二次函數(shù)壓軸題最短路徑問(wèn)題(編輯修改稿)
2025-04-22 23:36 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 解題過(guò)程】解：（1）∵對(duì)稱軸為直線x＝2，∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x－2）2＋k．將A（－1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y＝－（x－2）2＋9＝－x2＋4x＋5．（2）當(dāng)a＝1時(shí)，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE＝1，OF＝2．設(shè)P（x，－x2＋4x＋5），如答圖2，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，則PN＝x，ON＝－x2＋4x＋5，∴MN＝ON－OM＝－x2＋4x＋4．S四邊形MEFP＝S梯形OFPN－S△PMN－S△OME＝（PN＋OF）?ON－PN?MN－OM?OE＝（x＋2）（－x2＋4x＋5）－x?（－x2＋4x＋4）－11＝－x2＋x＋ ＝－（x－）2＋ ∴當(dāng)x＝時(shí)，四邊形MEFP的面積有最大值為，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）．（3）∵M(jìn)（0，1），C（0，5），△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3．令y＝－x2＋4x＋5＝3，解得x＝2177。．∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（2＋，3）．四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長(zhǎng)度固定，因此只要ME＋PF最小，則PMEF的周長(zhǎng)將取得最小值．如答圖3，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（EF的長(zhǎng)度），得M1（1，1）；作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M2，則M2（1，－1）；連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME＋PF＝PM2最小．設(shè)直線PM2的解析式為y＝mx＋n，將P（2＋，3），M2（1，－1）代入得： ，解得：m＝ ，n＝，∴y＝x－．當(dāng)y＝0時(shí)，解得x＝．∴F（，0）．∵a＋1＝，∴a＝．∴a＝時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最小． 圖1 圖22．（14福州）如圖，拋物線y＝(x3)21與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D了．（1）求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；（2）連接CD，過(guò)原點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，連接AE，AD．求證：∠AEO＝∠ADC；（3）以（2）中的點(diǎn)E為圓心，1為半徑畫圓，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作⊙E的切線，切點(diǎn)為Q，當(dāng)PQ的長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)． 【思路點(diǎn)撥】（1）由頂點(diǎn)式直接得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再令y＝0，得(x3)21＝0解出方程，即可得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）設(shè)HD與AE相交于點(diǎn)F，可以發(fā)現(xiàn)△HEF與△ADF組成一個(gè)“8字型”．對(duì)頂角∠HFE＝∠AFD，只要∠FHE＝∠FAD即可．因?yàn)椤螮HF＝90176。，只需證明∠EAD＝90176。即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE為直角三角形，得∠FHE＝∠FAD＝90176。即可得出結(jié)論；（3）先畫出圖形．因?yàn)镻Q為⊙E的切線，所以△PEQ為直角三角形，半徑EQ長(zhǎng)度不變，當(dāng)斜邊PE最小時(shí)，PQ的長(zhǎng)度最小．設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PE，求出PE的最小值，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．【解題過(guò)程】解：（1）頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，1）．令y＝0，得 (x3)21＝0，解得x1＝3＋，x2＝3．∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)(3，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)（3+，0）．（2）過(guò)D作DG⊥y軸，垂足為G．則G（0，1），GD＝3．令x＝0，則y＝，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）．∴GC＝(1) ＝ ．設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M．∵OE⊥CD，∴∠GCD＋∠COH＝90176。．∵∠MOE＋∠COH＝90176。，∴∠MOE＝∠GCD．又∵∠CGD＝∠OMN＝90176。，∴△DCG∽△EOM．∴＝，即＝．∴EM＝2，即點(diǎn)E坐標(biāo)為(3，2)，ED＝3．由勾股定理，得AE2＝6，AD2＝3，∴AE2＋AD2＝6＋3＝9＝ED2．∴△AED是直角三角形，即∠DAE＝90176。．設(shè)AE交CD于點(diǎn)F．∴∠ADC＋∠AFD＝90176。．又∵∠AEO＋∠HFE＝90176。，∴∠AFD＝∠HFE，∴∠AEO＝∠ADC．（3）由⊙E的半徑為1，根據(jù)勾股定理，得PQ2＝EP2－1．要使切線長(zhǎng)PQ最小，只需EP長(zhǎng)最小，即EP2最?。O(shè)P坐標(biāo)為（x，y），由勾股定理，得EP2＝(x－3)2＋(y－2)2．∵y＝ (x－3)2－1，∴(x－3)2＝2y＋2．∴EP2＝2y＋2＋y2－4y＋4＝(y－1)2＋5．當(dāng)y＝1時(shí)，EP2最小值為5．把y＝1代入y＝(x－3)2－1，得(x－3)21＝1，解得x1＝1，x2＝5．又∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，∴x1＝1舍去．∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(5，1)．此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）或(，)． 6．（14遂寧）已知：直線l：y＝﹣2，拋物線y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸是y軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣1），（2，0）
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