球盒模型的概率問題(編輯修改稿)
2025-04-21 06:01 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x 1) …(x k + 1)，叫做x降k 階乘。 把n個(gè)完全不同的球放入m個(gè)不同的盒子，不允許有空盒的方案數(shù)為m!S2。 把n個(gè)完全不同的球放入m個(gè)相同的盒子里，不允許有空盒的方案數(shù)為 S2，則把n個(gè)完全不同的球放入m個(gè)相同的盒子里，允許有空盒的方案數(shù)為 n元集上的k元重集(即n元集的k元可重復(fù)組合)的個(gè)數(shù)記為則，不允許有空盒的方案數(shù)為 把正整數(shù)n表示成k個(gè)正整數(shù)之和的一種表示法n = n1 +n2 …+ nk正整數(shù)n的k分拆中，各分布量的次序無關(guān)緊要，一般按遞降次序排列，即 稱為n的一個(gè)k部分拆，每個(gè)被加數(shù)ni稱為此分拆的一個(gè)分部。n的k部分拆的個(gè)數(shù)記為P(n, k) 。 n的所有分拆的個(gè)數(shù)記為P(n)，即P(n)=稱為n的分拆數(shù)。 概率知識(shí)，S是它的樣本空間。對(duì)于E的每一件事A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P (?)滿足下列條件:⑴非負(fù)性:對(duì)于每個(gè)事件A,有P(A) ≥0；⑵規(guī)范性:對(duì)于必然事件S，有P(S) = 1；⑶可列可加性:設(shè)A1，A2…是兩兩互不相容的事件，即對(duì)于i ≠ j，A1 A2 =Φ i, j=1, 2，…，則有P(A1A2.......)=P(A1 )+P(A2 )+…。當(dāng)n →∞ 時(shí)頻率fn(A)在一定意義下接近于概率P(A)。因此，可以將概率P(A)用來表征事件A在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的可能性的大小。 設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為xk (k =1, 2,…)X取各個(gè)可能值的概率，即事件(X=xk的概率，為P(X = xk) = pk， k =1,2,… ()由概率的定義,pk滿足如下兩個(gè)條件⑴非負(fù)性:0 ≤ pk≤ 1，k=1,2,... ()⑵規(guī)范性: ()⑶可列可加性:由于{X =x1}{X =x2}…是必然事件， {X=xj}{X=xk }=216。，k ≠ j故 我們稱(. 1為離散型隨機(jī)變量X分布律，也稱分布列，有時(shí)簡(jiǎn)稱分布。分布律也可以用表格的形式表示:此表為X的概率分布表，它能清楚地表示X取值的分布情況。為簡(jiǎn)單起見，概率的分布清況可以直接用()式來表示，也可表示為概率分布列和概率分布表常常統(tǒng)稱為概率分布，它是描述離散型隨機(jī)變量的有力工具。 離散隨機(jī)變量ξ的一切可能值xi與對(duì)應(yīng)的概率P(ξ= xi)的乘積的和叫做隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望，記作Eξ。如果隨機(jī)變量咨只能取得有限個(gè)值而取得這些值的概率分別是則數(shù)學(xué)期望為如果隨機(jī)變量ξ只能取得可數(shù)無窮多個(gè)值而概率分別是則數(shù)學(xué)期望Eξ是下列級(jí)數(shù)的和:假定這級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的，因而級(jí)數(shù)的和與各項(xiàng)的排列次序無關(guān)。 球盒模型 球盒模型包括摸球問題和投球問題，摸球問題事實(shí)上是投球問題的逆過程，它們可以相互轉(zhuǎn)化。比如n個(gè)互異球中抽取r個(gè)球，可以看作r個(gè)球投入n個(gè)不同編號(hào)的盒子。但摸球問題有它特有的思路和方法，即摸球問題中，“球”可以是帶有顏色或編號(hào)的正的球，也可以是合格或不合格的產(chǎn)品、不同花色和點(diǎn)數(shù)的撲克牌、各種面值的硬幣等等，摸球的方式可以是無放回的，可以是有放回的，也可以是逐一地抽取或是一次性的抽取，很多實(shí)際問題都可轉(zhuǎn)化成球類模型。 例如在魏宗舒等編著的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程(第二版)》中有這樣一個(gè) m只顏色各不同的球，有放回地摸取n次，求摸出的球的顏色數(shù)的數(shù)學(xué)期望。用概率方法證明或?qū)ふ医M合恒等式是一個(gè)很有趣的問題，也是一個(gè)重要方法。本節(jié)以此問題為基礎(chǔ)，利用不同方法得到了一些關(guān)于第二類Stirling數(shù)的有趣的組合恒等式。(1)問題的提出:m只顏色各不同的球，有放回地摸取n次，求摸出的球的顏色數(shù)的數(shù)學(xué)期望。(2)分布律設(shè)X表示n次抽球所抽出的顏色數(shù)(X =1,2,…,m)，事件表示“抽到第i種顏色”C i=1,2,…,m)，P(Ai)表示事件我發(fā)生的概率，由概率加法公式得故注意到所以(4)進(jìn)一步思考設(shè)m種不同色的球(一球一色)，有放回地抽，直到抽出所有顏色的球?yàn)橹埂ＴO(shè)隨機(jī)變量Y表示抽出所有顏色的球所需抽球次數(shù)(Y=m,m+l），記pn=P｛X=n｝,qn=P{Y=n},則即得到一個(gè)關(guān)于Stirling數(shù)的有趣的組合恒等式3 球盒模型基本結(jié)論把n個(gè)球放入m個(gè)盒子中去一共有多少種分配方法? n個(gè)球可能有多種狀態(tài)，兩個(gè)極端情形是它們完全相同以及兩兩不同，m個(gè)盒子也是如此。球放入m個(gè)盒子，最極端的情況是:球同與不同、盒子同與不同以及分配后盒子空與不空共23 = 8種狀態(tài)。這基本的8種狀態(tài)涉及到第二類Stirling數(shù)、整數(shù)分拆等的概念，根據(jù)第2章的知識(shí)，我們對(duì)放球問題有了進(jìn)一步的了解，現(xiàn)在把有關(guān)n個(gè)球放到m個(gè)盒子的放球問題的結(jié)果給在下表中。下面依次簡(jiǎn)單說明1到8種情況分配方案數(shù)的由來。1 ，把n個(gè)不同的球放入m個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子可放多個(gè)，也可以不放，其不同的方案數(shù)為mn?；蛘哒f是m個(gè)字母的n元字的個(gè)數(shù)。，把n個(gè)完全不同的球放入m個(gè)不同的盒子，不允許有空盒的方案數(shù)為m!S2(n,m)?；蛘哒f是。元集的有序m部分拆。，不允許有空盒的方案數(shù)為S2 (n, m)，則把n個(gè)完全不同的球放入m個(gè)相同的盒子里，允許有空盒的方案數(shù)為?；蛘哒f是n元集分拆成至多m個(gè)分部。，把n個(gè)完全不同的球放入m個(gè)相同的盒子里，不允許有空盒
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