【文章內(nèi)容簡介】 Problem and Uniqueness Theorem 02 ?? ? 拉普拉斯方程 當 ? =0時 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 場域邊界條件 1）第一類邊界條件（狄里赫利條件， Dirichlet) 2）第二類邊界條件（諾依曼條件 Neumann) 3）第三類邊界條件 已知邊界上電位及電位法向?qū)?shù)的線性組合 已知邊界上導(dǎo)體的電位 )(| 1 sfs ??已知邊界上電位的法向?qū)?shù) (即電荷面密度 或 電力線 ) ?)(2 sfnS????)() 3 sfnS??? ??? ＋（ 下 頁 上 頁 返 回 邊值問題 （ Boundary Problem) 第 一 章 靜 電 場 邊值問題 邊值問題 微分方程 邊界條件 初始條件 場域邊界條件 分界面銜 接條件 強制邊界條件 有限值 ???lim0r自然邊界條件 有限值 ????rrlim泊松方程 ??? /2 ＝－?拉普拉斯方程 02 ＝??21 ??＝????? ?????? nn 2211下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 有限差分法 有限元法 邊界元法 矩量法 積分方程法 ??????積分法 分離變量法 鏡像法、電軸法 微分方程法 保角變換法 ??????計算法 實驗法 解析法 數(shù)值法 實測法 模擬法 邊 值 問 題 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 例 試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊界條件。 解： 根據(jù)場分布的對稱性確定計算場域，邊值問題 022222 ????????yx???（陰影區(qū)域） Ubxbybybx ??????? )0,0,( 及?0)0,0,( 222 ????? yxayx?0),0( ??? ??? aybxx? 0),0( ??? ??? axbyy?下 頁 上 頁 返 回 圖 纜心為正方形的 同軸電纜 第 一 章 靜 電 場 0)dd(dd1 22222 ??? rrrr ?? )( ??? ra通解 43221021 )( 16)( CrCrCrCrr ?????? ????例 試求體電荷產(chǎn)生的電位及電場。 解 ：采用球坐標系 ,分區(qū)域建立方程 邊界條件 arar ?? ? 21 ??arar rr ?? ????? 2010????有限值?? 01 r?參考電位 02 ???r?012212 )dd(dd1???? ????rrrr)( ar ?下 頁 上 頁 返 回 圖 體電荷分布的球體 第 一 章 靜 電 場 電場強度（球坐標梯度公式）： 11 )( ????rE??????????? rarar rr eerE 202222 3)( ????得到 ????????rarararrar03222013)(0)3(6)(??????圖 隨 r變化曲線 E，??? ??????? errr ?????????s i n11 eer＝arrr rr ??????? 0301 ee???下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 201. xdU?? A答案 :（ C ） 唯一性定理 （ Uniqueness Theorem) 例 圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？ 唯一性定理 ： 在靜電場中，滿足給定邊界條件的電位微分方程的解是唯一的。 002. UxdU ??? B003. UxdU ???? C下 頁 上 頁 返 回 圖 平板電容器外加電源 U0 第 一 章 靜 電 場 分離變量法 分離變量法采用正交坐標系，將變量分離后得到微分方程的通解， 當場域邊界與正交坐標面重合或平行時，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問題的解。 解題的一般步驟： Separation Variable Method 分離變量，將偏微分方程分離成幾個常微分方程； 解常微分方程，并疊加得到通解； 寫出邊值問題（微分方程和邊界條件）； 利用邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位的解。 下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 例 試求長直接地金屬槽內(nèi)電位的分布。 解 : 邊值問題 應(yīng)用實例 1. 直角坐標系中的分離變量法（二維場） xayxaxayayaxaxyayx????????s i n10 0000,0,0,00,022222????????????????????????（ D 域內(nèi)） 下 頁 上 頁 返 回 圖 接地金屬槽的截面 y xa?? s in1 00?第 一 章 靜 電 場 分離變量 )()(),(21 yxyx ??? ???? －?2 222 dd1y，????2 121 dd1x設(shè) ? 分離常數(shù) , 有和＝ , 0 0 ,0 22 ????? nn kk ???0dd1dd122222121??yx????代入微分方程， 0dd10dd122222121??yx????2222222121dd1dd1nnkykx???????2222222122dd1dd1nnkykx???????下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 ))s h (39。)c h (39。))(s i n (39。)c os (39。())s i n ()c os ())(s h ()c h ((11ykDykCxkBxkAykDykCxkBxkAnnnnnnnnnnnnnnnnnn????????????代入邊界條件，確定積分常數(shù) ),3,2,1( π ????? nank n 0 0 軸) 0 ?? Aya ?0 0 0) 0 ???? nCCxb ，軸 ?00 ?B 0) ?? ?axc)πs h ()πs i n (39。),(1yanxanFyxnn?????))(()()( 000021 yDCxBAyx ???? ???通解 ))s h (39。)c h (39。)(s i n (1ykDykCxk nnnnnn?? ???? 沿 x方向作正弦變化， 0???? nnn ABA下 頁 上 頁 返 回 圖 雙曲函數(shù) 第 一 章 靜 電 場 ayd ?) )πs in (1 0 0 ax??)πs i n ()π(sh39。)πs i n (1 0 01xannFa xnn ?? ???比較系數(shù) 當 時， 1?n 039。?nF)πs h ()πs i n (sh π100),( yaxayx ?? ?當 時， 1?n 100sh π39。1 ?Fsh π10039。1 ?F)πs h ()πs i n (39。),(1yanxanFyxnn????? ?下 頁 上 頁 返 回 第 一 章 靜 電 場 若金屬槽蓋電位 ，再求槽內(nèi)電位分布 0U＝?通解 )π(sh)πs i n),1yanxanFyxnn （（ ??????)πs i n ()πs i n ()π(sh110 xanExannFUnnnn ????????＝等式兩端同乘以 ，然后從 積分 xam πsina?0( 1 ) d)πs i n ()πs i n (d)πs i n (1 000 xxamxanExxamUnana ? ?? ???左式 ??? )πc o s1(π 0 mmaU1 ,3 ,5 ,. .. π20 ,2 ,4 ,. .. 00 ??mmaUm當 時， 0U＝?ay ?下 頁 上 頁 返 回 討論： 第 一 章 靜 電 場 右式 ＝ nmEaxxanEnmnn ???? 2d)π(s in 02a0代入式 （ 1） )πs h (39。22π2 0 nFaEamaU nn ??代入通解，得到電位的定解為： )πs h ()πs i n (πsh 1π4),(10 yanxannnUyxn?????n＝奇數(shù) 1 ,3 ,5 ,. .. ππ s h439。 0 ??? nmnn UF n下 頁 上 頁 返 回 圖 接地金屬槽內(nèi) 的等位線分布 第 一 章 靜 電 場 第 一 章 靜 電 場 例 求 導(dǎo)體槽內(nèi)的電位。槽的寬度在 x和 z 方向都為無窮大，槽由兩塊 T形的導(dǎo) 體構(gòu)成，兩塊間有一狹縫，外加恒定 電壓 U0 第 一 章 靜 電 場 鏡像法與電軸法 鏡像法 （ Image Method) Image Method and Electric Axis Method 下 頁 上 頁 返 回 思 路： 1. 用假想的鏡像電荷代替邊界上的感應(yīng)電荷。 2. 保持求解區(qū)域中場方程和邊界條件不變。 3. 使用范圍：界面幾何形狀較規(guī)范，電荷個數(shù)有限，且離散分布于有限區(qū)域。 解題步驟： 1. 確定鏡像電荷的大小和位置 (關(guān)鍵 )。 2. 去掉界面，按原電荷和鏡像電荷求解所求區(qū)域場。 第 一 章 靜 電 場 1. 平面鏡像法 (點電荷與無限大的導(dǎo)體平面 ) 圖 平面導(dǎo)體的鏡像 方程相同，邊界條件相同，解惟一。 下 頁 上 頁 返 回 0π4π400??? rqrq ??? 1）大?。弘姾闪肯嗟龋瑯O性相反； 2） 位置：關(guān)于 x軸對稱。 注意適用區(qū)域！ 步驟一：確定鏡像電荷的大小和位置 第 一 章 靜 電 場 步驟二：去掉界面，按原電荷和鏡像電荷求解所求區(qū)域場。 上半平面空間的場強為：原電荷 (q)和鏡像電荷 (q)的共同 所用的結(jié)果 無限大接地導(dǎo)體平面上方的點電荷 q 用鏡像電荷 (q)代替導(dǎo)體平面上方的感應(yīng)電荷 第 一 章 靜 電 場 球面導(dǎo)體的鏡像 (點電荷與導(dǎo)體球 ) 點電荷位于接地導(dǎo)體球外的邊值問題 （ 除 q點外的空間 ) 002?????? 球面???r0 1 0 239。 04 π 4 πpqqrr? ??? ? ???c os2c os222222221RbRbrRdRdr?????? 設(shè)鏡像電荷 如圖，球面電位 39。q下 頁 上 頁 返 回 圖 點電荷對接地導(dǎo)體球的鏡像 第 一 章 靜 電 場 0c o s)39。(2)](39。)([ 22222222 ?????? ?bqdqRRdqRbq將 r1, r2 代入方程