初中數(shù)學競賽復習資料-資料下載頁
2025-07-23 10:22本頁面
【導讀】等底等高的三角形、平行四邊形、梯形的面積相等；兩個相似三角形的面積的比等于相似比的平方；3．張角定理：如圖，由P點出發(fā)的三條射線PCPBPA,,，設???APB，則CBA,,三點共線的充要條件是：。例1．梯形ABCD的對角線BDAC,相交于O，且mSAOB??例3．G是△ABC內一點，連結CGBGAG,,并延長與ABCABC,,分別交于FED,,，三角形000CBA的面積是六邊形111CBBAAC的面積的二倍；例9．在銳角△ABC的邊BC邊上有兩點E、F，滿足CAFBAE???的三邊ABCABC,,上分別取點FED,,，使EACEDCBD3,3??，連CFBEAD,,相交得三角形PQR，已知三角形ABC的面積為13，求三角。例15．已知邊長為,,,cba的ABC?，過其內心I任作一直線分別交ACAB,于NM,點，的面積為102cm，F(xiàn)ED,,分別是CABCAB,,邊上的點，且。分成六部份，其中，三。,中至少有一個的面積不大于ABC?的頂角A的平分線交BC邊于L，又交三角形的外接圓于N，過L作AB和。AC邊的垂線LK和LM,垂足是MK,，求證：四邊形AKNM的面積等于ABC?6．三條直線nml,,互相平行，nl,在m的兩側，且ml,間的距離為2，nm,間的距離為1，的三個頂點分別在nml,,上，求正ABC?
【正文】 。 連結 AC、 BD，其交點為內切圓心 O。設 MN 與 ⊙O 切于 K，連結 OE、 OM、 OK、 ON、 OF。記 ∠ABO=φ ， ∠MOK=α ， ∠KON=β ，則 ∠EOM=α ， ∠FON=β ， ∠EOF=2α+2β=180176。 2φ 。 ∴∠BON=90176。 ∠NOF ∠COF=90176。 β φ=α ∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM 又 ∠OCN=∠MAO ， ∴△OCN∽△MAO ，于是 ， ∴AMCN=AOCO 同理， AQCP=AOCO 。 【評注】 15． (96 全國競賽 )⊙O 1和 ⊙O 2與 ΔABC 的三邊所在直線都相切， E、 F、 G、 H 為切點， EG、 FH 的延長線交于 P。求證： PA⊥BC 。 【分析】 【評注】 16． (99 全國競賽 )如圖，在四邊形 ABCD 中，對角線 AC 平分 ∠BAD 。在 CD 上取一點 E， BE 與 AC 相交于 F，延長 DF 交 BC 于 G。求證： ∠GAC=∠EAC 。 證明：連結 BD 交 AC 于 H。對 △BCD用塞瓦定理，可得 因為 AH 是 ∠BAD 的角平分線，由角平分線定理， 可得 ，故。 過 C 作 AB 的平行線交 AG 的延長線于 I，過 C 作 AD 的平行線交 AE 的延長線于 J。 則 ， 所以 ，從而 CI=CJ。 又因為 CI//AB， CJ//AD，故 ∠ACI=π ∠BAC=π ∠DAC=∠ACJ 。 因此， △ACI≌△ACJ ，從而 ∠IAC=∠JAC ，即∠GAC=∠EAC 。 已知 AB=AD， BC=DC， AC 與 BD 交于 O，過 O 的任意兩條直線 EF和 GH與四邊形 ABCD的四邊交于 E、 F、G、 H。連結 GF、 EH，分別交 BD 于 M、 N。求證： OM=ON。（ 5 屆 CMO） 證明 ：作 △EOH △E’OH‘ ，則只需證 E’ 、 M、 H‘ 共線，即 E’H‘ 、 BO、GF 三線共點。 記 ∠BOG=α ， ∠GOE’=β 。連結 E‘F 交 BO 于 K。只需證 =1（ Ceva 逆定理）。 = = =1 注 ： 箏形 ：一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形。 對應于 99 聯(lián)賽 2： ∠E’OB=∠FOB ，且 E‘H’ 、 GF、 BO 三線共點。求證： ∠GOB =∠H‘OB 。 事實上，上述條件是充要條件，且 M 在 OB 延長線上時結論仍然成立。 證明方法為：同一法。 蝴蝶定理 ： P 是 ⊙O 的弦 AB 的中點，過 P 點引 ⊙O 的兩弦 CD、 EF，連結 DE 交 AB 于 M，連結 CF交 AB于 N。求證：MP=NP。 【分析】設 GH 為過 P的直徑， FF’F ，顯然 ‘∈⊙O 。又 P∈GH ， ∴PF ’=PF 。 ∵PF PF‘ ， PA PB，∴∠FPN=∠F’PM ， PF=PF‘ 。 又 FF’⊥ GH， AN⊥GH ， ∴FF‘∥AB 。 ∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’ =∠EFF‘+∠EDF’=180176。 ， ∴P 、 M、 D、 F‘ 四點共圓。 ∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN 。 ∴△PFN≌△PF‘M ， PN=PM。 【評注】一般結論為：已知半徑為 R 的 ⊙O 內一弦 AB 上的一點 P，過 P 作兩條相交弦 CD、 EF，連 CF、 ED 交 AB 于 M、 N，已知 OP=r， P 到 AB 中點的距離為 a，則。（解析法證明：利用二次曲線系知識）
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