數(shù)學競賽輔導系列專題一利用軸對稱變換求最小值在初中數(shù)學競賽中的應用舉例(編輯修改稿)
2025-02-10 19:53 本頁面
【文章內容簡介】 ，只要畫出點Q關于X軸的對稱點Q1（2，1），連結PQ1 交X于點M，則M點即為所求。點M的橫坐標只要先求出經(jīng)過PQ1兩點的直線的解析式，（Y=2X5），令Y=0，求得X=5/2。（也可以用勾股定理和相似三角形求出答案）。例求函數(shù)Y= +的最小值。解：方法（Ⅰ）、把原函數(shù)轉化為Y= + ，因此可以理解為在X軸上找一個點，使它到點（3，1）和（3，5）的距離之和最小。（解法同上一題）。方法（Ⅱ），如圖（9），分別以PM=（3X）、AM=1為邊和以PN=（X+3）、BN=5為邊構建使（3X）和（X+3）在同一直線上的兩個直角△PAM、△PNB，兩條斜邊的長就是PA= 和PB= ，因此，求Y的最小值就是求PA+PB的最小值，只要利用軸對稱性質求出BA1的長，就是Y的最小值。（6）。（四）、思考與練習：（2002湖北黃崗競賽題）如圖（10），∠AOB=450，角內有一點P，PO=10，在角兩邊上有兩點Q、R（均不同于點O），則△PQR的周長最小值是———————— 。（提示：畫點P關于OA的對稱點P1，點P關于OB的對稱點P2，∵ ∠AOB=450，∴ΔP1OP2是等腰直角三角形，P1P2=10）。又問當ΔPQR周長最小時，∠QPR的度數(shù)=————— 。（1000）。 已知點A（2，1），點B（3，4）。在X軸上求一點P，使得PA+PB的值最小。這個最小值是———————— 。（同例2）（北京市競賽題）如圖（11），在矩形ABCD中，AB=20㎝，BC=10㎝，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，求這個最小值。（提示：要使BM+MN的值最小，應設法把折線BM+MN拉直，從而想到用
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