【文章內(nèi)容簡介】 的極限不為零時 )在 x → x0 (或 x →∞ )時也存在極限 ， 且 ， )(l i m)(l i m)]()(l i m [)1( xgxfxgxf ???, )(l i m)(l i m)]()(l i m [)2( xgxfxgxf ???).0)((l i m,)(l i m )(l i m)( )(l i m)3( ?? xgxg xfxg xf(1) 由定理 3 有 .)(l i m )(l i m00BxgAxf xxxx ?? ?? ，設(shè) f ( x ) = A ?a ( x ) 和 g ( x ) = B ? b ( x )， 其中 a ( x ) 和 b ( x ) 均為無窮小量 . 于是 f ( x ) ? g ( x ) = ( A ? B ) ? [a ( x ) ? b ( x ) ]， 其中 A ? B 為常數(shù) , a ( x ) ? b ( x ) 仍為無窮小量， 故由無窮小量的定理 3 可推得 lim [ f ( x ) ? g ( x ) ] = A ? B = lim f ( x ) ? lim g ( x ) . 證 (2) 因為 f ( x ) g ( x ) = [A ? a ( x )][B ? b ( x )] = AB ? [Ab (x) ? Ba (x) ? a (x) b (x)]. 而由定理 5 的推論 1 和推論 2 可知 Ab (x), Ba(x)，a (x) b (x) 均為無窮小量 ， 所以由定理 3 可知 商的極限運算法則的證明從略 . lim [ f ( x ) ? g ( x )] = AB = lim f ( x ) ? lim g ( x ). 推論 1 常數(shù)可以提到極限號前 ， lim c f ( x ) = c lim f ( x ). 推論 2 若 lim f ( x ) = A，且 m 為正整數(shù) ， lim [ f ( x ) ]m = [lim f ( x ) ]m = Am . .)lim(lim 000mmxxmxx xxx ?? ??特殊地，有 則 即 解 運用定理 8 及其推論可得 : 7l i m8l i ml i m)78(l i m112121 ?????????xxxxxxxx).78(l i m 21 ??? xxx求例 1 .7limlim8)lim( 1121 ??? ??? xxx xx,77lim ,1lim 11 ?? ?? xx x由于一般地，有 .27181)78(l i m 221 ????????? xxx011 1 010 1 0 1 0 0l i m ( ).nnnnxxnnnna x a x a x aa x a x a x a?????? ? ? ?? ? ? ? ?因此 即多項式函數(shù)在 x0 處的極限等于該函數(shù)在 x0 處的函數(shù)值 . .462 134lim 221 ?????? xxxxx求 解 由例 1 知道當 x ? ?1 時所給函數(shù)的分子和分母的極限都存在 ， 且分母極限 .0124)1(6)1(2)462(lim 221 ???????????? xxx例 2 462134lim221 ?????? xxxxx )462(lim)134(lim2121?????????xxxxxx121)1(3)1(4 2 ?????.32128 ??所以 解 由于 345l i m221 ???? xxxx ,020)3(lim)45(lim2121 ?????????xxxxx為無窮小量，時即 3 451 22????xxxx.45 3l i m 221 ???? xxxx求例 3 ???? ?? 453l i m221 xxxx45322???xxx即 因此 ， 由無窮小量與無窮大量的關(guān)系可知 ， 當 x ? 1 時 為無窮大量， )2)(1()2)(1(l i m2 ?????? xxxxx223l i m222 ????? xxxxx11lim2 ???? xxx )1(lim)1(lim22?????xxxx1212??? .31?解 .2 23l i m 222 ????? xxxxx求例 4 有時 ， 所給函數(shù)在自變量的某個趨向下分子 、分母的極限都為零 ， . ”00“ 型極限人們常稱這類極限為這時不能直接應(yīng)用商的極限運算法則 . 例 5 若 an ? 0， bm ? 0， m、 n 為正整數(shù)，試證 01110111l i mbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnx ?????????????? ??????????,nmbamn ?，， nm ?0.nm ?? ， 有一類函數(shù)，當自變量趨于無窮大時，其分子、分母都趨于無窮大 . 這類極限稱為 型的極限， ”“??對于它們也不能直接應(yīng)用商的運算法則 . 證 當 x → ? 時，所給函數(shù)的分子分母都趨向于無窮大 . 若將原式變形為 01110111l i mbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnx ?????????????? ?????????????????????????????mmmmnnnnmnxxbxbxbbxaxaxaaxx111111l i m01110111????????, , nmbamn ?, ,0 nm ?. , nm ??.214lim 222 ???????????? xxxx計算 解 由于括號內(nèi)兩項的極限都是 無窮大 ， 因此人們常稱為 “ ? ? ?” 型極限 ， 不能直接應(yīng)用定理 8 . 一般的處理方法是先通分再運用前面介紹過的求極限的方法 . 42lim214lim 222222 ??????????????? ?? xxxxxxxx)2)(2()1)(2(l i m2 ?????? xxxxx. 4321lim2????? xxx例 6 返回本章目錄 六、兩個重要極限 .1s i nlim0?? xxx g( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) ， 且 lim g( x ) = lim h( x ) = A， lim f ( x ) = A. 定理 9 若對于 x ? N ( , d) 或 | x | M (M 0) 時 ， 0?x有 則 O x R A B C .1s i nl i m0?? xxx證明證 ?AOB 面積 扇形 AOB 面積 ? AOC 面積 , 即 ,tan22s i n2222xRxRxR ??得各式同除以正值 ,s i n22xR,c os1s i n1 xxx ??.1s i nc os ?? x xx即例 1 .1c osl i m 0 ?? xx下面我們來證明因為 ,11l i m,1c o sl i m0)c o s1(l i m 000???????xxxxx又因為可知，0lim 0 , 9x x? ?且 所 以 由 定 理 推 得 所以再次運用定理 9 即可得 .1s i nlim0?? xxx,2122s i n2s i n2 xxxx ?????≤ 2s i n2c os102 xx ??≤ xxxxxxx c os1s i nlimtanlim00????.1c os 1lims i nlim00????? xxxxx這個結(jié)果可以作為公式使用 1t anl i m0?? xxx解 .ta nl i m0 xxx ?例 2 計算 220202s i n2l i mc o s1l i mxxxxxx ????2022s i n21lim??????????????? xxx.2112122s i nlim21202????????????????? xxx解 .c os1l i m 20 xxx??計算例 3 這個結(jié)果可以作為公式使用 .21c o s1l i m 20??? xxx.3 5s i nlim0 xxx ?計算解 令 5x = u，當 x →0 時 u → 0 ， 因此有 uuxxux53s i nl i m35s i nl i m00 ??? . 35135s i nlim350????? uuu例 4 也可以按如下格式進行： xxxxxx5535s i nl i m35s i nl i m00????. 351355 5s i nl i m3505????? xxx.s i n3s i nl i m0 xxxx??計算xxxxxxxxs i n2c os2lims i n3s i nlim 00 ????xxxxxs i nlim2c oslim200 ?????.2112 ????例 5 解 定理 10 設(shè)函數(shù) u ( x )， v ( x ) 在 x0 的某個鄰域內(nèi) ( 或 | x | M， M 0 時 )， 滿足 u ( x ) ≤ v ( x ) 或