【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1)(111aaaaaanhnnnnnnn，由式 ()nhn?? ?????所以 時(shí)該系統(tǒng)穩(wěn)定， 時(shí)該系統(tǒng)不穩(wěn)定。 1?a 1?a)1()( ???? nuanh n穩(wěn)定性 63 copyright169。趙越 線性常系數(shù)差分方程 ? 線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用 線性常系數(shù)差分方程 來描述。 ? 描述 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 的方程是 微分方程 。對(duì)于 離散時(shí)間系統(tǒng) ，由于它的變量 n是離散整型變量，所以只能用 差分方程 加以描述。 64 copyright169。趙越 引入 單位延遲算子 ，即 于是 D )1()( ?? nynDy)()1()()()1()()(nyDnDynynynyny????????)1()()( ???? nynyny 差分方程 是由 函數(shù)序列的差分 來表示的。一個(gè)函數(shù)序列的一階向后差分表示為 )2()1(2)()]1()([)(2??????????nynynynynyny二階向后差分表示為 D??? 1因此有 65 copyright169。趙越 二階向后差分可用 表示 ?)2()1(2)()()21()()1()( 222???????????nynynynyDDnyDny類似的， 階差分表示為 k)()1()( nyDny kk ???因此按二項(xiàng)式定理將 展開后，便可得到 階差分的表示式。 kkD )1( ?66 copyright169。趙越 這就是一個(gè)二階線性常系數(shù)差分方程。 將 代入上式，得到 D??? 102)()1()()1( 2 ????? nyDnyD 差分方程的 階數(shù) 等于未知序列變量最高序號(hào)與最低序號(hào)之差。 02)()(2 ????? nyny 差分方程 是描述函數(shù)序列差分之間關(guān)系的方程 。 例如，對(duì)于一個(gè)二階差分方程 01)2(21)1(23)( ?????? nynyny展開后得 67 copyright169。趙越 ? ?? ????NkMrrk rnxbknya0 0)()(?????????MrrNkk rnxabknyaany0 01 0)()()(上式說明，系統(tǒng)在某時(shí)刻 的輸出值 不僅與該時(shí)刻的輸入 、過去時(shí)刻的輸入 ， 等有關(guān)，還與過去時(shí)刻的輸出值 ， 等有關(guān)。 )(nx)(nyn)1( ?nx )2( ?nx)1( ?ny )2( ?ny線性常系數(shù)差分方程的一般形式為 方程稍加變換得： 68 copyright169。趙越 ? 在離散時(shí)間系統(tǒng)中，基本運(yùn)算關(guān)系是 延時(shí)（移位）、 乘系數(shù) 和 相加 ，其基本單元是延遲器、乘法器和加法器。其符號(hào)如下圖所示。 69 copyright169。趙越 ??nx ? ?1?nx延遲器 ??ny??nx ? ? ? ?nynx ? ??nx ? ?naya??nx ? ? ? ?nynx ???ny延遲器、乘法器和加法器示意圖 70 copyright169。趙越 例 ：離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖，寫出描述該系統(tǒng)的差分方程。 ??nx ??nya 延遲器 ? ? ? ? ? ?nxnayny ??? 1解：由圖知 ? ? ? ? ? ?nxnayny ??? 1則 71 copyright169。趙越 線性常系數(shù)差分方程的求解 已知系統(tǒng)的輸入序列 ， 通過求解差分方程可以求出輸出序列 。 求解差分方程的基本方法 經(jīng)典解法 與微分方程求解很類似 ， 由 通解 與 特解 組成差分方程的 完全解 。 遞推解法 適用于系統(tǒng) 階數(shù)不高 且激勵(lì) 比較簡(jiǎn)單的情況 。 變換域方法 － 利用 Z變換 72 copyright169。趙越 例： 設(shè)系統(tǒng)用差分方程 y(n)=ay(n1)+x(n)描述 ，輸入序列 x(n)=δ(n) ， 求輸出序列 y(n)。 解 ：該系統(tǒng)差分方程是一階差分方程 ， 需要一個(gè)初始條件 。 ?????????MrrNkk rnxabknyaany0 01 0)()()( 上式表明，已知 輸入序列 和 N個(gè)初始條件 ，則可以求出 n時(shí)刻的輸出 ；如果將該公式中的 n用 n+1代替，可以求出 n+1時(shí)刻的輸出，因此上式表示的差分方程本身就是一個(gè)適合 遞推法 求解的方程。 73 copyright169。趙越 y(n)=ay(n1)+x(n) n=0時(shí) ， y(0)=ay(1)+δ(0)=1 設(shè)初始條件 y(1)=0 n=1時(shí) ， y(1)=ay(0)+δ(1)=a n=2時(shí) ， y(2)=ay(1)+δ(2)=a2 … n=n時(shí) ， y(n)=an 所以 ， y(n)=anu(n) 74 copyright169。趙越 設(shè)初始條件 y(1)=1 n=0時(shí) ， y(0)=ay(1)+δ(0)=1+a n=1時(shí) ， y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)a n=2時(shí) ， y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2 … n=n時(shí) ， y(n)=(1+a)an 所以 ， y(n)=(1+a)anu(n) 75 copyright169。趙越 但對(duì)于差分方程 ， 其本身也可以向 n0的方向遞推 ， 得到的是非因果解 。 該例表明， 對(duì)于同一個(gè)差分方程和同一個(gè)輸入信號(hào)，因?yàn)槌跏紬l件不同，得到的輸出信號(hào)是不相同的 對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)，用遞推解法求解，總是由初始條件向 n0的方向遞推，是一個(gè)因果解。 因此 差分方程本身并不能確定該系統(tǒng)是因果還是非因果系統(tǒng) ， 還需要用初始條件進(jìn)行限制 。 76 copyright169。趙越 離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng) 的頻域描述 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換 信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法有兩種： 時(shí)域 分析方法 頻率 分析方法 77 copyright169。趙越 在 離散系統(tǒng) 中： 信號(hào)用序列表示， 其自變量?jī)H 取整數(shù)， 非整數(shù)時(shí)無定義， 系統(tǒng)則用 差分方程 描述。 頻域分析是用 Z變換 或 傅里葉變換 。 在 模擬系統(tǒng) 中： 信號(hào)一般用連續(xù)變量時(shí)間 t的函數(shù)表示， 系統(tǒng)則用 微分方程 描述。 用 拉普拉斯變換 和 傅里葉變換 將時(shí)間 域數(shù)轉(zhuǎn)換到頻率域。 78 copyright169。趙越 傅里葉變換 ： 建立以時(shí)間 t為自變量的 “ 信號(hào) ” 與以頻率 f為自變量的 “ 頻率函數(shù) ” (頻譜 )之間的某種變換關(guān)系。 所以 “ 時(shí)間 ” 或 “ 頻率 ” 取連續(xù)還是離散值 ,就形成各種不同形式的 傅里葉變換對(duì) 。 79 copyright169。趙越 傅里葉變換定義為 傅里葉反變換定義為 式中， 表示角頻率。 ? ???? ???? dtetfjF tj)()(? ???? ? ??? dejFtf tj)(2 1)( ??)(tf連續(xù) 時(shí)間信號(hào) 80 copyright169。趙越 傅里葉變換定義為 傅里葉反變換定義為 ????????nnjj enxeX ?? )()(??? ?? ?? ?? deeXnx njj )(2 1)()(nx離散時(shí)間信號(hào) 81 copyright169。趙越 通常將以下一對(duì)公式合稱為離散時(shí)間信號(hào)的 傅里葉變換對(duì)： 在物理意義上， 表示序列 的頻譜 ， 為數(shù)字域頻率。 )( ?jeX )(nx?????????nnjj enxeX ?? )()(??? ?? ?? ?? deeXnx njj )(2 1)(82 copyright169。趙越 ??? ?? ?? ?? deeXnx njj )(2 1)(上式實(shí)際是將序列 展開成復(fù)指數(shù)序列的 加權(quán)和的形式， 則是不同頻率的復(fù)指數(shù)序列的幅度。 )( ?jeX)(nx因此， 表示序列的 頻譜 。 )(?jeX83 copyright169。趙越 )()()( ??? jIjRj ejXeXeX ??? ? 2122 )()()()( ???? jIjRj eXeXeXX ??? 一般情況下， 是一個(gè)復(fù)量，可表示為 )( ?jeX? ? )()(a r g )()()( ???? ?? jeXjjj eXeeXeX j ??或用 幅度 和 相位 表示為 其中 )()()(???? jRjIeXeXar c t g?幅度譜 相位譜 84 copyright169。趙越 ? 由于 和 都是 的 周期函數(shù)，所以只需要去一個(gè)周期就足夠代表序列的頻譜，通常取為 或 。 )( ?jeX )(?? ? ?2)2,0[ ? ),[ ?? ???在 為實(shí)序列的情況下， 是 的偶函數(shù)， 是 的奇函數(shù)?；谶@種對(duì)稱性，在 范圍內(nèi)的幅度譜和相位譜就足以描述序列的頻譜。 )( ?jeX)(??)(nx ?? ),0[ ??可采用對(duì)數(shù)形式的幅度譜 ，單位是 。 dB)(lo g20 ?jeH)(??? 的單位是度或弧度，通常采用主值相位表示相位譜。 85 copyright169。趙越 例 ：矩形序列的頻譜， N=10。 86 copyright169。趙越 可看出 幅度譜 和 相位譜 以 為周期的特點(diǎn)。 ?287 copyright169。趙越 例 求下列信號(hào)的傅立葉變換 )10()()( ??? aanuanx n 為實(shí)數(shù)，且解： ????jnnjnnjnjaeaeeaeX??????????? ??11)()(00212 )c os21(1)(??aaeX j???? ? ??? c o s1 s i na r c t a n)(a r g aaeX j ???88 copyright169。趙越 89 copyright169。趙越 總結(jié) 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換具有以下兩個(gè) 特點(diǎn) : 是以 為周期的 的連續(xù)函數(shù)。 )( ?jeX ?2 ?可得出 )()( )2( ??? jj eXeX ??這是因?yàn)? ??? jj ee ?? )2( 當(dāng) 為實(shí)序列時(shí)， 的幅值 在 區(qū)間內(nèi)是 偶對(duì)稱函數(shù) ，相位 是 奇對(duì)稱函數(shù) 。 )(nx )( ?jeX )( ?jeX?? 20 ?? ? ?)(ar g ?jeX????????nnjj enxeX ?? )()(90 copyright169。趙越 ? DTFT成立的 充分條件 是序列 x(n)滿足 絕對(duì)可和 的條件 ， 即滿足下式： ()nxn?? ? ????? 部分序列不是絕對(duì)可和 ， 但也存在傅立葉變換 。 ????????nnjj enxeX ?? )()(? 有的序列不是絕對(duì)可和 ， 但卻是平方可和的序列 ，它的冪級(jí)數(shù)均方收斂 。 ?既不是絕對(duì)可和又不是平方可和的序列 ， 可以借助于沖激函數(shù)來定義 DTFT 。 91 copyright169。趙越 例 求下列信號(hào)的 DTFT )()( 00 ???? ???? njenx解： ????????????? ??nn