初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)習(xí)資料(已修改)
2025-08-12 10:22 本頁(yè)面
【正文】 競(jìng)賽講座 07 面積問(wèn)題和面積方法 基礎(chǔ)知識(shí) 1．面積公式 由于平面上的凸多邊形都可以分割成若干三角形，故在面積公式中最基本的是三角形的面積公式．它形式多樣，應(yīng)在不同場(chǎng)合下選擇最佳形式使用． 設(shè)△ ABC ， cba , 分別為角 CBA , 的對(duì)邊， ah 為 a 的高， R 、 r 分別為△ ABC 外接圓、內(nèi)切圓的半徑， )(21 cbap ???．則△ ABC 的面積有如下公式： （ 1）aABC ahS 21??； （ 2） AbcSABC sin21?? （ 3） ))()(( cpbpappS A B C ????? （ 4） prcbarSABC ????? )(21 （ 5）RabcS ABC 4?? （ 6） CBARS ABC s ins ins in2 2?? （ 7）)sin(2 sinsin2CB CBaS ABC ??? （ 8） )(21 acbrS aA B C ???? （ 9） )2s i n2s i n2(s i n21 2 CBARS A B C ???? 2．面積定理 （ 1）一個(gè)圖形的面積等于它的各部分面積這和； （ 2）兩個(gè)全等形的面積相等； （ 3）等底等高的三角形、平行四邊形、梯形（梯形等底應(yīng)理解為兩底和相等）的面積相等； （ 4）等底（或等高）的三角形、平行四邊形、梯形的面積的比等于其所對(duì)應(yīng)的高（或底）的比； （ 5）兩個(gè)相似三角形的面積的比等于相似比 的平方； （ 6）共邊比例定理：若△ PAB 和△ QAB 的公共邊 AB 所在直線與直線 PQ 交于 M ，則QMPMSS QA BP A B :: ??? ； （ 7）共角比例定理：在△ ABC 和△ CBA ??? 中，若 AA ???? 或 ?????? 180AA ，則CABA ACABSS CBAABC ????? ???????． 3．張角定理：如圖，由 P 點(diǎn)出發(fā)的三條射線 PCPBPA , ，設(shè) ???APC ， ???CPB ，????? 1 8 0??APB ，則 CBA , 三點(diǎn)共線的充要條件是： PCPAPB )s in(s ins in ???? ???． 例 題分析 例 1．梯形 ABCD 的對(duì)角線 BDAC, 相交于 O ，且 mS AOB ?? ， nS COD ?? ，求 ABCDS 例 2．在凸五邊形 ABCDE 中，設(shè) 1????? ????? EABDE AC D EB C DABC SSSSS ，求此五邊形的面積． 例 3． G 是△ ABC 內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié) CGBGAG , 并延長(zhǎng)與 ABCABC , 分別交于 FED , ，△ AGF 、△ BGF 、△ BGD 的面積分別為 40， 30， 35，求△ ABC 的面積． 例 4． RQP , 分別是△ ABC 的邊 BCAB, 和 CA 上的點(diǎn)，且 1???? RCQRPQBP ，求△ ABC 的面積的最大值． 例 5．過(guò)△ ABC 內(nèi)一點(diǎn)引三邊的平行線 DE ∥ BC ， FG ∥ CA ， HI ∥ AB ，點(diǎn)IHGFED ,, 都在△ ABC 的邊上， 1S 表示六邊形 DGHEFI 的面積， 2S 表示 △ ABC 的面積．求證：21 32SS ?． 例 6．在 直角△ ABC 中， AD 是斜邊 BC 上的高，過(guò)△ ABD 的內(nèi)心與△ ACD 的內(nèi)心的直線分別交邊 AB 和 AC 于 K 和 L ，△ ABC 和△ AKL 的面積分別記為 S 和 T ．求證：TS 2? ． 例 7．銳角三角形 ABC 中，角 A 等分線與三角形的外接圓交于一點(diǎn) 1A ，點(diǎn) 1B 、
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