矩陣與數值分析學習指導和典型例題分析報告(編輯修改稿)
2025-04-21 06:34 本頁面
【文章內容簡介】 矩陣范數與向量范數相容卻未必有從屬關系。（如，與向量、與向量相容，但無從屬關系）。④ 并非任意的矩陣范數與任意的向量范數相容。4）矩陣范數的性質① 設為矩陣空間的一種矩陣范數，則對任意的n階方陣均有 ． 其中為方陣的譜半徑。注意：當時。 ② 對于任給的ε0, 則存在上的一種算子范數（依賴矩陣和常數ε），使得 ． ③ 對于上的一種算子矩陣范數，如果且1, 則可逆且．二、典型例題分析例1．1：，問它們各有幾位有效數字？，解： 現將近似值寫成標準形式：, , ,在直接根據有效數字定義得出， ，即有5位有效數字； ，即有1位有效數字； ，即無有效數字。例1．2：已知的相對誤差為，求的相對誤差。解：此題要利用函數計算的誤差估計，即取，則由，可推出 ，故的相對誤差為。例1．3：此為減少運算次數達到避免誤差危害的例子利用3位算術運算求在處的值。表中給出了傳統(tǒng)的方法的計算的中間結果。在這里我們使用了兩種取值法：截斷法和舍入法。精確值 111 013位數值（截斷法）1041353位數值（舍入法）104135精確值：3位數值（截斷法）：3位數值（舍入法）：上述3位數值方法的相對誤差分別是，截斷法 ，舍入法作為另一種辦法，用秦九韶方法（嵌套法）可將寫為那么，3位數值（截斷法）：3位數值（舍入法）：則相對誤差分別是，（截斷法） ，（舍入法）可見使用秦九韶方法（嵌套法）已將截斷近似計算的相對誤差減少到原方法所得相對誤差的之內。對于舍入近似計算則改進更大，其相對誤差已減少以上。多項式在求值之前總應以秦九韶方法（嵌套法）表示，原因是這種形式使得算術運算次數最小化。本例中誤差的減小是由于算術運算次數從4次乘法和3次加法減少到2次乘法和3次加法。減少攝入誤差的一種辦法是減少產生誤差的運算的次數。例1．4：已知近似值，均為有效數字，試估計如下算術運算的相對誤差。解：由已知，；；。令，由函數運算的誤差估計式++從而，相對誤差可寫成﹟若，則絕對誤差，相對誤差為：；若，則絕對誤差，相對誤差為：；若，則絕對誤差，相對誤差為：；這個例子說明絕對誤差有較大變化時，相對誤差相同。作為精確性的度量，絕對誤差可能引起誤解，而相對誤差由于考慮到了值的大小而更有意義。例1．5：在中用圖表示下面的點集，并指出它們的共同性質。，解：這些點集的共同性質
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