信號與系統(tǒng)講義教案第5章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復頻域分析(編輯修改稿)
2025-07-04 15:11 本頁面
【文章內容簡介】 在 S 平面的分布與終值的關系:第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復頻域分析 13圖 極點在 S平面的分布與終值的關系 常用雙邊拉普拉斯變換對表 5. 1 常用雙邊拉普拉斯變換對信號 變換 ROC 信號 變換 ROC1 全部 S全部 S14 信號與系統(tǒng)全部 S 雙邊拉普拉斯變換反變換一、拉氏變換反變換的定義由 ，若 在 ROC 內，則：dtexsXs????)()( ??j?? 所以： 從而： 由 ，得 當 從 時, s 從 ，??js??jdws????????jj??所以： 第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復頻域分析 15 ()拉氏反變換表明： 可以被分解成復振幅為 的復指數(shù)信號 的線性組合。)(txdsXj)(21?ste二、拉氏反變換的求法對有理函數(shù)形式的 求反變換一般有兩種方法，即部分分式展開法和留數(shù)法。我)(sX們這里只介紹最常用的部分分式法。具體如下：將 展開為部分分式； )(s根據(jù) 的 ROC ，確定每一項的 ROC ； 利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質對每一項進行反變換。例 已知 ， ，求其反變換。)2(1)(??ssX1]Re[2:??sOC解： 所以： 16 信號與系統(tǒng) 連續(xù)時間 LTI 系統(tǒng)的復 頻域分析 系統(tǒng)函數(shù)以卷積特性為基礎，可以建立 LTI 系統(tǒng)的拉氏變換分析方法，即 ()其中 是 的拉氏變換，稱為系統(tǒng)函數(shù)或轉移函數(shù)。)(sHth如果 的 ROC 包括 軸，則 和 的 ROC 必定包括 軸，以 代Y?j)(sXH?jjs?入，即有 ()這就是 LTI 系統(tǒng)的傅里葉分析。 即是系統(tǒng)的頻率響應。)(j這些方法之所以成立的本質原因在于復指數(shù)函數(shù)是一 LTI 系統(tǒng)的特征函數(shù)。當以為基底分解信號時，LTI 系統(tǒng)對輸入信號的響應就是 ，而以 為基底tje? )(?jHXste分解信號時，系統(tǒng)的輸出響應就是 。 連同相應的 ROC 也能完全描述一個)(sHXLTI 系統(tǒng)。系統(tǒng)的許多重要特性在 及其 ROC 中一定有具體的體現(xiàn)。 系統(tǒng)函數(shù)與線性常系數(shù)微分方程相當廣泛的可實現(xiàn)的連續(xù)時間 LTI 系統(tǒng)，都可以用零初始條件的線性常系數(shù)微分方程來表示，其一般形式為第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復頻域分析 17對其等式兩邊同時進行拉氏變換，可得 () 是一個有理函數(shù)。 的 ROC 需要由系統(tǒng)的相關特性來確定。)(sH)(sH在系統(tǒng)分析中，系統(tǒng)函數(shù)起著相當重要的作用，借助于系統(tǒng)函數(shù)來表征 LTI 系統(tǒng)，可以簡明直觀地確定系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。因果性 如果 時 ，則系統(tǒng)是因果的；如果 時 ，則系統(tǒng)是反因果的。0?t)(?th0?t)(?th因此，因果系統(tǒng)的 是右邊信號，其 的 ROC 必是最右邊極點的右邊。反因果系統(tǒng))(sH的 是左邊信號， 的 ROC 必是最左邊極點的左邊。)(t)(s應該強調指出，由 ROC 的特征，反過來并不能判定系統(tǒng)是否因果。 ROC 是最右邊極點的右邊并不一定系統(tǒng)因果。只有當 是有理函數(shù)時，逆命題才成立。)(s穩(wěn)定性如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則必有 因此 必存在。意味著 的 ROC 必然包括 軸。)(?jH)(sH?j綜合以上兩點，可以得到：因果穩(wěn)定系統(tǒng)的 ，其全部極點必須位于 S 平面的左)(s半邊。18 信號與系統(tǒng)例 某系統(tǒng)的單位沖激響應 ,已知該系統(tǒng)是因果的。2()()()ttheu????, 顯然 ROC 是最右邊極點的右邊。因為 ROC 包括 軸，系統(tǒng)也是穩(wěn)定的, 的全部極點都在 S 平面的左半邊。?j )(sH例 有某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 的 ROC 是最右邊極點的右邊，但 是非有理函數(shù), ，系統(tǒng)是)(sH)(s(1)theu???非因果的。由于 ROC 包括 軸，該系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。?j 對 (),Re[]1sH????仍是非有理函數(shù)，ROC 是最右邊極點的右邊，但 ，系統(tǒng)顯然是)(sH (1)theu??因果的。結論： 如果一個 LTI 系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且全部極點位于 S 平面的左半邊，則該系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。如果 LTI 系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且系統(tǒng)因果，則系統(tǒng)函數(shù)的 ROC 是最右邊極點的右邊。若系統(tǒng)反因果，則系統(tǒng)函數(shù)的 ROC 是最左邊極點的左邊。如果 LTI 系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)函數(shù)的 ROC 必然包括 軸。?j例 求由下列微分方程描述的因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及收斂域 解：由方程可得第 5 章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復頻域分析 193221()1()46[]ssH??????因系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，故 ]Re[:?sOC 系統(tǒng)函數(shù)零極點圖與頻率響應的幾何求值可以用零極點圖表征 的特征。當 ROC 包括 軸時,以 代入即可得到)(sX?jjs?。以此為基礎可以用幾何求值的方法從零極點圖求得 的特性。這在定性分)(?jX )(X析系統(tǒng)頻率特性時有很大用處。 單零點情況： 零點as??)(s?要求出 時的 ，可以作兩個矢量 ，如圖所示，則 。1s1Xa??和1 1()sa????矢量 稱為零點矢量，它的長度 表示 ，其幅角即為 。)(1Xs1|)(|1sX1()XA
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