圓中的動點問題(編輯修改稿)
2025-04-21 00:00 本頁面
【文章內容簡介】 是劣?。?，且EF=5，把△OBC經過平移、旋轉和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F(xiàn)重合．在EF的同一側，這樣的三角形共有多少個？你能在其中找出另一個頂點在⊙O上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形，并求出這個三角形與△OBC的周長之比．考點：切線的性質；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂徑定理；平移的性質；旋轉的性質；相似三角形的判定與性質。專題：計算題。分析：（1）由AE與圓O相切，根據(jù)切線的性質得到AE與CE垂直，又OB與AT垂直，可得出兩直角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形AEC與三角形OBC相似，根據(jù)相似三角形的對應角相等可得出所求的角與∠A相等，由∠A的度數(shù)即可求出所求角的度數(shù)；（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出CE的長，再由OB垂直于MN，由垂徑定理得到B為MN的中點，根據(jù)MN的長求出MB的長，在直角三角形OBM中，由半徑OM=R，及MB的長，利用勾股定理表示出OB的長，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30176。的值，利用銳角三角函數(shù)定義表示出OC，用OE﹣OC=EC列出關于R的方程，求出方程的解得到半徑R的值；（3）把△OBC經過平移、旋轉和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F(xiàn)重合．在EF的同一側，這樣的三角形共有6個，如圖所示，每小圖2個，頂點在圓上的三角形，延長EO與圓交于點D，連接DF，由第二問求出半徑，的長直徑ED的長，根據(jù)ED為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到三角形EFD為直角三角形，由∠FDE為30176。，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，表示出三角形EFD的周長，再由第二問求出的三角形OBC的三邊表示出三角形BOC的周長，即可求出兩三角形的周長之比．解答：解：（1）∵AE切⊙O于點E，∴AE⊥CE，又OB⊥AT，∴∠AEC=∠CBO=90176。，又∠BCO=∠ACE，∴△AEC∽△OBC，又∠A=30176。，∴∠COB=∠A=30176。；（2）∵AE=3，∠A=30176。，∴在Rt△AEC中，tanA=tan30176。=，即EC=AEtan30176。=3，∵OB⊥MN，∴B為MN的中點，又MN=2，∴MB=MN=，連接OM，在△MOB中，OM=R，MB=，∴OB==，在△COB中，∠BOC=30176。，∵cos∠BOC=cos30176。==，∴BO=OC，∴OC=OB=，又OC+EC=OM=R，∴R=+3，整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0，解得：R=﹣23（舍去）或R=5，則R=5；（3）在EF同一側，△COB經過平移、旋轉和相似變換后，這樣的三角形有6個，如圖，每小圖2個，頂點在圓上的三角形，如圖所示：延長EO交圓O于點D，連接DF，如圖所示，∵EF=5，直徑ED=10，可得出∠FDE=30176。，∴FD=5，則C△EFD=5+10+5=15+5，由（2）可得C△COB=3+，∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1．點評：此題考查了切線的性質，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質，含30176。直角三角形的性質，平移及旋轉的性質，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．題型三：圓中的動點例題三 （2012江蘇南京10分）如圖，A、B為⊙O上的兩個定點，P是⊙O上的動點（P不與A、B重合），我們稱∠APB為⊙O上關于A、B的滑動角。（1）已知∠APB是上關于點A、B的滑動角。① 若AB為⊙O的直徑，則∠APB= ② 若⊙O半徑為1，AB=，求∠APB的度數(shù)（2）已知為外一點，以為圓心作一個圓與相交于A、B兩
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