韋達(dá)定理的應(yīng)用與提高自招題集(編輯修改稿)
2025-04-22 05:21 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 兩個(gè)相等實(shí)根，即有a=b?！ ≌f(shuō)明 由“不等導(dǎo)出相等”是一種獨(dú)特的解題技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法較第一種煩瑣，且需一定的跳躍性思維?！ ?．求參數(shù)的值與解方程 韋達(dá)定理及其逆定理在確定參數(shù)取值及解方程（組）中也有著許多巧妙的應(yīng)用。 ★★★例6 解方程?！ 〗猓涸匠炭勺冃螢椤 ！ ×?。則 , ?！ ∮身f達(dá)定理逆定理知，以a，為根的一元二次方程是 ?！ 〗獾?。即a=或a=9?！ 』蛲ㄟ^(guò)求解x結(jié)果相同，且嚴(yán)謹(jǐn)?！ ?，（舍去）。 解之得。此種方法應(yīng)檢驗(yàn)：是或否成立強(qiáng)化訓(xùn)練A 級(jí) ★★，且方程有兩個(gè)不等的正整數(shù)根，則k的值為_(kāi)_______________?！ 铩?， ，則_______________?！ 铩铩? .已知和是方程的二實(shí)根，則_____________。 ★★★（m為整數(shù)）有兩個(gè)不等的正整數(shù)根，求m的值。Ｂ級(jí) ★★★★：和為方程及方程的實(shí)根，其中n為正奇數(shù)，且。 求證：，是方程的實(shí)根?！ 铩铩铩铮嚽髃的值。參考答案 1．2 提示：原方程即，所以，由知k=1，2，3，5，11；由知k=2，3，4，7。所以k=2，3，但k=3時(shí)原方程有二相等正整數(shù)根，不合題意。故k=2。 2．提示：由x，y為方程的二根，知。于?！ ?．21 提示：由，知， 4．設(shè)二個(gè)不等的正整數(shù)根為，由韋達(dá)定理，有 消去m，得 ?！ 〖?。則且?！ ?。故?！ ?．由韋達(dá)定理有?！ ∮??！ 《较鄿p得?！ ?。 將代入有?！ 亩?， 同理 和是方程的根?！ ?．當(dāng)時(shí)，可知，所以，當(dāng)時(shí)，易證得。從而， 為方程的二不同實(shí)根?！ ??！ ∮谑?， ?！ ‘?dāng)時(shí)，方程為。 解得 或 取，即能符合題意，故k的值為。練習(xí)：設(shè)a、b是方程x2+x﹣2014=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值為（ ）A．2014 B．2015 C．2012 D．20132（2012?德清縣自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）=0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ． 3．已知a+b=3，ab=﹣7，則代數(shù)式2a2+b2+3b的值為 ?。?．（2015?黃岡中學(xué)自主招生）已知實(shí)數(shù)a≠b，且滿足（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2．則的值為 ?。?．（2013?自貢）已知關(guān)于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，xx2是此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，現(xiàn)給出三個(gè)結(jié)論：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．則正確結(jié)論的序號(hào)是 ?。ㄌ钌夏阏J(rèn)為正確結(jié)論的所有序號(hào)）6（2013?荊門）設(shè)x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的兩實(shí)數(shù)根，則= ．7．（2012?成都模擬）若α，β是方程x2﹣3x+1=0的兩個(gè)根，則α2+αβ﹣3α=?。?．（2010?南通）設(shè)xx2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的兩個(gè)根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，則a= 8?。?．（2010?寧陽(yáng)縣模擬）已知實(shí)數(shù)a、b（a≠b）分別滿足，試求的值 10．（2009?河南模擬）設(shè)A是方程x2﹣x﹣2009=0的所有根的絕對(duì)值之和，則A2= ．11．（2007?瀘州）若非零實(shí)數(shù)a，b（a≠b）滿足a2﹣a﹣2007=0，b2﹣b﹣2007=0，則：= ?。?2．（2004?廈門）已知關(guān)于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣2=0．xx2是此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，現(xiàn)給出三個(gè)結(jié)論：（1）x1≠x2；（2）x1x2＞ab；（3 ）x12+x22＞a2+b2，則正確結(jié)論的序號(hào)是 ?。ㄔ?
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