【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?，則只能B＝{a，b}；若A＝{a}，則B可以為或{a，b}；若A＝，則B可以為{a}或{a，b}；若A＝{a，b}，則B可以是?，{a}，，{a，b}這四個(gè)集合中的某一個(gè)，所以，使得A∪B＝{a，b}成立的“有序集合對(duì)”(A，B)共有9個(gè)，答案為A．　有限集合S中元素的個(gè)數(shù)記做card(S)．設(shè)A，B都為有限集合，給出下列命題：① A∩B＝?的充要條件是card(A∪B)＝card(A)＋card(B)；② A?B的必要條件是card(A)≤card(B)；③ A?B的充分條件是card(A)≤card(B)；④ A＝B的充要條件是card(A)＝card(B)，其中真命題的序號(hào)是(　)．(A) ③，④ (B) ①，② (C) ①，④ (D) ②，③解析　用文氏圖可知，當(dāng)A∩B＝?時(shí)，必有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)．反之，若card(A∪B)＝card(A)＋card(B)，也必有A∩B＝?．于是，card(A∪B)＝card(A)＋card(B)是A∩B＝?的充要條件；若A?B，則card(A)≤card(B)；反之，當(dāng)card(A)≤card(B)時(shí)，未必有A?B，于是，card(A)≤card(B)是A?B的必要條件；當(dāng)card(A)≤card(B)時(shí)，有可能有A?B，于是，card(A)≤card(B)是A?B的既不充分，也不必要條件；card(A)＝card(B)是A＝B的必要不充分條件，所以，答案為B．　若非空集合A，B，C滿足A∪B＝C，且B不是A的子集，則(　)．(A) x∈C是x∈A的充分條件但不是必要條件(B) x∈C是x∈A的必要條件但不是充分條件(C) x∈C是x∈A的充要條件(D) x∈C既不是x∈A的充分條件，也不是x∈A的必要條件解析　若x∈A，則一定有x∈A∪B＝C，于是，x∈C是x∈A的必要條件；如果x∈C＝A∪B時(shí)必有x∈A，則C?A，即A∪B?A，于是，任取y∈B?A∪B?A，則y∈A，B?A，矛盾，所以，x∈C是x∈A的必要條件但不是充分條件，答案為B．　已知集合M＝{2，3，m2＋4m＋2}，P＝{0，7，m2＋4m－2，2－m}滿足M∩P＝{3，7}，則實(shí)數(shù)m的值是　　　　?。馕觥∮梢阎?∈M，則m2＋4m＋2＝7，解得m＝1或m＝－5．若m＝1，則m2＋4m－2＝3，2－m＝1．若m＝－5，2－m＝7，與集合中元素的互異性矛盾，所以，m的值是1．　如果全集U＝{a，b，c，d，e，f}，A＝{a，b，c，d}，A∩B＝{a}，?U(A∪B)＝{f}，則B＝　　　　　．解析　由表示集合U，A，B的圖形可得只有e∈(?UA)∩B，所以，B＝{a，e}．　如果全集U含有12個(gè)元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2個(gè)元素，?UP∩?UQ含有4個(gè)元素，?UP∩Q含有3個(gè)元素，則P含有　　　　個(gè)元素；Q含有　　　　個(gè)元素．解析　由表示集合U，P，Q的圖形可得P，Q中各有5個(gè)元素．　集合A＝{x|x＝5k＋3，k∈N}， B＝{x|x＝7k＋2，k∈N}，則A∩B中的最小元素是　　　　?。馕觥∮梢阎傻眉螦＝{3，8，13，18，23，28，33，…}， B＝{2，9，16，23，30，…}，所以，A∩B中的最小元素是23．　已知集合A＝{x|－8≤x≤6}，B＝{x|x≤m}，若A∪B≠B且A∩B≠?，則m的取值范圍是　　　　　．解析　將集合A，B表示在數(shù)軸上可知m的取值范圍是－8≤m6．　已知常數(shù)a是正整數(shù)，集合A＝x|x－a|a＋12，x∈Z， B＝{x‖x|2a，x∈Z}，則集合A∪B中所有元素之和為　　　　　．解析　由|x－a|a＋12可得－12x2a＋12，而x∈Z，于是，A＝{0，1，2，3，…，2a－1，2a}，由|x|2a得－2ax2a，又x∈Z，則B＝{－(2a－1)，－(2a－2)，…，(2a－2)，(2a－1)}．于是，A∪B＝{－(2a－1)，－(2a－2)，…，－1，0，1，…，(2a－2)，(2a－1)，2a}，其中所有元素之和為2a．　我們將b－a稱(chēng)為集合{x|a≤x≤b}的“長(zhǎng)度”．若集合M＝xm≤x≤m＋34，N＝xn－13≤x≤n，且M和N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，則集合M∩N的“長(zhǎng)度”的最小值是(　)．(A) 13 (B) 112 (C) 23 (D) 512解析　集合M和N的“長(zhǎng)度”分別是34和13，又M和N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，于是，當(dāng)m＝14，n＝0時(shí)，集合M∩N的“長(zhǎng)度”取得最小值13－14＝112，答案為B．　已知集合A＝{x|x2＋(m＋2)x＋1＝0，x∈R}，且A∩R＋＝?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解析　若A＝?，則Δ＝(m＋2)2－40，解得－4m0；若A≠?，則由x2＋(m＋2)x＋1＝0沒(méi)有正數(shù)根得(m＋2)2－4≥0，－m＋2≤0， 1≥0， 解得m≥0．所以，m的取值范圍是m－4．　若集合A＝{x|x2－2ax＋a＝0，x∈R}，B＝{x|x2－4x＋a＋5＝0，x∈R}．(1) 若A＝B＝?，求a的取值范圍；(2) 若A和B中至少有一個(gè)是?，求a的取值范圍；(3) 若A和B中有且僅有一個(gè)是?，求a的取值范圍．解析　(1) 若A＝?，則4a2－4a0，解得0a1．若B＝?，則16－4(a＋5)0，解得a－1，所以，使A＝B＝?成立的a的取值范圍是0a1．(2) 設(shè) A39。＝(0，1)，B39。＝(－1，＋∞)，則使A和B中至少有一個(gè)是?的實(shí)數(shù)a∈ A39。∪B39。，即使A和B中至少有一個(gè)是?的實(shí)數(shù)a的取值范圍是a－1．(3) 使A和B中有且僅有一個(gè)是?的a∈[A39?！??RB39。)]∪[(?RA39。)∩B39。]，所以，使A和B中有且僅有一個(gè)是?的a的取值范圍是－1a≤0或a≥1．167。1–2　簡(jiǎn)易邏輯一、命題　如果一個(gè)命題的逆命題是真命題，那么這個(gè)命題的(　)．(A) 否命題必是真命題 (B) 否命題必是假命題(C) 原命題必是假命題 (D) 逆否命題必是真命題解析　一個(gè)命題的逆命題與否命題真假相同，答案為A．　命題“對(duì)任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　)．(A) 不存在x∈R，x3－x2＋1≤0　(B) 存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C) 存在x∈R，x3－x2＋10　(D) 對(duì)任意的x∈R，x3－x2＋10解析　“對(duì)任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，使得x3－x2＋10”，答案為C．　與命題“若a?M，則b?M”等價(jià)的命題是(　)．(A) 若b∈M，則a?M (B) 若b?M，則a∈M(C) 若b∈M，則a∈M (D) 若a?M，則b∈M解析　逆否命題與原命題互為等價(jià)命題，原命題的逆否命題為“若b∈M，則a∈M”，所以，答案為C．　設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可以推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命題總成立的是(　)．(A) 若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立(B) 若f(5)≥25成立，則當(dāng)k≤5時(shí)，均有f(k)≥k2成立(C) 若f(7)49成立，則當(dāng)k≥8時(shí)，均有f(k)k2成立(D) 若f(4)＝25成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立解析　由2516得f(4)＝25使得f(4)≥42成立，由已知可得當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立，答案為D．　命題“若x21，則－1x1”的逆否命題是(　)．(A) 若x2≥1，則x≥1或x≤－1 (B) 若－1x1，則x21(C) 若x1或x－1，則x21 (D) 若x≥1或x≤－1，則x2≥1解析　命題“若x21，則－1x1”的逆否命題是“若x≥1或x≤－1，則x2≥1”，答案為D．　在原命題“若A∪B≠B，則A∩B≠A”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是　　　?。馕觥≡}的逆否命題為“若A∩B＝A，則A∪B＝B”．當(dāng)A∩B＝A時(shí)，任取x∈A＝A∩B，必有x∈B，則A?B，必有A∪B＝B成立，所以，逆否命題和原命題都是真命題．原命題的否命題為“若A∪B＝B，則A∩B＝A”，同上，可知否命題和逆命題也都是真命題．所以，在這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是4．　若a，b都是非零實(shí)數(shù)，證明：|a|＋|b|＝|a＋b|與ab0等價(jià)．解析　若|a|＋|b|＝|a＋b|，則(|a|＋|b|)2＝|a＋b|2，a2＋b2＋2|a||b|＝a2＋b2＋2ab，于是，|ab|＝ab，可得ab0；若ab0，則a0，b0 或a0，b0，于是，|a|＋|b|＝|a＋b|．所以，當(dāng)a，b都是非零實(shí)數(shù)時(shí)，|a|＋|b|＝|a＋b|與ab0等價(jià)．　已知A和B都是非空集合，證明：“A∪B＝A∩B”與“A＝B”是等價(jià)的．解析　若A∪B＝A∩B，則任取x∈A，必有x∈A∪B＝A∩B，于是，x∈A∩B，則x∈B，所以，A?B，同理可得B?A，于是，A＝B；若A＝B，則顯然有A∪B＝A∩B，所以，“A∪B＝A∩B”與“A＝B”是等價(jià)的．　已知a，b，c是實(shí)數(shù)，則與“a，b，c互不相等”等價(jià)的是(　)．(A) a≠b且b≠c (B) (a－b)(b－c)(c－a)≠0(C) (a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0 (D) a2，b2，c2互不相等解析　由于不相等關(guān)系不具有傳遞性，當(dāng)a≠b且b≠c，a與c可能相等；由(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0可得a＝b，b＝c，c＝a中至少有一個(gè)不成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0等價(jià)于“a，b，c不全相等”，而不能等價(jià)于“a，b，c互不相等”；a＝－1，b＝0，c＝1，此時(shí)a，b，c互不相等，但a2＝c2，所以，“a，b，c互不相等”與“a2，b2，c2互不相等”不是等價(jià)的；a≠b等價(jià)于a－b≠0，“a，b，c互不相等”等價(jià)于a－b≠0，b－c≠0，c－a≠0同時(shí)成立，所以，“a，b，c互不相等”與“(a－b)(b－c)(c－a)≠0”等價(jià)，答案為B．　命題“若ab＝0，則a、b中至少有一個(gè)為零”的逆否命題為　　 ．解析　原命題的逆否命題為“若a、b均不為零，則ab≠0”．　給出下列四個(gè)命題：① 若x2＝y(tǒng)2，則x＝y(tǒng)；② 若x≠y，則x2≠y2；③ 若x2≠y2，則x≠y；④ 若x≠y且x≠－y，則x2≠y2，其中真命題的序號(hào)是　　　　?。馕觥∮蓌2＝y(tǒng)2可得x＝y(tǒng)或x＝－y，命題①不成立；若x＝－y≠0，此時(shí)x≠y，而x2＝y(tǒng)2，于是，命題②不成立；若x2≠y2時(shí)有x＝y(tǒng)，則可得x2＝y(tǒng)2，矛盾，于是，命題③成立；對(duì)于x≠y且x≠－y，如果x2＝y(tǒng)2，則有x＝y(tǒng)或x＝－y，即x＝y(tǒng)與x＝－y至少有一個(gè)成立，矛盾，于是，命題④成立．所以，上述四個(gè)命題中，真命題的序號(hào)是③和④．　已知命題p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根．命題q：方程4x2＋ 4(m－2)x＋1＝0沒(méi)有實(shí)根．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解析　當(dāng)命題p為真時(shí)，應(yīng)有m2－40，－m0， 10， 解得m2．當(dāng)命題q為真時(shí)，應(yīng)有Δ＝16(m－2)2－160，解得1m3．于是，使“p或q”為真的m的取值范圍是m1，使“p且q”為假的m的取值范圍是m≤2或m≥3，所以，使兩者同時(shí)成立的m的取值范圍是m≥3或1m≤2．a(chǎn)11a12a13a21a22a23a31a32a33　某人要在一張33的表格中填入9個(gè)數(shù)(填的數(shù)有正有負(fù))，他要使得表中任意一行的三個(gè)數(shù)之和為正，而任意一列的三個(gè)數(shù)之和為負(fù)．求證：他一定不能寫(xiě)出滿足要求的數(shù)表．解析　若此人能寫(xiě)出滿足要求的數(shù)表，則由a11＋a12＋a130，a21＋a22＋a230，a31＋a32＋a330可得數(shù)表中的九個(gè)數(shù)之和為正；同時(shí)，又有a11＋a21＋a310，a12＋a22＋a320，a13＋a23＋a330，則數(shù)表中的九個(gè)數(shù)之和為負(fù)，矛盾，所以，此人一定不能寫(xiě)出滿足要求的數(shù)表．　設(shè)a，b∈R，A＝{(x，y)|y＝ax＋b，x∈Z}，B＝{(x，y)|y＝3x2＋15，x∈Z}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}都是平面xOy內(nèi)的點(diǎn)的集合．求證：不存在a，b，使得A∩B≠?，且點(diǎn)(a，b)∈C同時(shí)成立．解析　設(shè)滿足要求的a，b存在，則P(a，b)∈C，即a2＋b2≤144．由y＝ax＋b， y＝3x2＋15，得ax＋b－(3x2＋15)＝0，在aOb平面內(nèi)，原點(diǎn)到直線ax＋b－(3x2＋15)＝0的距離是|3x2＋15|x2＋1＝3x2＋1＋12x2＋1 ≥12，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)3x2＋1＝12x2＋1 ，即x2＝3時(shí)成立，但它與x∈Z矛盾，所以，使A∩B≠?成立的(a，b)必有 a2＋b212，與a2＋b2≤144矛盾，所以，滿足要求的a，b不存在．　中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”，“平行關(guān)系”等等，如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系“~”滿足以下三個(gè)條件：(1) 自反性：對(duì)于任意a∈A，都有a~a；(2) 對(duì)稱(chēng)性：對(duì)于a，b∈A，若a~b，則有b~a；(3) 傳遞性：對(duì)于a，b，c∈A，若a~b，b~c，則有a~c，則稱(chēng)“~”是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，例如：“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系，而“直線的平行”不是等價(jià)關(guān)系(自反性不成立)，請(qǐng)你再列出三個(gè)等價(jià)關(guān)系：　　　　　?。馕觥∮杉稀⒔?、向量的性質(zhì)可知，“集合相等”、“角相等”、“向量相等”都是滿足要求的等價(jià)關(guān)系．　已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，a，