必學(xué)二高中數(shù)學(xué)立體幾何專題——空間幾何角和距離的計(jì)算(編輯修改稿)
2025-05-01 04:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 分而=（0，0，1），依題意PA與平面PDE所成角為45176。,∴sin45176。==，∴=, 14分得BE=x=或BE=x=+＞（舍去）.故BE=時(shí)，PA與平面PDE所成角為45176。. 16分，AF、DE分別是⊙O、⊙O1的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD=⊙O的直徑，AB=AC=6，OE∥AD.（1）求二面角BADF的大?。唬?）求直線BD與EF所成的角的余弦值.解 （1）∵AD與兩圓所在的平面均垂直，∴AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.依題意可知，ABFC是正方形，∴∠BAF=45176。.即二面角B—AD—F的大小為45176。（2）以O(shè)為原點(diǎn)，CB、AF、OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則O（0，0，0），A（0，3，0），B（3，0，0），D（0，3，8），E（0，0，8），F(xiàn)（0，3，0），∴=（3，3，8），=（0，3，8）.cos〈,〉= ==.設(shè)異面直線BD與EF所成角為，則cos=|cos〈,〉|=.即直線BD與EF所成的角的余弦值為.：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4，E、F分別為棱AB、BC的中點(diǎn).（1）求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（2）求點(diǎn)D1到平面B1EF的距離.（1）證明 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（2，2，0），E（2，0），F(xiàn)（，2，0），D1（0，0，4），B1（2，2，4）.=（，0），=（2，2，0），=（0，0，4），∴=0，=0.∴EF⊥DB，EF⊥DD1，DD1∩BD=D，∴EF⊥平面BDD1B1.又EF平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.（2）解 由（1）知=（2，2，0），=（，0），=（0，，4）.設(shè)平面B1EF的法向量為n,且n=(x,y,z)則n⊥,n⊥即n=（x，y，z）（，0）=x+y=0，n=（x，y，z）（0，，4）=y4z=0，令x=1,則y=1,z=,∴n=(1,1, )∴D1到平面B1EF的距離d===.，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn).（1）求直線AC與PB所成角的余弦值；（2）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥平面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離.解 方法一 （1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A（0，0，0），B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E(0，1)，從而=（，1，0），=（，0，2）.設(shè)與的夾角為，則cos===，∴AC與PB所成角的余弦值為.（2）由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x,0,z）,則=（x，1z），由NE⊥平面PAC可得，即,化簡得,∴即N點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0，1），從而N點(diǎn)到AB、AP的距離分別為1，.方法二 （1）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，AE，BD，則OE∥PB，∴∠EOA即為AC與PB所成
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