最短路徑問題總動員(含答案)(編輯修改稿)
2025-07-23 05:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 蜘蛛 P 在線段 AB 上，蒼蠅 Q 在 ⊙M 的圓周上，線段 PQ 為蜘蛛爬行路線，若 PQ 與 ⊙M 相切，試求 PQ 長度的范圍． 47. 如圖，長方體 ABCDA?B?C?D? 中，AB=BB?=2，AD=3，一只螞蟻從 A 點出發(fā)，沿長方體表面爬到 C? 點，求螞蟻怎樣走最短，最短路程是多少? 48. 如圖，平行四邊形 ABCD 中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，將平行四邊形 ABCD 沿過點 A 的直線 l 折疊，使點 D 落到 AB 邊上的點 D? 處，折痕交 CD 邊于點 E． （1）求證：四邊形 BCED? 是菱形；（2）若點 P 時直線 l 上的一個動點，請計算 PD?+PB 的最小值． 49. 實踐操作 在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=6，現(xiàn)將紙片折疊，點 D 的對應點記為點 P，折痕為 EF（點 E，F(xiàn) 是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片還原．450116225（1）初步思考 若點 P 落在矩形 ABCD 的邊 AB 上（如圖①）． ①當點 P 與點 A 重合時，∠DEF= °，當點 E 與點 A 重合時，∠DEF= °； ②當點 E 在 AB 上，點 F 在 DC 上時（如圖②），求證：四邊形 DEPF 為菱形，并直接寫出當 AP=7 時菱形 EPFD 的邊長． （2）深入探究 若點 P 落在矩形 ABCD 的內(nèi)部（如圖③），且點 E，F(xiàn) 分別在 AD，DC 邊上，請直接寫出 AP 的最小值． （3）拓展延伸 若點 F 與點 C 重合，點 E 在 AD 上，射線 BA 與射線 FP 交于點 M（如圖④）．在各種不同的折疊位置中，是否存在某一種情況，使得線段 AM 與線段 DE 的長度相等?若存在，請直接寫出線段 AE 的長度；若不存在，請說明理由． 答案1. B 2. C 【解析】將臺階面展開，連接 AB，如圖，線段 AB 即為壁虎所爬的最短路線．因為 BC=303+103=120cm，AC=50?cm，在 Rt△ABC 中，根據(jù)勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=16900，所以 AB=130?cm．所以壁虎至少爬行 130?cm．3. C 【解析】4. B 5. D 6. A 【解析】AG=AC2+CG2=82+62=10 . 7. B 8. B 9. B 10. C 11. B 12. A 13. C 【解析】將正方體的左側(cè)面與前面展開，構成一個長方形，用勾股定理求出距離即可．如圖，AB=1+22+12=10．14. 2515. 22【解析】將圓柱的側(cè)面沿 AD 剪開并鋪平得長方形 AA?D?D，連接 AC，如圖．線段 AC 就是小蟲爬行的最短路線．根據(jù)題意得 AB=2π2π12=2．在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得， AC2=AB2+BC2=22+22=8．所以 AC=8=22．16. 2017. 32+3618. 1019. 25【解析】只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖 1： ∵ 長方體的寬為 10，高為 20，點 B 離點 C 的距離是 5， ∴ BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形 ABD 中，根據(jù)勾股定理得： ∴ AB=BD2+AD2=152+202=25；只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖 2： ∵ 長方體的寬為 10，高為 20，點 B 離點 C 的距離是 5， ∴ BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形 ABD 中，根據(jù)勾股定理得： ∴ AB=BD2+AD2=102+252=529；只要把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖 3： ∵ 長方體的寬為 10，高為 20，點 B 離點 C 的距離是 5， ∴ AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形 ABC 中，根據(jù)勾股定理得： ∴ AB=AC2+BC2=302+52=537； ∵ 25529537， ∴ 螞蟻爬行的最短距離是 25?cm．20. 2521. 13【解析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的做法就是將長方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答.如圖 ∵PA=24+2=12cm，QA=5?cm，∠A=90° ， ∴PQ=PA2+QA2=13?cm22. 1023. 62524. 10，29+16n2【解析】如圖，依題意，得從點 A 開始經(jīng)過 4 個側(cè)面纏繞一圈到達點 B 時，最短距離為 AB，此時，由勾股定理，得 AB=62+82=10，即所用細線最短為 10?cm．若從點 A 開始經(jīng)過 4 個側(cè)面纏繞 n 圈到達點 B，則長方體的側(cè)面展開圖的一邊長由 3+1+3+1 變成 n3+1+3+1，即 8n，由勾股定理，得 62+8n2=36+64n2，即所用細線最短為 36+64n2?cm，或 29+16n2?cm．25. 【解析】由題意可知，將木塊展開，相當于是 AB+2 個正方形的寬， ∴ 長為 2+2= 米；寬為 1 米．于是最短路徑為：+12= 米．26. 65【解析】沿 AB 剪開可得矩形. ∵ 圓柱的高為 25?cm，底面圓的周長為 60?cm， ∴A?B?=AB=25?cm，AA?=60?cm，在 Rt△AA?B? 中，AB?=A?A2+A?B?2=65 cm .即裝飾線的最短路線長是 65?cm ．27. 1528. 32+629. 2530. 25【解析】∵ 圓錐的底面周長是 4π，則 4π=nπ4180， ∴n=180° 即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是 180°， ∴ 在圓錐側(cè)面展開圖中 AP=2，AB=4，∠BAP=90°， ∴ 在圓錐側(cè)面展開圖中 BP=20=25， ∴ 這只螞蟻爬行的最短距離是 25?cm．31. 33【解析】∵ 圖中扇形的弧長是 2π，根據(jù)弧長公式得到 2π=3πn180， ∴n=120°，即扇形的圓心角是 120°， ∴∠APO=30° ， ∴AO=332 . 32. （1） 螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的 AC?1 和 AC1．（2） 如圖， AC?1=42+4+42=45． AC1=4+42+42=45．所以螞蟻爬過的最短路徑的長是 45．33. （1） 5?m（2） 6?m；60?m34. 25?cm．35. （1） ①如圖①，連接 A?B，線段 A?B 就是所求作的最近路線．②兩種爬行路線如圖②所示，由題意可得：在 Rt△A?C?C2 中，A?HC2=A?C?2+C?C22=702+302=5800dm；在 Rt△A?B?C1 中，A?GC1=A?B?2+B?C12=402+602=5200dm． ∵
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