【文章內容簡介】 排法 這四類排法并列，不重復也不遺漏，故總的排法有： （種）． 分析與解法3：根據要求，課表安排還可分下述4種情況： （1）體育，數(shù)學既不在最后也不在開頭一節(jié)，有種排法； （2）數(shù)學排在第一節(jié)，體育不排在最后一節(jié)，有4種排法； （3）體育在最后一書，數(shù)學木在第一節(jié)有4種排法； （4）數(shù)學在第一節(jié)，體育在最后一節(jié)有1種排法． 上述 21種排法確定以后，僅剩余下四門課程排法是種，故總排法數(shù)為（種）． 下面再提出一個問題，請予解答． 問題：有6個人排隊，甲不在排頭，乙不在排尾，問并肩多少種不同的排法． 請讀者完成此題． 說明：解答排列、組合問題要注意一題多解的練習，不僅能提高解題能力，而且是檢驗所解答問題正確與否的行之有效的方法．典型例題五例5　現(xiàn)有輛公交車、位司機和位售票員，每輛車上需配位司機和位售票員．問車輛、司機、售票員搭配方案一共有多少種？分析：可以把輛車看成排了順序的三個空：，然后把名司機和名售票員分別填入．因此可認為事件分兩步完成，每一步都是一個排列問題．解：分兩步完成．第一步，把名司機安排到輛車中，有種安排方法；第二步把名售票員安排到輛車中，有種安排方法．故搭配方案共有種．說明：許多復雜的排列問題，不可能一步就能完成．而應分解開來考慮：即經適當?shù)胤诸惓煞只蚍植街?，應用分類計?shù)原理、分步計數(shù)原理原理去解決．在分類或分步時，要盡量把整個事件的安排過程考慮清楚，防止分類或分步的混亂．典型例題六例6　下是表是高考第一批錄取的一份志愿表．如果有所重點院校，每所院校有個專業(yè)是你較為滿意的選擇．若表格填滿且規(guī)定學校沒有重復，同一學校的專業(yè)也沒有重復的話，你將有多少種不同的填表方法？分析：填寫學校時是有順序的，因為這涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的問題；同一學校的兩個專業(yè)也有順序，要區(qū)分出第一專業(yè)和第二專業(yè)．因此這是一個排列問題．解：填表過程可分兩步．第一步，確定填報學校及其順序，則在所學校中選出所并加排列，共有種不同的排法；第二步，從每所院校的個專業(yè)中選出個專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有種．綜合以上兩步，由分步計數(shù)原理得不同的填表方法有：種．說明：要完成的事件與元素的排列順序是否有關，有時題中并未直接點明，需要根據實際情景自己判斷，特別是學習了后面的“組合”之后這一點尤其重要．“選而且排”（元素之間有順序要求）的是排列，“選而不排”（元素之間無順序要求）的是組合．另外，較復雜的事件應分解開考慮．典型例題七例5　名同學排隊照相．(1)若分成兩排照，前排人，后排人，有多少種不同的排法？(2)若排成兩排照，前排人，后排人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？(4)若排成一排照，人中有名男生，名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？分析：(1)可分兩步完成：第一步，從人中選出人排在前排，有種排法；第二步，剩下的人排在后排，有種排法，故一共有種排法．事實上排兩排與排成一排一樣，只不過把第個位子看成第二排而已，排法總數(shù)都是，相當于個人的全排列．(2)優(yōu)先安排甲、乙．(3)用“捆綁法”．(4)用“插空法”．解：(1) 種．(2)第一步安排甲，有種排法；第二步安排乙，有種排法；第三步余下的人排在剩下的個位置上，有種排法，由分步計數(shù)原理得，符合要求的排法共有種．(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余個元素排成一排，即看成個元素的全排列問題，有種排法；第二步，甲、乙、丙三人內部全排列，有種排法．由分步計數(shù)原理得，共有種排法．(4)第一步，名男生全排列，有種排法；第二步，女生插空，即將名女生插入名男生之間的個空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有種插入方法．由分步計數(shù)原理得，符合條件的排法共有：種．說明：(1)相鄰問題用“捆綁法”，即把若干個相鄰的特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，與其他普通元素全排列；最后再“松綁”，將這些特殊元素進行全排列．(2)不相鄰問題用“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間．典型例題八例8　從五個數(shù)字中每次取出三個不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求所有三位數(shù)的和．分析：可以從每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)來分析，例如“”，當它位于個位時，即形如的數(shù)共有個（從四個數(shù)中選兩個填入前面的兩個空），當這些數(shù)相加時，由“”所產生的和是．當位于十位時，即形如的數(shù)也有，那么當這些數(shù)相加時，由“”產生的和應是．當位于面位時，可同理分析．然后再依次分析的情況．解：形如的數(shù)共有個，當這些數(shù)相加時，由“”產生的和是；形如的數(shù)也有個，當這些數(shù)相加時，由“”產生的和是；形如的數(shù)也有個，當這些數(shù)相加時，由“”產生的和應是．這樣在所有三位數(shù)的和中，由“”產生的和是．同理由產生的和分別是，，因此所有三位數(shù)的和是．說明：類似于這種求“數(shù)字之和”的問題都可以用分析數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)的辦法來解決．如“由四個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，若所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為，求數(shù)”．本題的特殊性在于，由于是全排列，每個數(shù)字都要選用，故每個數(shù)字均出現(xiàn)了次，故有，得．典型例題九例9　計算下列各題：(1) ；　　(2) ；　　(3) ；(4) 　　(5) 解：(1) ；(2) 。(3)原式；(4)原式；(5)∵，∴．說明：準確掌握好排列公式是順利進行計算的關鍵．本題計算中靈活地用到下列各式：；；；使問題解得簡單、快捷．典型例題十例10　六人排一列縱隊，限定要排在的前面（與可以相鄰，也可以不相鄰），求共有幾種排法．對這個題目，、四位同學各自給出了一種算式：的算式是；的算式是；的算式是；的算式是．上面四個算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說明理由．解：中很顯然，“在前的六人縱隊”的排隊數(shù)目與“在前的六人縱隊”排隊數(shù)目相等，而“六人縱隊”的排法數(shù)目應是這二者數(shù)目之和．這表明：的算式正確．中把六人排隊這件事劃分為占位，占位，其他四人占位這樣三個階段，然后用乘法求出總數(shù)，注意到占位的狀況決定了占位的方法數(shù)，第一階段，當占據第一個位置時，占位方法數(shù)是；當占據第2個位置時，占位的方法數(shù)是；……；當占據第5個位置時，占位的方法數(shù)是，當，占位后，再排其他四人，他們有種排法，可見的算式是正確的．中可理解為從6個位置中選4個位置讓占據，這時，剩下的兩個位置依前后順序應是的．因此的算式也正確．中把6個位置先圈定兩個位置的方法數(shù)，這兩個位置讓占據，顯然，占據這兩個圈定的位置的方法只有一種（要在的前面），這時，再排其余四人，又有種排法，可見的算式是對的．說明：下一節(jié)組合學完后，可回過頭來學習的解法．典型例題十一例11　八個人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法？解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類情況．應當使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三個步驟，又要用到分步計數(shù)原理，這樣可有如下算法：(種)．解法2：采取“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法．把“甲坐在第一排的八人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個數(shù)目是．在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法．”這個數(shù)目是．其中第一個因數(shù)表示甲坐在第一排的方法數(shù)，表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)，表示把選出的這個人安排在第一排的方法數(shù)，下一個則表示乙、丙中沿未安排的那個人坐在第二排的方法數(shù)，就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為(種)．說明：解法2可在學完組合后回過頭來學習．典型例題十二例12 計劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且不彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（　?。瓵．　　B．　　C．　　D．解：將同一品種的畫“捆”在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有種排列．但4幅油畫、5幅國畫本身還有排列順序要求．所以共有種陳列方式．∴應選D．說明：關于“若干個元素相鄰”的排列問題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個元素“捆綁”在一起，看作一個大元素，與其他的元素進行全排列；然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內部進行全排列．本例題就是一個典型的用“捆綁”法來解答的問題．典型例題十三例13 由數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)的個數(shù)共有（　?。瓵．210　　B．300　　C．464　　D．600解法1：（直接法）：分別用作十萬位的排列數(shù)，共有種，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有個．解法2：（間接法）：取個數(shù)字排列有，而作為十萬位的排列有，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有(個)．∴應選B．說明：(1)直接法、間接法是解決有關排列應用題的兩種基本方法，何時使用直接法或間接法要視問題而定，有的問題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時應考慮能否用間接法來解．(2)“個位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對稱性，這兩類的六位數(shù)個數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問題還有6個人排隊照像時，甲必須站在乙的左側，共有多少種排法．典型例題十四例14 用，這五個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（　?。瓵．24個　　B．30個　　C．40個　　D．60個分析：本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項分析判斷．解法1：分類計算．將符合條件的偶數(shù)分為兩類．一類是2作個位數(shù)，共有個，另一類是4作個位數(shù)，也有個．因此符合條件的偶數(shù)共有個．解法2：分步計算．先排個位數(shù)字，有種排法，再排十位和百位數(shù)字，有種排法，根據分步計數(shù)原理，三位偶數(shù)應有個．解法3：按概率算．用這個數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)共有個，其中偶點其中的．因此三位偶數(shù)共有個．解法4：利用選擇項判斷．用這個數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)共有個．其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個數(shù)應少于個，四個選擇項所提供的答案中，只有符合條件．∴應選．典型例題十五例15　(1)計算．(2)求()的個位數(shù)字．分析：本題如果直接用排列數(shù)公式計算，在運算上比較困難，現(xiàn)在我們可以從和式中項的特點以及排列數(shù)公式的特點兩方面考慮．在(1)中，項可抽象為，(2)中，項為，當時，乘積中出現(xiàn)5和2，積的個位數(shù)為0，在加法運算中可不考慮．解：(1)由∴原式．(2)當時，的個位數(shù)為0，∴()的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同．而，∴的個位數(shù)字為3．說明：對排列數(shù)公式特點的分析是我們解決此類問題的關鍵，比如：求證：，我們首先可抓等式右邊的，∴左邊右邊．典型例題十六例16　用共六個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個無重復數(shù)字的位偶數(shù)？(2)可以組成多少個無重復數(shù)字且被整除的三位數(shù)？分析：位偶數(shù)要求個位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是，由于個位用或者不用數(shù)字，對確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個位數(shù)字用或者用進行分類．一個自然數(shù)能被整除的條件是所有數(shù)字之和是的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個數(shù)字，然后進行排列，但要注意就用與不用數(shù)字進行分類．解：(1)就個位用還是用分成兩類，個位用，其它兩位從中任取兩數(shù)排列，共有(個)，個位用或，再確定首位，最后確定十位，共有(個)，所有位偶數(shù)的總數(shù)為：(個)．(2)從中取出和為的倍數(shù)的三個數(shù)，分別有下列取法：、、前四組中有，后四組中沒有，用它們排成三位數(shù)，如果用前組，共有(個)，如果用后四組，共有(個)，所有被整除的三位數(shù)的總數(shù)為(個)．典型例題十七例17　一條長椅上有個座位，人坐，要求個空位中，有個空位相鄰，另一個空位與個相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？分析：對于空位，我們可以當成特殊元素對待，設空座梯形依次編號為．先選定兩個空位，可以在號位，也可以在號位…共有六種可能，再安排另一空位，此時需看到，如果空位在號，則另一空位可以在號位，有種可能，相鄰空位在號位，亦如此．如果相鄰空位在號位，另一空位可以在號位，只有種可能，相鄰空位在號，號，號亦如此，所以必須就兩相鄰空位的位置進行分類．本題的另一考慮是，對于兩相鄰空位可以用合并法看成一個元素與另一空位插入已坐人的個座位之間，用插空法處理它們的不相鄰．解答一：就兩相鄰空位的位置分類：若兩相鄰空位在或，共有(種)坐法．若兩相鄰空位在，或，共有(種)不同坐法，所以所有坐法總數(shù)為(種)．解答二：先排好個人，然后把兩空位與另一空位插入坐好的人之間，共有(種)不同坐法．解答三：本題還可采用間接法，逆向考慮在所有坐法中去掉個空位全不相鄰或全部相鄰的情況，個人任意坐到個座位上，共有種坐法，三個空位全相鄰可以用合并法，直接將三個空位看成一個元素與其它座位一起排列，共有種不同方法．三個空位全不相鄰仍用插空法，但三個空位不須排列，直接插入個人的個間隔中，有種不同方法，所以，所有滿足條件的不同坐法種數(shù)為(種)．排列與組合習題1．6個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為(　　)A．40　 　　 B．50　 　　C．60　 　　 D．70 [解析]　先分組再排列，一組2人一組4人有C＝15種不同的分法；兩組各3人共有＝10種不同的分法，所以乘車方法數(shù)為252＝50，故選B.2．有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有(　　)A．36種 B．48種 C．72種 D．96種 [解析]　恰有兩個空座位相鄰，相當于兩個空位與第三個空位不相鄰，先排三個人，然后插空，從而共AA＝72種排法，故選C.3．只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有(　　)A．6個 B．9個 C．18個 D．36個