以函數(shù)為載體的不等式考題例析(編輯修改稿)
2025-04-20 06:40 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 004年全國(guó)高考江蘇卷)已知函數(shù)(xR)滿足下列條件：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，x都有( x－x)≤( x－x)[－]和|－|≤| x－x|，其中是大于0的常數(shù)．設(shè)實(shí)數(shù)a，a，b滿足= 0和b = a－．⑴證明：≤1，并且不存在b≠a，使得= 0；⑵證明：(b－a)≤(1－)(a－a)；⑶證明：[]≤(1－)[]．證明：⑴任取x，xR，x≠x，則由( x－x)≤( x－x)[－] ① 和|－|≤| x－x| ②可知，( x－x)≤( x－x)[－]≤| x－x||－|≤| x－x|，從而≤1．假設(shè)有b≠a，使得= 0，則由①式知0＜( a－b)≤( a－b)[－] = 0，矛盾．∴不存在b≠a，使得= 0．⑵由b = a－，③ 可知(b－a)= [a－a－]= (a－a)－(a－a)＋[]．④由= 0和①式，得(a－a)= (a－a)[－]≥(a－a)．⑤由= 0和②式知，[]= [－]≤(a－a)．⑥則將⑤、⑥代入④，得(b－a)≤(a－a)－(a－a)＋(a－a)= (1－)(a－a)．⑶由③式，可知[]= [－＋]= [－]＋2[－]＋
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