注：求r的時候可以選取任意兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，也可以用其他方式進(jìn)行計算，比如用各相鄰兩組數(shù)據(jù)的差的平均值．結(jié)果略有差異．11． 旅客乘坐火車時，隨身攜帶物品，不超過 20 kg免費，超過 20 kg部分，每kg收費 元． 超過50 kg部分再加收 50 %． 試列出收費與物品重量的函數(shù)關(guān)系式． 解 設(shè)收費為，物重為，則當(dāng)≤20時，；≤12． 某