高中數(shù)學(xué)選修4-5知識點最全版資料(編輯修改稿)
2025-05-01 05:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 輯關(guān)系A(chǔ)?B1?B2?…?Bn?B由結(jié)論步步尋求不等式成立的充分條件，從而到已知．3．綜合法和分析法的比較(1)相同點：都是直接證明．(2)不同點：綜合法：由因?qū)Ч?，形式簡潔，易于表達；分析法：執(zhí)果索因，利于思考，易于探索．4．證明不等式的通常做法常用分析法找證題切入點，用綜合法寫證題過程．三 反證法與放縮法1．反證法證明不等式時，首先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立．我們把它稱之為反證法．2．放縮法證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法．3．換元法將所證的不等式的字母作適當(dāng)?shù)拇鷵Q，以達到簡化證題過程的目的，這種方法稱為換元法．注意：1．關(guān)于反證法(1)反證法的原理是否定之否定等于肯定．即— ↓ —(2)反證法的使用范圍一般以下幾種情況適宜使用反證法：①結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題；②有關(guān)結(jié)論是以“至多…”或“至少…”的形式出現(xiàn)的一類命題；③關(guān)于唯一性、存在性的命題；④結(jié)論的反面是比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題．(3)使用反證法的主要步驟(4)準(zhǔn)確地作出反設(shè)是反證法證題的前提，下面是常用詞語的反設(shè)原結(jié)論反設(shè)原結(jié)論反設(shè)是不是至少有一個一個也沒有都是至少有一個不是至多有一個至少有兩個大于小于等于至少有n個至多有(n－1)個小于大于等于至多有n個至少有(n＋1)個對所有x成立至少有一個x不成立p或q非p且非q對任何x不成立至少有一個x成立p且q非p或非q(5)運用反證法的五點說明①反設(shè)時一定不能把“假設(shè)”寫成“設(shè)”．②當(dāng)結(jié)論的反面有多種可能時，必須全部列出，否則證明是不完整的．③必須從結(jié)論的否定出發(fā)進行推理，就是一定把結(jié)論的否定作為推理的條件，只要推理中沒有用到“假設(shè)”就不是反證法．④最后導(dǎo)出的矛盾是多樣的，可能與已知矛盾、與假設(shè)矛盾、與定義、定理、公式矛盾、與已知的事實矛盾等，但矛盾必須是明顯的．⑤反證法是一種間接證明的方法．2．關(guān)于放縮法(1)放縮法證明不等式的理論依據(jù)有：①不等式的傳遞性；②等量加不等量為不等量．其中減去一個正數(shù)值變小(縮)，加上一個正數(shù)值變大(放)；③同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較；④基本不等式與絕對值三角不等式；⑤三角函數(shù)的有界性等．(2)運用放縮法證題的關(guān)鍵是：放大或縮小要適當(dāng)，千萬不能放(縮)過頭，否則問題無法獲證．(3)使用放縮法的常用變形放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往從要證明的結(jié)論考慮．常用的放縮法有增項、減項、利用分式的性質(zhì)、利用不等式的性質(zhì)、利用已知不等式、利用函數(shù)的性質(zhì)等進行放縮．比如：＋；(n∈N且n≥2)；(n∈N*)；(n∈N且n≥2)，；當(dāng)ab0，m0時，等．第三講 柯西不等式與排序不等式1．二維形式的柯西不等式若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，等號成立．2．柯西不等式的向量形式設(shè)α，β是兩個向量，則|αβ|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實數(shù)k，使α＝kβ時，等號成立．3．二維形式的三角不等式設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥ 注意：1．二維柯西不等式的三種形式及其關(guān)系定理1是柯西不等式的代數(shù)形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式．根據(jù)向量的意義及其坐標(biāo)表示不難發(fā)現(xiàn)二維形式的柯西不等式及二維形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐標(biāo)表示．2．理解并記憶三種形式取“＝”的條件(1)代數(shù)形式中當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時取等號．(2)向量形式中當(dāng)存在實數(shù)k，α
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