球盒模型的概率問題-資料下載頁
2025-03-25 06:01本頁面
【正文】 比較組合恒等式的概率方法證明以及組合方法證明可知，概率法證明簡單、明確、可行。 如果我們進(jìn)一步考慮此問題:現(xiàn)有m個(gè)紅球，n1個(gè)白球，事件Xi表示第i個(gè)紅球被取出。由可以得到()的證明。因?yàn)樗詳?shù)學(xué)期望為,由實(shí)際上，()等價(jià)于下列Vandermode卷積公式:另外，由數(shù)學(xué)期望的定義得因此例如，當(dāng)n=5,m=3時(shí)，()左右兩邊都等于105.現(xiàn)在，以另一種方法研究隨機(jī)變量X由容斥原理得一般地因此也就是，對任意m(k≤m≤n)，有下列恒等式成立例如，當(dāng)n=5,k=2時(shí)，對任意的2 ≤ m ≤ 5，等式左邊右邊都等于4。 n個(gè)全部相同的球放入m個(gè)全部相同的盒子的情況 整數(shù)分拆問題是一個(gè)古老而又十分有趣的問題。所謂整數(shù)的分拆，就是把一個(gè)自然數(shù)表示成為若干個(gè)自然數(shù)的和的形式，每一種表示方法，便是這個(gè)自然數(shù)的一個(gè)分拆。整數(shù)分拆的要求通常是將一個(gè)自然數(shù)拆成兩個(gè)(或兩個(gè)以上)自然數(shù)的和，并使這些自然數(shù)的積最大(或最小)?；虿鸪扇舾蓚€(gè)連續(xù)自然數(shù)的和等等。 隨機(jī)變量X表示放球過程中有球的盒子數(shù) 問題4:n個(gè)全部相同的球放入m個(gè)全部相同的盒子，放球的過程中允許有空盒，隨機(jī)變量x表示放球過程中有球的盒子數(shù)，求x的數(shù)學(xué)期望E(X) o 因?yàn)殡S機(jī)變量X是表示放球過程中有球的盒子數(shù)，所以相當(dāng)于n個(gè)全部相同的球放入x個(gè)全部相同的盒子，求無空盒的放法數(shù)，即為正整數(shù)n的無序分拆。先求隨機(jī)變量X的分布律為所以X的數(shù)學(xué)期望為顯然有恒等式即變形為恒等式 概率論為我們證明組合恒等式提供了更好的方法，從概率論的角度看待問題往往能使問題簡化，它將在證明組合恒等式方面得到越來越廣泛的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)各分支中，不少組合恒等式往往不是顯而易見的，其證明有一定的難度，這就使它們的應(yīng)用受到限制。若能對一些重要而又復(fù)雜的組合恒等式給以證明，則會(huì)給其應(yīng)用帶來不少方便。5 結(jié)論與展望 論文總結(jié) 所謂球盒模型，就是將n個(gè)球放到m個(gè)盒子里，依據(jù)球和盒子是否有區(qū)別以及是否允許空盒而存在23= 8種狀的及基礎(chǔ)上建立有關(guān)的概率模型，利用求概率或求數(shù)學(xué)期望的方法，對組合恒等式進(jìn)行證明。古典概型是概率的基礎(chǔ)，鑒于古典概率問題中，計(jì)數(shù)常常涉及組合數(shù)，使得用構(gòu)造隨機(jī)試驗(yàn)，利用概率模型來診釋、證明某些組合恒等式。通過構(gòu)造概率模型，證明一些重要的組合恒等式，并將之拓展，使概率證法在證明組合恒等式中得到充分體現(xiàn)。用概率證明組合恒等式的主要思路是:針對所要證明的組合恒等式構(gòu)造出適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，求出該模型中有關(guān)事件的概率然后根據(jù)概率的一些性質(zhì)推出應(yīng)有的結(jié)論。在解決一些組合恒等式時(shí)，構(gòu)造概率模型后，從不同的角度考慮其概率或隨機(jī)變量的數(shù)字特征，即可證明組合恒等式，并利用這些性質(zhì)發(fā)現(xiàn)新的組合恒等式和用本方法證明己有的恒等式。從概率論的角度看待問題往往能使問題簡化，概率論為我們證明組合恒等式提供了更好的方法。綜上所述，只要我們概率模型構(gòu)造得當(dāng)，在求出某些事件的概率后，直接利用概率的有關(guān)性質(zhì)便可推出一些組合恒等式。 除了上述一些方法，還可用其他概率論方法證明組合恒等式，比如用Banach問題的推廣結(jié)論去證明組合恒等式等。概率論在證明組合恒等式方面將得到越來越廣泛的應(yīng)用。從不同角度觀察、解釋一個(gè)組臺(tái)恒等式，聯(lián)想不同的數(shù)學(xué)分支，?？山o出種種證法。其中數(shù)學(xué)歸納法、待定系數(shù)法、母函數(shù)法、復(fù)數(shù)法及遞推法等均較為常見。 組合恒等式的概率證法思維靈活、背景生動(dòng)、表述簡潔、效率甚高。要熟練地掌握這種證法，必須弄清知識(shí)的客觀背景，了解知識(shí)的來龍去脈，掌握知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系，編織知識(shí)的結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，抓住問題的特征及解決問題的關(guān)鍵。這類問題是培養(yǎng)、提高觀察能力、靈活的變形能力、豐富的聯(lián)想能力及綜合性解題能力的良好題材，對提高解決實(shí)際問題的能力均大有裨益。 問題與展望 本文雖然詳細(xì)研究了n個(gè)球放到m個(gè)盒子里，依據(jù)球和盒子是否有區(qū)別以及是否允許空盒而存在23= 8種狀的及基礎(chǔ)上建立有關(guān)的概率模型，利用求概率或求數(shù)文章也存在一些不足之處和一些需要進(jìn)一步解決的問題，主要是:對第四章中得到的結(jié)果，由于計(jì)算的復(fù)雜性和時(shí)間關(guān)系，沒有過多的實(shí)際應(yīng)用的例子，這是一件非常遺憾的事情對已得的結(jié)果中，有許多因表達(dá)式過于復(fù)雜而難以付諸應(yīng)用，發(fā)展有效的算法或給出一些實(shí)際應(yīng)用的實(shí)例也是有重要意義的。3研究的球盒模型中，適當(dāng)變換放球的條件，或者設(shè)置各種放球的條件，本文所進(jìn)一步研究是非常有必要的。對于球盒模型的其他情況，把組合數(shù)學(xué)與概率充分聯(lián)系起來的知識(shí)，比如更深層次的Stirling number、隨機(jī)占用模型等等都尚待研究。參考文獻(xiàn)[1] 「M].科學(xué)出版社，2008.[2] (白然科學(xué)版)，2001, 19 C1): 81[3] 土天明，于洪全等人，組合數(shù)的矩陣表示及應(yīng)用[J].大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1996 , 12(36):380385.[4] 「M].廣州:華南理工大學(xué)出版社，2001: 7885.[5] 柯召，(上冊)[M].北京:科學(xué)出版社，1981.[6] 譚明術(shù)，[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，2005 ,3(21): 8689.[7] (白然科學(xué)版)，1995 ,(6): 1316.[8] [J ].科技信息高校講臺(tái)，2007, C30): 226227.[9] [J].渭南師范學(xué)院報(bào)，2000, 15(5) : 3537[10] [J].牡丹江師范學(xué)院報(bào)，2000 ,3940
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