【文章內(nèi)容簡介】 +4K=0有2個整數(shù)根，求K的值. 求方程X2+xy+ y23x3y+3=0的整數(shù)解。求ｍ為何整數(shù)時，二次三項式ｍ2＋2ｍ1的值可以分解為兩個連續(xù)整數(shù)之積。＋＝的正整數(shù)解． G第六講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系[知識點擊] 垂徑定理是圓的軸對稱性的產(chǎn)物，在證明線段相等，弧相等，角相等幾方面及圓中的有關(guān)計算問題，應(yīng)用極為廣泛，類似于直角三角形中的勾股定理般重要，應(yīng)熟練掌握。 點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系分別由點與圓心的距離，圓心與直線的距離，圓心距與圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系確定。 三角形的“四心”：重心——三條中線的交點，各條中線被重心分面2:1兩部分；外心——三邊中垂線的交點，外接圓的圓心，垂心——三條高的交點；內(nèi)心——內(nèi)角平分線的交點，內(nèi)切圓的圓心。 四點共圓：若四邊形ABCD的一組對角互補，則A、B、C、D四點共圓。 相交弦定理，切割線定理與相似的三角形結(jié)合使用是解決和圓有關(guān)的比例線段的重要途徑。[例題選講]例1：△ABC中，∠A=72176。，⊙O截△ABC的三條邊所得的三條弦都相等，求∠BOCFD解：過O作三條相等弦的弦心距OD、DE、OF，則 E Rt△BDO≌Rt△BEO ∠OBD=∠OBE=X同理∠OCE=∠OCF=ｙ 2X+2y+∠A=180176。 ｘ+ｙ=54176?！螧OC＝180176。(ｘ+ｙ)=126176。例四邊形AB（1）內(nèi)接于⊙O，AC⊥BD，垂是為E， BAD：BCD=3:1 DF交AC于點G，且AFAB=AGAE，BE=2，ED=3（１） 求證△AFG≌△DFB G（２） 求四邊形ABCD的面積。解（1） AFAB=AGAE △AFG≌△DFB（ASA）（2）ａ（ａ+5）=2X3 ａ=1 ｓ==例等腰△ABC中，AB=AC，BC=4，內(nèi)切圓半徑為1，求腰長解：設(shè)AB、AC、BC分別切O0于F、E、D連OF、AD 令A(yù)F=X ∵AB=AC ∴BF=BD=BC=2Rt△AOF中，AO=Rt△ABD中，AB2= AD2+ BD2 即(ｘ+2)2=+1)2+22解得 ｘ=, AB=AC=+2=例4：⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，O1A=3 O2A=5 COS∠AO1O2=求Sin∠BAO2的值。D解：AB⊥O1O2 O1C= O1A COS∠A O1O2==6 AC==3 延長AO2交 ⊙O2于D，AD=10，AB=6Sin∠BAO2==例5：PA、PB分別切⊙O于A、B兩點，PC滿足ABPBACPC=ABPCACPB且AP⊥PC，∠PAB=2∠BPC求∠ACB B解：ABPBACPC=ABPCACPB A、B、C三點共⊙P 令,則．2,∠PAB=180176。4 又 PA=PB ∠APB=2 ∠PAB= =90176。180176。4=90176。=30176。例AB為⊙O直徑，PB切⊙O于點B、PA交⊙O于點C，∠APB的平分線分別交BC、AB于點D、E，交⊙O于點F，∠A=60176。，線段AE、BD的長是一元二次方程X2KX+=0（K為常數(shù)）的兩個根。（１） 求證PABD=PBAE （２） 求證⊙O的直徑為常數(shù)K（３） 求tan∠FPA 證：（1）易證△PAE∽△PBD 從而PABD=PBAE（2）易證∠BED=∠BDE 則BD=BE 又AE+BD=K 則AE+BE=AB=KD（3）∠A=60176。 AB⊥PB 則BP= k== 則AE=BEAE+BE=K BE+BE=K 則BE=tan∠FPA= tan∠EPB== =2[點評歸納] 弦心距和半徑是圓中常用的輔助線，因為應(yīng)用垂徑定理和直角三角形的知識在解決弦的有關(guān)問題時常常用到。 三角函數(shù)值在圓中的計算常常用到，這時我們通常需要構(gòu)造直角三角形或用直角三角形中與之相等的角替換，使已知的三角函數(shù)值可用或可求。 有公共端點的幾條線段相等時，常構(gòu)造圓使問題迎刃而解。[鞏固練習(xí)] 以線段AB為直徑的一個半圓，圓心為O，C是半圓周上一點，且OC2=ACBC，則∠CAB= ⊙O的半徑OA=6cm，點C是弦AB上一點，OC⊥OA且OC=BC 當(dāng)AB的長. 平面上不共線的四點，可以確 個圓。已知= ∠ABC，則 ABC= 三角形一邊為2，這邊上的中線為1，另兩邊之和為1+，這個三角形面積為 ⊙O半徑為R，C、D是直徑AB同側(cè)圓周上兩點， A C的度數(shù)為96176。，B D的度數(shù)為36176。，動點P在AB 上運動，則CP+PD的最小值為 A、B、C為⊙O上的三點，若∠ABO=50176。，則∠BCA= 第7題 第8題△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A=30176。，BC=4， 則⊙O的直徑為 AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB，弦CE交AB于D，求證：AB2=2CDCE AB為半圓的直徑，AD⊥AB，點C為半圓上一點，CD⊥AD，若CD=2，AD=3，求AB的長。1 AB切⊙O于D，AO延長線交⊙O于C，BC 切⊙O于C，若AD：AB=1:2 則AO:OC= 1 半圓O的直徑在梯形ABCD的底邊AB上，且其余三連BC、CD、DA部分⊙O相切，若BC=2，DA=3，則AB= 1⊙O⊥OB，⊙O與BO相切于E，與AB內(nèi)切于F，與以O(shè)A為直徑的半圓外切于點G，若OA=a，求⊙D的半徑。1已知ａ、ｂ為兩個不等圓的半徑（ａ＞ｂ），C是兩圓的圓心距，若兩圓內(nèi)含，則關(guān)于ｘ的方程X22ａX+ｂ2=C（ｂ+ａ）的根的情況為 1⊙O中，半徑ｒ=5cm，AB、CD是兩條平行弦，且AB=8cm，CD=6cm求AC的長。1設(shè)A1BA2BA3B3是⊙O中處于圓心同側(cè)的三條平行弦，且A1B1與A2B2的距離等于A2B2與A3B3的距離，三條弦的長度分別為18，求這個圓的半徑。1平面內(nèi)有任三點不共線的2007個點，那么是否可作出一個圓，使得圓內(nèi)、圓外分別有1003個點，還有一個點在圓上？第七講 圓中的有關(guān)計算[知識點擊] 圓中有關(guān)線段的計算主要依據(jù)是：垂徑定理，勾股定理。 圓中有關(guān)角度的計算主要借助圓心角、圓周角的關(guān)系，常常還利用相似三角形及三角函數(shù)來幫忙。 圓弧長L= ，扇形S= =r2 不規(guī)則圖形的面積的求解關(guān)鍵是設(shè)法將它分解為可求圖形面積的和差問題。[例題選講] 例1． 正△ABC的邊長為4，、AD是⊙O的直徑，求陰影部分的面積。解：連DE、EF、OF，易求EF=AE=AF=3，AD=，AO=OD=，S弓形AE = S弓形EDFS陰=S△ABC S△AEF+ S弓形AF= +（S扇形AOF S△AOF）=+（）=+例AB是⊙O的直徑,CD切⊙O于M,BC⊥CD，AD⊥CD交⊙O于E，⊙O半徑為1cm，∠A=60176。，求陰影部分的面積。分析：連OE、OM、BE，作EF⊥AB于F。（１） 先求△AOE的面積，S△AOE = =（２） 再求扇形OBME的面積，S扇形OBME==（３） 后求梯形BCDA的面積：S梯形BCDA==OMBE=（４） 可求：S陰= S梯 – S扇 S△=cm2例四邊形ABCD中，AB=AC=AD=ａ，DC=b，AD∥BC，求BD解：以A為圓心，a為半徑作⊙A 延長DA交⊙A于E，連BE，∠DBE=90176。由BC∥ED有 B E = C D CD=BE=bRt△EBD中，BD==例4：正方形ABCD中，以A為圓心，邊長為半徑的圓孤BD，半徑為r的⊙O與AB、AD、BD，切于F、G、E，求CE的長.解：連接AC、OF，設(shè)CE=X BC=ａ 則OA=ａ－ｒ，ＡＣ＝ａ＋ｘ＝　　則?。剑兀紸F2=AHAE AH=ａ－2r r2=a（ａ2r）∴Ｘ＝＝＝ｒ例四邊形 ABCD外接圓O，半徑為2，對角線AC與 BD的交點為E，AE=EC，AB=AE，BD=2,求四邊形ABCD的面積.解：連AO交BD于H，AB2=2AE2=AEAC即：= 又∠EAB=∠BAC S四邊形ABCD =2S△ABD =2[點評歸納] 圓中的有關(guān)計算一般要結(jié)合使用相似三角形、勾股定理、全等三角形、垂徑定理等，需仔細分析，選取合適的途徑。 不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的求解割補方法很多，需根據(jù)題設(shè)具體確定，有時還需借助平移、旋轉(zhuǎn)、翻折去處理。[鞏固練習(xí)] 半⊙O半徑為ｒ；CO⊥AB于O，AB為⊙O的直徑，⊙O1的圓心在OC上，且⊙O1切AB于O，OO1 = ，⊙O2與⊙O1外切，與⊙O內(nèi)切，又切AB于D，求⊙O2的周長。 C為半圓⊙O直徑AB上一點，分別以AC、CB為直徑畫半圓⊙O⊙O2，CD⊥AB于D,求證：圖中陰影部分的面積等于以CD為直徑的圓的面積。菱形周長為20cm，有一角為60176。，若以較長的對角線為軸把菱形旋轉(zhuǎn)一周，所成的旋轉(zhuǎn)體的表面積為