【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 t≥0+的全響應(yīng) )0(,58)( 5221 ??? ??????? ??? teAeAti tt,514)0( ??i 2)0( ??? ?i51458)0(21 ????? AAi252)0( 21 ?????? ? AAi,341 ?A 1522 ??A系統(tǒng) t≥0+時(shí)的全響應(yīng)為： A5815234)( 52 ?????? ??? ?? tt eeti )0( ??t求待定系數(shù) 初始條件代入 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS —— 利用 沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)平衡匹配法 求 0+狀態(tài) 設(shè)某系統(tǒng)地微分方程如下，給定初始狀態(tài)為 r(0)，確定它的0+狀態(tài) r(0+)。 由方程兩端平衡 , 得知 必包含 dttdr )( )(3 t??)(3 t?推出 r(t)含 t=0時(shí)， r(t)含有 9△ u(t) 注意： △ u(t)表示 0到 0+相對(duì)單位跳變函數(shù)！ 因而有 r(0+)r(0)=9 根據(jù)上述過程則可得到?jīng)_激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)平衡匹配方法！ 起始點(diǎn)的跳變 )(3)(3)( ttrdt tdr ? ???)(9 t?? 含 和 dttdr )( )(3 t?? ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點(diǎn)的跳變 將上兩式代入原方程得 )(3)]()([3)]()()([ ttubtatuctbta ???? ????????? 可以設(shè) )()()()( tuctbtadttdr ????? ?? （ 2） )()()( tubtatr ??? ?兩邊積分得 （ 3） 利用沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)平衡匹配法 求 0+狀態(tài) : )(3)(3)( ttrdt tdr ? ??? （ 1） 原方程 由方程兩端平衡得 ??????????03033bcaba?????????2793cba ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點(diǎn)的跳變 將 a,b,c的值代入方程（ 2），并在區(qū)間 [0,0+]進(jìn)行積分 )0(9)0( ?? ??? rr所求的初始條件（ 0+狀態(tài)）為 dttudttdttdttr )(27)(9)(3)( 00000000 ?????? ???? ???????? ??9)0()0( ???? ?? brr上述即為沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)平衡匹配法求 0+狀態(tài)的步驟 ! )()()()( tuctbtadt tdr ????? ??（ 2） ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點(diǎn)的跳變 例 7： 某 LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)方程為 )(2)()()(2)( tftftytyty ?????????),()(,1)0(,1)0( ttfyy ?????? ??已知 ).0(),0( ?? ?yy求 解 : 將輸入 f(t)代入微分方程 ,得 )(2)()()(2)( tttytyty ?? ????????? （ 1） 因?yàn)椋?1）式對(duì)所有的 t 成立，故方程左右兩端沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)應(yīng)分別相等。 設(shè) )()()()()( tudtctbtaty ?????????? ??? （ 2） 對(duì)（ 2）式等號(hào)兩端積分，得 )()()()( tuctbtaty ?????? ?? （ 3） ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點(diǎn)的跳變 對(duì)（ 3）式等號(hào)兩端從 到 t 積分，得 ??)()()( tubtaty ??? ? （ 4） 將（ 2）、（ 3）、（ 4）式代入到微分方程，得 )]()()([2)()()()( tuctbtatudtctbta ??????????? ?????)(2)()()( tttubta ??? ???????上式中等號(hào)兩端沖激函數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)應(yīng)分別對(duì)應(yīng)相等 ????????????????0222021bcdabcaba故可求得 ????????????8521dcba ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點(diǎn)的跳變 將 a,b,c,d的值代入方程（ 2），并對(duì)等號(hào)兩端從 0到 0+進(jìn)行積分，有 dttdttdttyy )(5)(2)()0()0( 000000 ??? ??? ???????? ?????????dttu )(8 00 ?? ? ??5)0()0( ????? ?? cyy4)0(5)0( ????? ?? yy將 a,b,c的值代入方程（ 3），并對(duì)等號(hào)兩端從 0到 0+進(jìn)行積分，有 dttudttdttyy )(5)(2)()0()0( 000000 ?????? ??? ???????? ?? ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點(diǎn)的跳變 dttudttdttyy )(5)(2)()0()0( 000000 ?????? ??? ???????? ??2)0()0( ???? ?? byy12)0()0( ???? ?? yy 由此可見，當(dāng)微分方程等號(hào)右端含有沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)及各階導(dǎo)數(shù)從 0到 0+的瞬間 將發(fā)生 躍變 。 上述方法是根據(jù)微分方程等號(hào)兩端各個(gè)奇異函數(shù)的系數(shù)相等的原理。 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 系統(tǒng)響應(yīng)的類型 : 自由響應(yīng) : 也叫固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定的，和 外加激勵(lì)形式無關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。 強(qiáng)迫響應(yīng) : 形式取決于外加激勵(lì)，對(duì)應(yīng)于特解。 完全響應(yīng) =自由響應(yīng) +強(qiáng)迫響應(yīng) 從微分方程經(jīng)典法求解規(guī)律考慮 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 系統(tǒng)響應(yīng)的類型 : 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 暫態(tài)響應(yīng) : 是指激勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi)，完全響應(yīng)中 暫時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時(shí)間 t 增加，它 將消失。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) : 由完全響應(yīng)中減去暫態(tài)響應(yīng)分量即得穩(wěn)態(tài)響 應(yīng)分量。 完全響應(yīng) =暫態(tài)響應(yīng) +穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 從時(shí)間趨于無窮大的狀態(tài)考慮 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng) ： 是指輸入信號(hào)為 0，僅有系統(tǒng)的 初始狀 態(tài) （起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）作用于系統(tǒng) 而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。 零狀態(tài)響應(yīng) ： 是指系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 0（不考慮起 始時(shí)刻系統(tǒng)的儲(chǔ)能作用），由 外部激 勵(lì)作用于系統(tǒng)而產(chǎn)生的輸出響應(yīng) 。 完全響應(yīng) =零輸入響應(yīng) +零狀態(tài)響應(yīng) 從區(qū)分初始儲(chǔ)能和激勵(lì)作用考慮 系統(tǒng)響應(yīng)的類型： ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) ()ziyt)0()( ?ky 零輸入響應(yīng) ：當(dāng)激勵(lì)信號(hào) x(t) = 0時(shí)，由起始狀態(tài) 所產(chǎn)生的響應(yīng)。 —— 零輸入響應(yīng)的求解 由于激勵(lì)信號(hào) x(t) = 0，所以系統(tǒng)的起始時(shí)刻不會(huì)產(chǎn)生跳變，所以 。 )0()0( )()( ?? ? kk yy 零輸入響應(yīng)為自由響應(yīng)的形式， 即 1() kntz i z i kky t A e ??? ?其中系數(shù) Azik由 起始條件 來確定。 )0()( ?ky齊次解的一部分 ( ) ( ) ( )zi zsy t y t y t??完全響應(yīng) ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng) ：當(dāng)起始狀態(tài) 時(shí)，由激勵(lì) 信號(hào) x(t) 所產(chǎn)生的響應(yīng)。 0)0()( ??ky)(tyzs零狀態(tài)響應(yīng)的形式為 ： 1( ) ( )kntz s z s k pky t A e y t?????其中，系數(shù) Azsk由跳變量 來確定。 )0()0()0( )()()( ??? ?? kkkzs yyy—— 零狀態(tài)響應(yīng)的求解 自由響應(yīng)的一部分 對(duì)應(yīng)微分方程的齊次解 強(qiáng)迫響應(yīng) 特解 ( ) ( ) ( )zi zsy t y t y t??完全響應(yīng) 求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)主要有兩種方法： 經(jīng)典法和卷積法 111( ) ( )) ( )kkknnttz ik z s k pkkntz ik z s k pky t A e A e y tA A e y t??????? ? ?? ? ????零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)（ ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 根據(jù)前面分析，可以寫出系統(tǒng)完全響應(yīng)的表達(dá)式 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 例 7：已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程 0),()(6)(5)( ??????? ttftytyty初始狀態(tài) 輸入信號(hào) 2)0(,1)0( ????? yy )()( tuetf t??求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。 經(jīng)典法求解零輸入響應(yīng) 0652 ??? ??解： 特征方程 3,2 21 ???? ??特征根 ??? ??? 0,)( 3221 teAeAty ttzi零輸入響應(yīng) 將初始條件代入，得 1)0( 21 ???? AAy zi232)0( 21 ????? ? AAy zi5,1 ?A 42 ??A零輸入響應(yīng)為 ??? ??? 0,45)( 32 teety ttzi ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) （ 1） 由 方程右端為零 構(gòu)成的齊次方程而定，即 由齊次方程的特征方程 求出特征根，再 列出解 。 （ 2） 由系統(tǒng)的初始 0條件（ 系統(tǒng)沒有加外部激勵(lì)時(shí)的原有狀態(tài) ），確定其待定系數(shù)。 注 ： 由于激勵(lì)信號(hào) x(t) = 0，所以 系統(tǒng)的起始時(shí)刻不會(huì)產(chǎn)生跳變， 所以 。 )0()0( )()(?? ? kk yy—— 零輸入響應(yīng)的求解步驟