初中數學競賽復習資料(編輯修改稿)
2024-09-06 10:22 本頁面
【文章內容簡介】 平分線交 BC 邊于 L ，又交三角形的外接圓于 N ，過 L 作 AB 和AC 邊的垂線 LK 和 LM ,垂足是 MK, ，求證：四邊形 AKNM 的面積等于 ABC? 的 面積． 5．在等腰直角三角形 ABC 的斜邊 BC 上取一點 D ，使 BCDC31?，作 ADBE? 交 AC 于E ，求證： ECAE? ． 6．三條直線 nml , 互相平行， nl, 在 m 的兩側 ，且 ml, 間的距離為 2 ， nm, 間的距離為 1，若正 ABC? 的三個頂點分別在 nml , 上，求正 ABC? 的邊長． 7．已知 321 PPP? 及其內任一點 P ，直線 PPi 分別 交對邊于 iQ （ 3,2,1?i ），證明：在332211 , PQPPPQPPPQPP 這三個值中，至少有一個不大于 2，并且至少有一個不小于 2． 8．點 D 和 E 分別在 ABC? 的邊 AB 和 BC 上，點 K 和 M 將線段 DE 分為三等分，直線 BK和 BM 分別與邊 AC 相交于點 T 和 P ，證明： ACTP31?． 9．已知 P 是 ABC? 內一點，延長 CPBPAP , 分別交對邊于 CBA ??? , ，其中 xAP? ，wCPBPAPzCPyBP ???????? , ，且 3,23 ???? wzyx ，求 xyz 之值． 10．過點 P 作四條射線與直線 ll?, 分別交于 DCBA , 和 DCBA ???? , ，求證： CBDA DCBABCAD CDAB ????? ????????． 11．四邊形 ABCD 的兩對對邊的延長線分別交 LK, ，過 LK, 作直線與對角線 BDAC, 的延長線分別 FG, ，求證：KGLGKFLF?． 12． G 為 ABC? 的重心，過 G 作直線交 ACAB, 于 FE, ，求證： GFEG 2? ． 競賽專題講座 06 －平面幾何四個重要定理 四個重要定理： 梅涅勞斯 (Menelaus)定理（梅氏線） △ABC 的三邊 BC、 CA、 AB 或其延長線上有點 P、 Q、 R，則 P、 Q、R 共線的充要條件是 。 塞瓦 (Ceva)定理（塞瓦點） △ABC 的三邊 BC、 CA、 AB 上有點 P、 Q、 R，則 AP、 BQ、 CR 共點的充要條件是 。 托勒密 (Ptolemy)定理 四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是該四邊形內 接于一圓。 西姆松 (Simson)定理（西姆松線） 從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。 例題： 1． 設 AD 是 △ABC 的邊 BC 上的中線，直線 CF 交 AD 于 F。求證：。 【分析】 CEF 截 △ABD→ （梅氏定理） 【評注】也可以添加輔助線證明：過 A、 B、 D 之一作 CF 的平行線。 2． 過 △ABC 的重心 G 的直線分別交 AB、 AC 于 E、 F，交 CB 于 D。 求證： 。 【分析】連結并延長 AG 交 BC 于 M，則 M 為 BC 的中點。 DEG 截 △ABM→ （梅氏定理） DGF 截 △ACM→ （梅氏定理） ∴ = = =1 【評注】梅氏定理 3． D、 E、 F 分別在 △ABC 的 BC、 CA、 AB 邊上， ， AD、 BE、 CF 交成 △LMN 。 求 S△LMN 。 【分析】 【評注】梅氏定理 4． 以 △ABC 各邊為底邊向外作相似的等腰 △BCE 、 △CAF 、 △ABG 。求證： AE、 BF、CG 相交于一
公司管理相關推薦
鄂ICP備17016276號-1