【正文】 2010年高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料（共分五大專題）專題一：三角與向量的交匯題型分析及解題策略專題二：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交匯題型分析及解題策略專題三：數(shù)列與不等式的交匯題型分析及解題策略專題四：解析幾何綜合題型分析及解題策略專題五：概率與統(tǒng)計綜合性題型分析及解題策略專題一：三角與向量的交匯題型分析及解題策略【命題趨向】三角函數(shù)與平面的向量的綜合主要體現(xiàn)為交匯型，在高考中，主要出現(xiàn)在解答題的第一個試題位置上，其難度中等偏下，分值一般為12分，交匯性主要體現(xiàn)在：三角函數(shù)恒等變換公式、性質(zhì)與圖象與平面的向量的數(shù)量積及平面向量的平行、垂直、夾角及模之間都有著不同程度的交匯，(5分)，考查三角函數(shù)的對稱性與向量平移、08年山東文第8題理第15題(5分)考查兩角和與差與向量垂直、08福建文理第17題(12分)考查三角函數(shù)的求值與向量積、07的天津文理第15題(4分)、誘導(dǎo)公式的運用、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、向量的數(shù)量積、共線(平行)與垂直的充要條件條件．主要考查題型：(1)考查純?nèi)呛瘮?shù)函數(shù)知識，即一般先通過三角恒等變換公式化簡三角函數(shù)式，再求三角函數(shù)的值或研究三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)；(2)考查三角函數(shù)與向量的交匯，一般是先利用向量知識建立三角函數(shù)關(guān)系式，再利用三角函數(shù)知識求解；(3)考查三角函數(shù)知識與解三角形的交匯，也就是將三角變換公式與正余弦定理交織在一起.【考試要求】1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定義．了解余切、正割、余割的定義．掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式．掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式．了解周期函數(shù)與最小正周期的意義．2．掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．3．能正確運用三角公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明．4．理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡圖，理解A，ω，φ的物理意義．5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形．6．掌握向量的加法和減法．掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．7．，掌握平面向量的坐標(biāo)運算．8．掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．9．掌握平面兩點間的距離公式以及線段的定比分點和中點坐標(biāo)公式，并且能熟練運用．掌握平移公式．【考點透視】向量具有代數(shù)運算性與幾何直觀性的“雙重身份”，即可以象數(shù)一樣滿足“運算性質(zhì)”進(jìn)行代數(shù)形式的運算，“角”為自變量的函數(shù)，函數(shù)值體現(xiàn)為實數(shù)，因此平面向量與三角函數(shù)在“角”，其形式多樣，解法靈活，：1．考查三角式化簡、求值、證明及求角問題.2．考查三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像，特別是y=Asin(wx+j)的性質(zhì)和圖像及其圖像變換.3．考查平面向量的基本概念，向量的加減運算及幾何意義，此類題一般難度不大，主要用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、平行問題等.4．考查向量的坐標(biāo)表示，向量的線性運算，并能正確地進(jìn)行運算.5．考查平面向量的數(shù)量積及運算律(包括坐標(biāo)形式及非坐標(biāo)形式)，兩向量平行與垂直的充要條件等問題.6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形問題.【典例分析】題型一　三角函數(shù)平移與向量平移的綜合三角函數(shù)與平面向量中都涉及到平移問題，雖然平移在兩個知識系統(tǒng)中講法不盡相同，但它們實質(zhì)是一樣的，：(1)平移的方向；(2).【例1】　把函數(shù)y＝sin2x的圖象按向量＝(－，－3)平移后，得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋j)(A＞0，ω＞0，|j|＝)的圖象，則j和B的值依次為 （ ）A．，－3 B．，3 C．，－3 D．－，3【分析】　根據(jù)向量的坐標(biāo)確定平行公式為，由此確定平移后的函數(shù)解析式，經(jīng)對照即可作出選擇.【解析1】　由平移向量知向量平移公式，即，代入y＝sin2x得y162。＋3＝sin2(x162。＋)，即到y(tǒng)＝sin(2x＋)－3，由此知j＝，B＝－3，故選C.【解析2】　由向量＝(－，－3)，知圖象平移的兩個過程，即將原函數(shù)的圖象整體向左平移個單位，再向下平移3個單位，由此可得函數(shù)的圖象為y＝sin2(x＋)－3，即y＝sin(2x＋)－3，由此知j＝，B＝－3，故選C.【點評】　此類題型將三角函數(shù)平移與向量平移有機地結(jié)合在一起，主要考查分析問題、解決問題的綜合應(yīng)用能力，也是易出錯的地方是確定平移的方向及平移的大小.題型二　三角函數(shù)與平面向量平行(共線)的綜合此題型的解答一般是從向量平行(共線)條件入手，將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識再對三角式進(jìn)行化簡，有利于考查學(xué)生的基礎(chǔ)掌握情況，因此在高考中常有考查.【例2】　已知A、B、C為三個銳角，且A＋B＋C＝＝(2－2sinA，cosA＋sinA)與向量＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共線向量.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函數(shù)y＝2sin2B＋cos的最大值.【分析】　首先利用向量共線的充要條件建立三角函數(shù)等式，由于可求得A角的正弦值，再根據(jù)角的范圍即可解決第(Ⅰ)小題；而第(Ⅱ)小題根據(jù)第(Ⅰ)小題的結(jié)果及A、B、C三個角的關(guān)系，結(jié)合三角民恒等變換公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角B的表達(dá)式，再根據(jù)B的范圍求最值.【解】?。á瘢摺⒐簿€，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，則sin2A＝，又A為銳角，所以sinA＝，則A＝.（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B＝sin2B－cos2B＋1＝sin(2B－)＋1.∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，)，∴2B－＝，解得B＝，ymax＝2.【點評】　本題主要考查向量共線(平行)的充要條件、：（1）利用向量共線的充要條件將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題；（2），由于在三角函數(shù)中角是自變量，因此解決三角函數(shù)問題確定角的范圍就顯得至關(guān)重要了.題型三　三角函數(shù)與平面向量垂直的綜合此題型在高考中是一個熱點問題，解答時與題型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要條件將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題，、轉(zhuǎn)化的思想等.【例3】　已知向量＝(3sinα,cosα)，＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且⊥．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(＋)的值．【分析】　第(Ⅰ)小題從向量垂直條件入手，建立關(guān)于α的三角方程，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小題根據(jù)所求得的tanα的結(jié)果，利用二倍角公式求得tan的值，再利用兩角和與差的三角公式求得最后的結(jié)果．【解】?。á瘢摺停啵?．而＝（3sinα，cosα），＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，故＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0． 由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．∵α∈（，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．（Ⅱ）∵α∈（，2π），∴∈（，π）．由tanα＝－，求得tan＝－，tan＝2（舍去）．∴sin＝，cos＝－，∴cos(＋)＝coscos－sinsin＝－－＝－【點評】　本題主要考查向量垂直的充要條件、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、（Ⅰ）小題的解答中用到“弦化切”的思想方法，這是解決在一道試題中同時出現(xiàn)“切函數(shù)與弦函數(shù)”關(guān)系問題常用方法.題型四　三角函數(shù)與平面向量的模的綜合此類題型主要是利用向量模的性質(zhì)||2＝2，如果涉及到向量的坐標(biāo)解答時可利用兩種方法：（1）先進(jìn)行向量運算，再代入向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解；（2）先將向量的坐標(biāo)代入向量的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運算進(jìn)行求解.【例3】　已知向量＝(cosα,sinα)，＝(cosβ,sinβ)，|－|＝.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.【分析】　利用向量的模的計算與數(shù)量積的坐標(biāo)運算可解決第(Ⅰ)小題；而第(Ⅱ)小題則可變角α＝(α－β)＋β，然后就須求sin(α－β)與cosβ即可.【解】　(Ⅰ)∵|－|＝，∴2－2＋2＝，將向量＝(cosα,sinα)，＝(cosβ,sinβ)代入上式得12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝，∴cos(α－β)＝－.(Ⅱ)∵－＜β＜0＜α＜，∴0＜α－β＜π，由cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝，又sinβ＝－，∴cosβ＝，∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.點評：本題主要考查向量的模、數(shù)量積的坐標(biāo)運算、和角公式、：(1)化|－|為向量運算|－|2＝(－)2；(2)注意解α－.題型五　三角函數(shù)與平面向量數(shù)量積的綜合此類題型主要表現(xiàn)為兩種綜合方式：(1)三角函數(shù)與向量的積直接聯(lián)系；(2)利用三角函數(shù)與向量的夾角交匯，再利用三角函數(shù)知識求解.20090318【例5】　設(shè)函數(shù)f(x)＝.其中向量＝(m，cosx)，＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f()＝2.（Ⅰ）求實數(shù)m的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的最小值.分析：利用向量內(nèi)積公式的坐標(biāo)形式，將題設(shè)條件中所涉及的向量內(nèi)積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，從而，建立函數(shù)f(x)關(guān)系式，第（Ⅰ）小題直接利用條件f()＝2可以求得，而第(Ⅱ)小題利用三角函數(shù)函數(shù)的有界性就可以求解.解：（Ⅰ）f(x)＝＝m(1＋sinx)＋cosx，由f()＝2，得m(1＋sin)＋cos＝2，解得m＝1.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝sin(x＋)＋1，當(dāng)sin(x＋)＝－1時，f(x)的最小值為1－.點評：平面向量與三角函數(shù)交匯點較多，向量的平行、垂直、夾角、其解法都差不多，首先都是利用向量的知識將條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行求解．六、解斜三角形與向量的綜合在三角形的正弦定理與余弦定理在教材中是利用向量知識來推導(dǎo)的，說明正弦定理、要求根據(jù)向量的關(guān)系解答相關(guān)的問題.【例6】　已知角A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，其對邊分別為a、b、c，若＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，a＝2，且＝．（Ⅰ）若△ABC的面積S＝，求b＋c的值．（Ⅱ）求b＋c的取值范圍．【分析】　第(Ⅰ)小題利用數(shù)量積公式建立關(guān)于角A的三角函數(shù)方程，再利用二倍角公式求得A角，然后通過三角形的面積公式及余弦定理建立關(guān)于b、c的方程組求取b＋c的值；第(Ⅱ)小題正弦定理及三角形內(nèi)角和定理建立關(guān)于B的三角函數(shù)式，進(jìn)而求得b＋c的范圍.【解】?。á瘢撸?－cos，sin)，＝(cos，sin)，且＝，∴－cos2＋sin2＝，即－cosA＝，又A∈(0，π)，∴A＝.又由S△ABC＝bcsinA＝，所以bc＝4，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos＝b2＋c2＋bc，∴16＝(b＋c)2，故b＋c＝4.（Ⅱ）由正弦定理得：＝＝＝＝4，又B＋C＝p－A＝，∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(－B)＝4sin(B＋)，∵0＜B＜，則＜B＋＜，則＜sin(B＋)≤1，即b＋c的取值范圍是(2，4].[點評]　本題解答主要考查平面向量的數(shù)量積、三角恒等變換及三角形中的正弦定理、余弦定理、面積公式、：第(Ⅰ)小題中求b＋c沒有利用分別求出b、c的值為解，而是利用整體的思想，使問題得到簡捷的解答；(2)第(Ⅱ)小題的求解中特別要注意確定角B的范圍.【專題訓(xùn)練】一、選擇題1．已知＝(cos40176。，sin40176。)，＝(cos20176。，sin20176。)，則＝ （ ）A．1 B． C． D．2．將函數(shù)y＝2sin2x－的圖象按向量(，)平移后得到圖象對應(yīng)的解析式是 （ ）A．2cos2x B．－2cos2x C．2sin2x D．－2sin2x3．已知△ABC中，＝，＝，若＜0，則△ABC是 （ ） A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．任意三角形4．設(shè)＝(,sina)，＝(cosa,)，且∥，則銳角a為 （ ）A．30176。 B．45176。 C．60176。 D．75176。5．已知＝(sinθ，)，＝(1，)，其中θ∈(π，)，則一定有 （ ）A．∥ B．⊥ C．與夾角為45176。D．||＝||6．已知向量＝(6，－4)，＝(0，2),＝＋l，若C點在函數(shù)y＝sinx的圖象上,實數(shù)l＝ （ ）A． B． C．－ D．－7．由向量把函數(shù)y＝sin(x＋)的圖象按向量＝(m，0)(m＞0)平移所得的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值為 （ ）A． B． C． D．8．設(shè)0≤θ≤2π時，已知兩個向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，則向量長度的最大值是 （ ）A． B． C．3 D．29．若向量＝(cosa,sina)，＝(cosb,sinb)，則與一定滿足 （ ）A．與的夾角等于a－b B．⊥C．∥ D．(＋)⊥(－)10．已知向量＝(cos25176。,sin25176。)，＝(sin20176。,cos20176。)，若t是實數(shù)，且＝＋t，則||的最小值為 （ ）A． B．1 C． D．11．O是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：＝＋l(＋)，l∈(0,＋∞)，則直線AP一定通過△ABC的 （ ）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心2009031812．對于非零向量我們可以用它與直角坐標(biāo)軸的夾角a,b(0≤a≤p,0≤b≤p)來表示它的方向，稱a,b為非零向量的方向角，稱cosa,cosb為向量的方向余弦，則cos2a＋cos2b＝（ ）A．1 B． C． D．0二、填空題13．已知向量＝(sinq，2cosq)，＝(,－).若∥，則sin2q的值為____________．14．已知在△OAB(O為原點)中，＝(2cosa，2s