初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)習(xí)資料-資料下載頁(yè)
2025-07-23 10:22本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】等底等高的三角形、平行四邊形、梯形的面積相等；兩個(gè)相似三角形的面積的比等于相似比的平方；3．張角定理：如圖，由P點(diǎn)出發(fā)的三條射線PCPBPA,,，設(shè)???APB，則CBA,,三點(diǎn)共線的充要條件是：。例1．梯形ABCD的對(duì)角線BDAC,相交于O，且mSAOB??例3．G是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)CGBGAG,,并延長(zhǎng)與ABCABC,,分別交于FED,,，三角形000CBA的面積是六邊形111CBBAAC的面積的二倍；例9．在銳角△ABC的邊BC邊上有兩點(diǎn)E、F，滿足CAFBAE???的三邊ABCABC,,上分別取點(diǎn)FED,,，使EACEDCBD3,3??，連CFBEAD,,相交得三角形PQR，已知三角形ABC的面積為13，求三角。例15．已知邊長(zhǎng)為,,,cba的ABC?，過(guò)其內(nèi)心I任作一直線分別交ACAB,于NM,點(diǎn)，的面積為102cm，F(xiàn)ED,,分別是CABCAB,,邊上的點(diǎn)，且。分成六部份，其中，三。,中至少有一個(gè)的面積不大于ABC?的頂角A的平分線交BC邊于L，又交三角形的外接圓于N，過(guò)L作AB和。AC邊的垂線LK和LM,垂足是MK,，求證：四邊形AKNM的面積等于ABC?6．三條直線nml,,互相平行，nl,在m的兩側(cè)，且ml,間的距離為2，nm,間的距離為1，的三個(gè)頂點(diǎn)分別在nml,,上，求正ABC?
【正文】 。 連結(jié) AC、 BD，其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心 O。設(shè) MN 與 ⊙O 切于 K，連結(jié) OE、 OM、 OK、 ON、 OF。記 ∠ABO=φ ， ∠MOK=α ， ∠KON=β ，則 ∠EOM=α ， ∠FON=β ， ∠EOF=2α+2β=180176。 2φ 。 ∴∠BON=90176。 ∠NOF ∠COF=90176。 β φ=α ∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM 又 ∠OCN=∠MAO ， ∴△OCN∽△MAO ，于是 ， ∴AMCN=AOCO 同理， AQCP=AOCO 。 【評(píng)注】 15． (96 全國(guó)競(jìng)賽 )⊙O 1和 ⊙O 2與 ΔABC 的三邊所在直線都相切， E、 F、 G、 H 為切點(diǎn)， EG、 FH 的延長(zhǎng)線交于 P。求證： PA⊥BC 。 【分析】 【評(píng)注】 16． (99 全國(guó)競(jìng)賽 )如圖，在四邊形 ABCD 中，對(duì)角線 AC 平分 ∠BAD 。在 CD 上取一點(diǎn) E， BE 與 AC 相交于 F，延長(zhǎng) DF 交 BC 于 G。求證： ∠GAC=∠EAC 。 證明：連結(jié) BD 交 AC 于 H。對(duì) △BCD用塞瓦定理，可得 因?yàn)?AH 是 ∠BAD 的角平分線，由角平分線定理， 可得 ，故。 過(guò) C 作 AB 的平行線交 AG 的延長(zhǎng)線于 I，過(guò) C 作 AD 的平行線交 AE 的延長(zhǎng)線于 J。 則 ， 所以 ，從而 CI=CJ。 又因?yàn)?CI//AB， CJ//AD，故 ∠ACI=π ∠BAC=π ∠DAC=∠ACJ 。 因此， △ACI≌△ACJ ，從而 ∠IAC=∠JAC ，即∠GAC=∠EAC 。 已知 AB=AD， BC=DC， AC 與 BD 交于 O，過(guò) O 的任意兩條直線 EF和 GH與四邊形 ABCD的四邊交于 E、 F、G、 H。連結(jié) GF、 EH，分別交 BD 于 M、 N。求證： OM=ON。（ 5 屆 CMO） 證明 ：作 △EOH △E’OH‘ ，則只需證 E’ 、 M、 H‘ 共線，即 E’H‘ 、 BO、GF 三線共點(diǎn)。 記 ∠BOG=α ， ∠GOE’=β 。連結(jié) E‘F 交 BO 于 K。只需證 =1（ Ceva 逆定理）。 = = =1 注 ： 箏形 ：一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線的四邊形。 對(duì)應(yīng)于 99 聯(lián)賽 2： ∠E’OB=∠FOB ，且 E‘H’ 、 GF、 BO 三線共點(diǎn)。求證： ∠GOB =∠H‘OB 。 事實(shí)上，上述條件是充要條件，且 M 在 OB 延長(zhǎng)線上時(shí)結(jié)論仍然成立。 證明方法為：同一法。 蝴蝶定理 ： P 是 ⊙O 的弦 AB 的中點(diǎn)，過(guò) P 點(diǎn)引 ⊙O 的兩弦 CD、 EF，連結(jié) DE 交 AB 于 M，連結(jié) CF交 AB于 N。求證：MP=NP。 【分析】設(shè) GH 為過(guò) P的直徑， FF’F ，顯然 ‘∈⊙O 。又 P∈GH ， ∴PF ’=PF 。 ∵PF PF‘ ， PA PB，∴∠FPN=∠F’PM ， PF=PF‘ 。 又 FF’⊥ GH， AN⊥GH ， ∴FF‘∥AB 。 ∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’ =∠EFF‘+∠EDF’=180176。 ， ∴P 、 M、 D、 F‘ 四點(diǎn)共圓。 ∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN 。 ∴△PFN≌△PF‘M ， PN=PM。 【評(píng)注】一般結(jié)論為：已知半徑為 R 的 ⊙O 內(nèi)一弦 AB 上的一點(diǎn) P，過(guò) P 作兩條相交弦 CD、 EF，連 CF、 ED 交 AB 于 M、 N，已知 OP=r， P 到 AB 中點(diǎn)的距離為 a，則。（解析法證明：利用二次曲線系知識(shí)）
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