反函數例題講解(編輯修改稿)
2025-04-20 23:28 本頁面
【文章內容簡介】 強調分三個步驟進行．第一步將y = f (x)看成方程，解出x = f －1 (y)，第二步將x，y互換，得到y(tǒng) = f －1 (x)，第三步求出原函數的值域，作為反函數的定義域．其中第三步容易被忽略，造成錯誤．如第(3)小題，由解得x = (y－1)2，再將x，y互換，得y = (x－1)2．到此以為反函數即y = (x－1)2，這就錯了．必須根據原函數的定義域x≥0，求得值域y≥1，得到反函數的定義域，于是所求反函數為y = (x－1)2 (x≥1)．例2．求下列函數的反函數：(1) y = x2－2x－3 (x≤0)；(x≤0)，(x＞0)．(2) 通過本例，使學生進一步掌握求反函數的方法，明確求解中三個步驟缺一不可．解：(1) 由y = x2－2x－3， 得y = (x－1)2－4， 即 (x－1)2 = y＋4， 因為x≤0，所以，所以原函數的反函數是 ( x≥－3)． (2) 當x≤0時，得x = y＋1且y≤－1； 當x＞0時， 得且y＞－1， 所以，原函數的反函數是：x≤－1，x＞－1．例題講解(反函數）［例1］若函數f(x)與g(x)的圖象關于直線y=x對稱，且f(x)=(x1)2(x≤1)，求g(x).
選題意圖：本題考查互為反函數的函數的圖象間的對稱關系.解：f(x)與g(x)在定義域內互為反函數，f(x)=(x1)2(x≤1)的反函數是y=1 (x≥0)，∴g(x)=1 (x≥0).說明：互為反函數的圖象關于y=x對稱，反之亦然，也是判斷兩個函數互為反函數的方法之一，本是f(x)與g(x)互為反函數，要求g(x),只須求f(x)在限定區(qū)間上的反函數即可.［例2］若點P(1，2)在函數y=的圖象上，又在它的反函數的圖象上，求a,b的值.
選題意圖：本題考查反函數的概念，反函數的圖象與原函數圖象的對稱關系的應用.解：由題意知P(1，2)在其反函數的圖象上，根據互為反函數的函數圖象關于y=x對稱的性質，Ｐ′(2，1)也在函
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