【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手．　　證 計(jì)算an的前若干個(gè)值，尋找規(guī)律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…發(fā)現(xiàn)：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，…an…是由20個(gè)數(shù)字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)，即　　下面證明ak+20=ak．　　令f(n)=12+22+…+n2，當(dāng)f(n+20)f(n)是10的倍數(shù)時(shí)，表明f(n+20)與f(n)有相同的個(gè)位數(shù)，而　　f(n+20)f(n)　　=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2　　=10(2n2+42n)+(12+22+…+202)．　　由前面計(jì)算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍數(shù)，故ak+20=ak成立，…an…是一個(gè)有理數(shù)．練習(xí)三　　1．下列各數(shù)中哪些是有理數(shù)，哪些是無(wú)理數(shù)？為什么？　　　　　　　　　　　5．設(shè)α，β為有理數(shù)，γ為無(wú)理數(shù)，若α+βγ=0，求證：α=β=0．　第四講 分式的化簡(jiǎn)與求值　　分式的有關(guān)概念和性質(zhì)與分?jǐn)?shù)相類似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零時(shí)才有意義；也像分?jǐn)?shù)一樣，分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變，這一性質(zhì)是分式運(yùn)算中通分和約分的理論根據(jù)．在分式運(yùn)算中，主要是通過(guò)約分和通分來(lái)化簡(jiǎn)分式，從而對(duì)分式進(jìn)行求值．除此之外，還要根據(jù)分式的具體特征靈活變形，以使問(wèn)題得到迅速準(zhǔn)確的解答．本講主要介紹分式的化簡(jiǎn)與求值．　　例1 化簡(jiǎn)分式：　　分析 直接通分計(jì)算較繁，先把每個(gè)假分式化成整式與真分式之和的形式，再化簡(jiǎn)將簡(jiǎn)便得多．　　　　　　　 　　?。剑?2a+1)(a3)(3a+2)+(2a2)］　　　　　 　　　　　　 　　　說(shuō)明 本題的關(guān)鍵是正確地將假分式寫成整式與真分式之和的形式．　　例2 求分式　　當(dāng)a=2時(shí)的值．　　分析與解 先化簡(jiǎn)再求值．直接通分較復(fù)雜，注意到平方差公式：　　a2b2=(a+b)(ab)，　　可將分式分步通分，每一步只通分左邊兩項(xiàng)．　　　　　　　　例3 若abc=1，求　　分析 本題可將分式通分后，再進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，但較復(fù)雜．下面介紹幾種簡(jiǎn)單的解法．　　解法1 因?yàn)閍bc=1，所以a，b，c都不為零．　　　　 　　　解法2 因?yàn)閍bc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．　　　　　　　　　　例4 化簡(jiǎn)分式：　　　分析與解 三個(gè)分式一齊通分運(yùn)算量大，可先將每個(gè)分式的分母分解因式，然后再化簡(jiǎn)．　　　　說(shuō)明　　　　互消掉的一對(duì)相反數(shù)，這種化簡(jiǎn)的方法叫“拆項(xiàng)相消”法，它是分式化簡(jiǎn)中常用的技巧．　　例5 化簡(jiǎn)計(jì)算(式中a，b，c兩兩不相等)：　　　似的，對(duì)于這個(gè)分式，顯然分母可以分解因式為(ab)(ac)，而分子又恰好湊成(ab)+(ac)，因此有下面的解法．　　解　　　　說(shuō)明 本例也是采取“拆項(xiàng)相消”法，所不同的是利用　　例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求　　　　分析 本題字母多，分式復(fù)雜．若把條件寫成(xa)+(ya)+(za)=0，那么題目只與xa，ya，za有關(guān)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，可用換元法求解．　　解 令xa=u，ya=v，za=w，則分式變?yōu)閡2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．　　由于x，y，z不全相等，所以u(píng)，v，w不全為零，所以u(píng)2+v2+w2≠0，從而有　　　　　說(shuō)明 從本例中可以看出，換元法可以減少字母?jìng)€(gè)數(shù)，使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化．　　例7 化簡(jiǎn)分式：　　　　　　　　　　　　　　　適當(dāng)變形，化簡(jiǎn)分式后再計(jì)算求值．　　　　　　　(x4)2=3，即x28x+13＝0．　　原式分子=(x48x3+13x2)+(2x316x2+26x)+(x28x+13)+10　　　　　　=x2(x28x+13)+2x(x28x+13)+(x28x+13)+10　　　　　　=10，　　原式分母=(x28x+13)+2=2，　　　　說(shuō)明 本例的解法采用的是整體代入的方法，這是代入消元法的一種特殊類型，應(yīng)用得當(dāng)會(huì)使問(wèn)題的求解過(guò)程大大簡(jiǎn)化．　　　　解法1 利用比例的性質(zhì)解決分式問(wèn)題．　　(1)若a+b+c≠0，由等比定理有　　　　所以　　a+bc=c，ab+c=b，a+b+c=a，　　于是有　　　　(2)若a+b+c=0，則　　a+b=c，b+c=a，c+a=b，　　于是有　　 　　說(shuō)明 比例有一系列重要的性質(zhì)，在解決分式問(wèn)題時(shí)，靈活巧妙地使用，便于問(wèn)題的求解．　　解法2 設(shè)參數(shù)法．令　　　　則　　a+b=(k+1)c，①　　a+c=(k+1)b，②　　b+c=(k+1)a．③　　①+②+③有　　2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，　　所以 (a+b+c)(k1)=0，　　故有k=1或 a+b+c=0．　　當(dāng)k=1時(shí)，　　　　　　當(dāng)a+b+c=0時(shí)，　　說(shuō)明 引進(jìn)一個(gè)參數(shù)k表示以連比形式出現(xiàn)的已知條件，可使已知條件便于使用．練習(xí)四　　1．化簡(jiǎn)分式：　　　　2．計(jì)算：　　　　3．已知：　　(yz)2+(zx)2+(xy)2　　=(x+y2z)2+(y+z2x)2+(z+x2y)2，　　　　　　的值．　　　　　　　　第五講 恒等式的證明　　代數(shù)式的恒等變形是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它涉及的基礎(chǔ)知識(shí)較多，主要有整式、分式與根式的基本概念及運(yùn)算法則，因式分解的知識(shí)與技能技巧等等，因此代數(shù)式的恒等變形是學(xué)好初中代數(shù)必備的基本功之一．本講主要介紹恒等式的證明．首先復(fù)習(xí)一下基本知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析．　　兩個(gè)代數(shù)式，如果對(duì)于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個(gè)代數(shù)式恒等．　　把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫作代數(shù)式的恒等變形．恒等式的證明，就是通過(guò)恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等．　　證明恒等式，沒(méi)有統(tǒng)一的方法，需要根據(jù)具體問(wèn)題，采用不同的變形技巧，使證明過(guò)程盡量簡(jiǎn)捷．一般可以把恒等式的證明分為兩類：一類是無(wú)附加條件的恒等式證明；另一類是有附加條件的恒等式的證明．對(duì)于后者，同學(xué)們要善于利用附加條件，使證明簡(jiǎn)化．下面結(jié)合例題介紹恒等式證明中的一些常用方法與技巧．　　1．由繁到簡(jiǎn)和相向趨進(jìn)　　恒等式證明最基本的思路是“由繁到簡(jiǎn)”(即由等式較繁的一邊向另一邊推導(dǎo))和“相向趨進(jìn)”(即將等式兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)化為同一形式)．　　例1 已知x+y+z=xyz，證明：x(1y2)(1z2)+y(1x2)(1z2)+z(1x2)(1y2)=4xyz．　　分析 將左邊展開(kāi)，利用條件x+y+z=xyz，將等式左邊化簡(jiǎn)成右邊．　　證 因?yàn)閤+y+z=xyz，所以　　左邊=x(1z2y2y2z2)+y(1z2x2+x2z2)+(1y2x2+x2y2) 　　　　=(x+y+z)xz2xy2+xy2z2yz2+yx2+yx2z2zy2zx2+zx2y2　　　　=xyzxy(y+x)xz(x+z)yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)　　　　=xyzxy(xyzz)xz(xyzy)yz(xyzx)+xyz(xy+yz+zx)　　　　=xyz+xyz+xyz+xyz　　　　=4xyz=右邊．　　說(shuō)明 本例的證明思路就是“由繁到簡(jiǎn)”．　　例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且　　　　證 令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，則　　　　　　　又因?yàn)椤　　　∷浴　　　∷浴　　　≌f(shuō)明 本例的證明思路是“相向趨進(jìn)”，在證明方法上，通過(guò)設(shè)參數(shù)k，使左右兩邊同時(shí)變形為同一形式，從而使等式成立．　　2．比較法　　a=b(比商法)．這也是證明恒等式的重要思路之一． 　　例3 求證：　　 　　分析 用比差法證明左右=0．本例中，　　　　這個(gè)式子具有如下特征：如果取出它的第一項(xiàng)，把其中的字母輪換，即以b代a，c代b，a代c，則可得出第二項(xiàng)；若對(duì)第二項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，則可得出第三項(xiàng)；對(duì)第三項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，可得出第一項(xiàng)．具有這種特性的式子叫作輪換式．利用這種特性，可使輪換式的運(yùn)算簡(jiǎn)化．　　證 因?yàn)椤　　　　　　　　　　　　　∷浴　　　∷浴　　　≌f(shuō)明 本例若采用通分化簡(jiǎn)的方法將很繁．像這種把一個(gè)分式分解成幾個(gè)部分分式和的形式，是分式恒等變形中的常用技巧．　　全不為零．證明：　　(1+p)(1+q)(1+r)=(1p)(1q)(1r)．　　　　同理　　　　所以　　　　　 　　　　　所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1p)(1q)(1r)．　　說(shuō)明 本例采用的是比商法．　　3．分析法與綜合法　　根據(jù)推理過(guò)程的方向不同，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法．分析法是從要求證的結(jié)論出發(fā)，尋求在什么情況下結(jié)論是正確的，這樣一步一步逆向推導(dǎo)，尋求結(jié)論成立的條件，一旦條件成立就可斷言結(jié)論正確，即所謂“執(zhí)果索因”．而綜合法正好相反，它是“由因?qū)Ч?，即從已知條件出發(fā)順向推理，得到所求結(jié)論．　　　　證 要證 a2+b2+c2=(a+bc)2，只要證　　a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab2ac2bc，　　只要證 ab=ac+bc，　　只要證 c(a+b)=ab，　　只要證　　這最后的等式正好是題設(shè)，而以上推理每一步都可逆，故所求證的等式成立．　　說(shuō)明 本題采用的方法是典型的分析法．　　例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正數(shù)，求證：a=b=c=d．　　證 由已知可得a4+b4+c4+d44abcd=0，　　(a2b2)2+(c2d2)2+2a2b2+2c2d24abcd=0，　　所以　　(a2b2)2+(c2d2)2+2(abcd)2=0．　　因?yàn)?a2b2)2≥0，(c2d2)2≥0，(abcd)2≥0，所以　　a2b2=c2d2=abcd=0，　　所以 (a+b)(ab)=(c+d)(cd)＝0．　　又因?yàn)閍，b，c，d都為正數(shù)，所以a+b≠0，c+d≠0，所以　　a＝b，c=d．　　所以　　abcd=a2c2=(a+c)(ac)=0，　　所以a＝c．故a=b＝c=d成立．　　說(shuō)明 本題采用的方法是綜合法．　　4．其他證明方法與技巧　　　　求證：8a+9b+5c=0．　　　　a+b=k(ab)，b+c=2k(bc)，　　(c+a)=3k(ca)．　　所以　　6(a+b)=6k(ab)，　　3(b+c)=6k(bc)，　　2(c+a)=6k(ca)．以上三式相加，得　　6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)　　=6k(ab+bc+ca)，　　即 8a+9b+5c=0．　　說(shuō)明 本題證明中用到了“遇連比設(shè)為k”的設(shè)參數(shù)法，前面的例2用的也是類似方法．這種設(shè)參數(shù)法也是恒等式證明中的常用技巧．　　例8 已知a+b+c=0，求證　　2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．　　分析與證明 用比差法，注意利用a+b+c=0的條件．　　左右=2(a4+b4+c4)(a2+b2+c2)2　　　　=a4+b4+c42a2b22b2c22c2a2　　　　=(a2b2c2)24b2c2　　　　=(a2b2c2+2bc)(a2b2c22bc)　　　　=[a2(bc)2][a2(b+c)2]　　　　=(ab+c)(a+bc)(abc)(a+b+c)=0．所以等式成立．　　說(shuō)明 本題證明過(guò)程中主要是進(jìn)行因式分解．　　　　分析 本題的兩個(gè)已知條件中，包含字母a，x，y和z，而在求證的結(jié)論中，卻只包含a，x和z，因此可以從消去y著手，得到如下證法．　　證 由已知　　　　　　　　說(shuō)明 本題利用的是“消元”法，它是證明條件等式的常用方法．　　例10 證明：　　(y+z2x)3+(z+x2y)3+(x+y2z)3　　=3(y+z2x)(z+x2y)(x+y2z)．　　分析與證明 此題看起來(lái)很復(fù)雜，但仔細(xì)觀察，可以使用換元法．令y+z2x=a，①z+x2y=b，②x+y2z=c，③　　則要證的等式變?yōu)閍3+b3+c3=3abc．　　聯(lián)想到乘法公式：　　a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)，所以將①，②，③相加有　　a+b+c=y+z2x+z+x2y+x+y2z=0，　　所以 a3+b3+c33abc=0，　　所以　　(y+z2x)3+(z+x2y)3+(x+y2z)3　　=3(y+z2x)(z+x2y)(x+y2z)．　　說(shuō)明 由本例可以看出，換元法也可以在恒等式證明中發(fā)揮效力．　　例11 設(shè)x，y，z為互不相等的非零實(shí)數(shù)，且　　求證：x2y2z2=1．　　分析 本題x，y，z具有輪換對(duì)稱的特點(diǎn)，我們不妨先看二元的　　　所以x2y2=1．三元與二元的結(jié)構(gòu)類似．　　證 由已知有　　　?、佗冖鄣脁2y2z2=1．　　說(shuō)明 這種欲進(jìn)先退的解題策略經(jīng)常用于探索解決問(wèn)題的思路中．　　總之，從上面的例題中可以看出，恒等式證明的關(guān)鍵是代數(shù)式的變形技能．同學(xué)們要在明確變形目的的基礎(chǔ)上，深刻體會(huì)例