羅默高級宏觀經(jīng)濟學(第3版)課后習題詳解(第1章索洛增長模型)(編輯修改稿)
2025-04-21 07:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 形，消費大約上升多少？（c）投資增加對消費的直接影響是什么？消費要恢復到不存在投資增長時的水平，需要花費多長時間？解：（a），上升20%，表明儲蓄率上升了20%。由教材（）可以知道產(chǎn)出關(guān)于儲蓄的彈性公式為：為產(chǎn)出的資本彈性，這里假設(shè)市場是完全競爭的，不存在市場扭曲，資本取其邊際產(chǎn)品，即產(chǎn)出的資本彈性近似等于資本份額。將代入上述公式，得：可以看出，產(chǎn)出關(guān)于儲蓄的彈性為1/2，則儲蓄率上升20%，產(chǎn)出會上升10%。（b）由于儲蓄率上升，因此盡管產(chǎn)出上升了10%，但消費并不會上升10%，而會更小一些。在此需要求出消費的儲蓄彈性。由于，對此式兩邊關(guān)于求導數(shù)，得：等式兩邊都乘以，得到彈性形式如下：在等式右邊，將替代，化簡得：該式第二項為產(chǎn)出的儲蓄彈性，由（a）可知為1/2，，代入上述公式，得：因此，投資所占產(chǎn)出的份額永久性上升20%，可以使消費上升6%（）。（c）投資增加對消費的直接影響是使消費立即下降。原因在于，在初始平衡增長路徑上，保持不變，。因此。下面使用校準的方法來檢驗消費的收斂速度。在發(fā)生一次性上升后便保持不變，因而消費在新的平衡增長路徑上會保持不變。在教材上第17頁討論了和的收斂速度。首先定義的動態(tài)方程式：，在平衡增長路徑上，為0，取在上的一階泰勒展開：令，有下式：的平衡增長路徑為：在求解：因為為6%，而，可以得出為4%。這意味著和每年向平衡增長路徑移動4%。由于，因此消費也以穩(wěn)定的速率向穩(wěn)定點移動?？梢酝瞥鱿率剑涸俅魏喕癁椋河深}目可知，%，而后再上升6%，%。%（）才能到達新的平衡增長路徑。%。為了決定收斂的速度，有下面的式子：兩邊取對數(shù)，有：。求得下面的結(jié)果：（年）因此，消費要恢復到不存在投資增長時的水平。 索洛模型中的要素支付。假設(shè)勞動與資本均按其邊際產(chǎn)品支付。令表示，且表示。（a）證明勞動的邊際產(chǎn)品是。（b）證明如果資本與勞動均按其邊際產(chǎn)品支付，那么不變的規(guī)模報酬意味著生產(chǎn)要素的總支付量等于總的凈產(chǎn)出，即證明在不變的規(guī)模報酬條件下。（c）隨著產(chǎn)出份額被支付給資本與勞動，資本報酬（）大致也不隨時間而變化。處在平衡增長路徑上的索洛經(jīng)濟展現(xiàn)這些特征嗎？處在均衡增長路徑上的與的增長率是多少？（d）假設(shè)經(jīng)濟由一個數(shù)量為的水平開始。隨著移向，是否以大于、小于或等于其處在平衡增長路徑時的增長率的速率增長？會怎樣呢？答：（a）勞動的邊際產(chǎn)品為：生產(chǎn)函數(shù)為：兩邊關(guān)于取導數(shù)：（1）即：（b）資本的邊際產(chǎn)品為：生產(chǎn)函數(shù)為：，兩邊關(guān)于取導數(shù)： （2）將方程（1）和（2）代入，得：簡化為：因為不變的規(guī)模報酬條件下，所以有下式： （3）（c）（2）式中，因為保持不變，而在平衡增長路徑上也保持不變，因此不變，也將保持不變。這意味著，從而資本回報率在索洛模型中保持不變。資本的產(chǎn)出份額為，求其增長率如下：在平衡增長路徑上，資本的產(chǎn)出份額保持不變。因為資本的產(chǎn)出份額與勞動的產(chǎn)出份額之和為1，因此，勞動的產(chǎn)出份額也保持不變。下面求在平衡增長路徑上勞動的邊際產(chǎn)品增長率。勞動的邊際產(chǎn)品是：兩邊取對數(shù)求勞動的增長率：在平衡增長路徑上，因此，即勞動的邊際產(chǎn)品的增長率為有效勞動增長率。（d）由（c）知。因為，如果，則式中第二項為正，當時，，因此勞動的邊際產(chǎn)品增長率比平衡增長路徑時更快。資本的邊際產(chǎn)品的增長率為：當向移動時，而，因此，從而資本的邊際產(chǎn)品的增長率下降。 ，資本與勞動按其邊際產(chǎn)品獲得收益。此外，假設(shè)一切資本收入被儲蓄且所有勞動收入被消費。因此。（a）證明這種經(jīng)濟收斂于平衡增長路徑。（b）處在平衡增長路徑上的大于、小于或等于的黃金律水平嗎？關(guān)于這個結(jié)論的直覺是什么？答：（a）下面證明該經(jīng)濟可以收斂于平衡增長路徑。由，對其兩邊關(guān)于時間求導，可得： （1）將，和代入方程（1），可得： （2）將代入方程（2），可得： （3）當時，每單位有效勞動保持不變。即，因此平衡增長路徑上的每單位有效勞動的資本可以由潛在地決定。，由于在平衡增長路徑上保持不變，因此，必須與保持同樣的增長速度。的增長速度為，所以的增長速度為。由于生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報酬不變的，因此，在平衡增長路徑上每單位有效勞動的產(chǎn)出增長速度也必須是。綜合上述，可以發(fā)現(xiàn)所有變量增長速度均不變。下面證明經(jīng)濟收斂于平衡增長路徑。在時，此時經(jīng)濟處于平衡增長路徑上。如果，由于，所以，則經(jīng)濟向下偏離平衡增長路徑；反之，如果，則，經(jīng)濟向上偏離平衡增長路徑。所以，不管初始的如何，經(jīng)濟都將收斂于平衡增長路徑，此時 ，所有的經(jīng)濟變量都以不變的速率增長。（b）滿足黃金規(guī)則的資本水平是指每單位有效勞動的消費的最大化資本水平，即。此刻滿足生產(chǎn)函數(shù)的斜率等于持平投資線的斜率。而這正是經(jīng)濟收斂到均衡增長路徑時的水平，這時所有的資本收入被儲蓄，所有的勞動收入被消費。在本模型中，將資本的貢獻（資本的邊際產(chǎn)品乘以資本的數(shù)量）儲蓄起來。如果資本的貢獻超過持平投資，即，則上升；反之，如果，則下降。因此，經(jīng)濟收斂于，或者這一點上，此刻經(jīng)濟收斂于平衡增長路徑。 利用與式（）～（）中相類似的步驟分析，在平衡增長路徑附近，如何快速地收斂于。[提示：由于，可以寫出，其中。]答：首先，由求反函數(shù)可得，令，即可以表示成的函數(shù)；又由于在索洛模型中，是由的值所決定的，因而可以表示為的函數(shù)，從而可以表示為的函數(shù)，即有：。特別地，當時。函數(shù)在處的一階泰勒展式為：
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