二次函數(shù)壓軸題最短路徑問題(編輯修改稿)
2025-04-22 23:36 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 解題過程】解：（1）∵對稱軸為直線x＝2，∴設拋物線解析式為y＝a（x－2）2＋k．將A（－1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y＝－（x－2）2＋9＝－x2＋4x＋5．（2）當a＝1時，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE＝1，OF＝2．設P（x，－x2＋4x＋5），如答圖2，過點P作PN⊥y軸于點N，則PN＝x，ON＝－x2＋4x＋5，∴MN＝ON－OM＝－x2＋4x＋4．S四邊形MEFP＝S梯形OFPN－S△PMN－S△OME＝（PN＋OF）?ON－PN?MN－OM?OE＝（x＋2）（－x2＋4x＋5）－x?（－x2＋4x＋4）－11＝－x2＋x＋ ＝－（x－）2＋ ∴當x＝時，四邊形MEFP的面積有最大值為，此時點P坐標為（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，∴點P的縱坐標為3．令y＝－x2＋4x＋5＝3，解得x＝2177。．∵點P在第一象限，∴P（2＋，3）．四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME＋PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點M1關于x軸的對稱點M2，則M2（1，－1）；連接PM2，與x軸交于F點，此時ME＋PF＝PM2最?。O直線PM2的解析式為y＝mx＋n，將P（2＋，3），M2（1，－1）代入得： ，解得：m＝ ，n＝，∴y＝x－．當y＝0時，解得x＝．∴F（，0）．∵a＋1＝，∴a＝．∴a＝時，四邊形PMEF周長最?。? 圖1 圖22．（14福州）如圖，拋物線y＝(x3)21與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D了．（1）求點A，B，D的坐標；（2）連接CD，過原點O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對稱軸交于點E，連接AE，AD．求證：∠AEO＝∠ADC；（3）以（2）中的點E為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側的拋物線上有一動點P，過點P作⊙E的切線，切點為Q，當PQ的長最小時，求點P的坐標，并直接寫出點Q的坐標． 【思路點撥】（1）由頂點式直接得出點D的坐標，再令y＝0，得(x3)21＝0解出方程，即可得出點A，B的坐標；（2）設HD與AE相交于點F，可以發(fā)現(xiàn)△HEF與△ADF組成一個“8字型”．對頂角∠HFE＝∠AFD，只要∠FHE＝∠FAD即可．因為∠EHF＝90176。，只需證明∠EAD＝90176。即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE為直角三角形，得∠FHE＝∠FAD＝90176。即可得出結論；（3）先畫出圖形．因為PQ為⊙E的切線，所以△PEQ為直角三角形，半徑EQ長度不變，當斜邊PE最小時，PQ的長度最?。O出點P的坐標，然后表示出PE，求出PE的最小值，得到點P的坐標，再求出點Q的坐標即可．【解題過程】解：（1）頂點D的坐標為（3，1）．令y＝0，得 (x3)21＝0，解得x1＝3＋，x2＝3．∵點A在點B的左側，∴A點坐標(3，0)，B點坐標（3+，0）．（2）過D作DG⊥y軸，垂足為G．則G（0，1），GD＝3．令x＝0，則y＝，∴C點坐標為（0，）．∴GC＝(1) ＝ ．設對稱軸交x軸于點M．∵OE⊥CD，∴∠GCD＋∠COH＝90176。．∵∠MOE＋∠COH＝90176。，∴∠MOE＝∠GCD．又∵∠CGD＝∠OMN＝90176。，∴△DCG∽△EOM．∴＝，即＝．∴EM＝2，即點E坐標為(3，2)，ED＝3．由勾股定理，得AE2＝6，AD2＝3，∴AE2＋AD2＝6＋3＝9＝ED2．∴△AED是直角三角形，即∠DAE＝90176。．設AE交CD于點F．∴∠ADC＋∠AFD＝90176。．又∵∠AEO＋∠HFE＝90176。，∴∠AFD＝∠HFE，∴∠AEO＝∠ADC．（3）由⊙E的半徑為1，根據(jù)勾股定理，得PQ2＝EP2－1．要使切線長PQ最小，只需EP長最小，即EP2最?。OP坐標為（x，y），由勾股定理，得EP2＝(x－3)2＋(y－2)2．∵y＝ (x－3)2－1，∴(x－3)2＝2y＋2．∴EP2＝2y＋2＋y2－4y＋4＝(y－1)2＋5．當y＝1時，EP2最小值為5．把y＝1代入y＝(x－3)2－1，得(x－3)21＝1，解得x1＝1，x2＝5．又∵點P在對稱軸右側的拋物線上，∴x1＝1舍去．∴點P坐標為(5，1)．此時Q點坐標為（3，1）或(，)． 6．（14遂寧）已知：直線l：y＝﹣2，拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是y軸，且經(jīng)過點（0，﹣1），（2，0）
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