【正文】 xxf xx且 f (0) = 1， 即 f (x) 在 x = 0 處左 ， 右連續(xù) ， 所以它在 x = 0 處連續(xù) . . 0 0 c os 0 12)( 處連續(xù)在，，試證明 ????????? xxxxxxf≤ 連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì) 1 若函數(shù) f (x) 和 g (x) 均在 x0 處連續(xù) ， 則 f (x) + g (x) ， f (x) g (x)， f (x) g (x) 在該點(diǎn)亦均連續(xù) ， 又若 g(x0) ? 0， )()(xgxf則 在 x0 處也連續(xù) . 故由極限的運(yùn)算法則可得 ? ])()(lim0xgxfxx ?? )(lim)(lim00xgxf xxxx ?? ??， )()( 00 xgxf ??因此 f (x) g (x) 在 x0 處連續(xù) . 證 我們僅證明 f (x) g (x) 的情形 . 因?yàn)? f (x) ， g (x) 在 x0 處連續(xù)， 所以有 ， )()(lim )()(lim 0000xgxgxfxf xxxx ?? ?? 性質(zhì) 3 若函數(shù) y = f (x) 在某區(qū)間上單值 、 單調(diào)且連續(xù) ， 即它們同為遞增或同為遞減 . 則它的反函數(shù) x = f 1 ( y ) 在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上也單值 、 單調(diào)且連續(xù) ， 且它們的單調(diào)性相同 ， 性質(zhì) 4 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的 . 性質(zhì) 2 設(shè)函數(shù) y = f (u) 在 u0 處連續(xù) ， 函數(shù) u = ? (x) 在 x0 處連續(xù) ， 且 u0 = ? (x0) ， 則復(fù)合函數(shù) f [? (x)] 在 x0 處連續(xù) . 例 4 ).1,0)(a r c s i n ( l oglim ??? aaxaax求 解 因?yàn)? arcsin(logax) 是初等函數(shù) ， 且 x = a 為它的定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn) ， 所以有 .21ar c s i n)ar c s i n (l og)ar c s i n (l oglim ?????ax aaax例 5 .11lim0 xxx???求 應(yīng)當(dāng)先將該函數(shù)的分子有理化 ， 消去為零的因子 x， 再計(jì)算極限， 即 )11(l i m11l i m00 ??????? xxxxxxx.21101 111 1l i m0???????? xx. ,111l i m0為正整數(shù)其中有 nnx xnx????一般地， 解 這是一個(gè) 型的極限問題 .”00“例 6 ).2(lim 2 xxxx ?????計(jì)算解 )2(l i m 2 xxxx ?????xxxxxxxxxx 2)2)(2(lim222??????????xxxxxxx 24l i m222????????.21113lim ???????????xxx例 7 .tantanlim ax axax ???計(jì)算解 .c o ss i nc o ss i nl i mt a nt a nl i maxaaxxaxaxaxax ???????xaaxaxax c osc os)()s i n (lim????令 x – a ? t ，由 x ? a，則 t ? 0. .c os 1)c os (c os 1lim)c os (c os s i nlim 200 aataatatttt???????上式閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理 12 若函數(shù) y = f (x) 在閉區(qū)間 [a, b]上 連續(xù) , (2) 在 [a, b] 上至少存在一點(diǎn) x2， (1) 在 [a, b] 上至少存在一點(diǎn) x1， 使得對(duì)于任何 x ? [a, b]， 恒有 f (x1) ≥ f (x). 使得對(duì)于任何 x ? [a, b]， 恒有 f (x2) ≤ f (x). x1 x2 y = f (x) b a y x O 則 若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)， f (x1)， f (x2) 分別稱為函數(shù) y = f (x) 在區(qū)間 [a, b] 上的最大值和最小值 ， 定理 12 又稱最大值和最小值存在定理 . 如函數(shù) y = x2 在區(qū)間 (0, 1) 內(nèi)就無最大值和最小值 . 則它在該區(qū)間內(nèi)未必能取得最大值和最小值 ， 則它在 [a,b]內(nèi)取得介于其最小值和最大值之間的任何數(shù) . 定理 13 若 f (x) 在 [a, b] 上連續(xù) ， 推論 若 f (x) 在 [a, b] 上連續(xù) ， 且 f (a) f (b) 0， 推論 若函數(shù) y = f (x) 在閉區(qū)間上連續(xù) ， 則它在該區(qū)間上有界 . a b x y O y = f (x) 則至少存在一個(gè) c ? (a,b)，使得 f (c) = 0 . c 例 8 證明方程 x3 4x2 + 1 = 0 在 (0, 1) 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 . 證 設(shè) f (x) = x3 4x2 + 1， 由于它在 [0, 1] 上連續(xù)且 f (0) = 1 0， f (1) = 2 0， 因此由推論可知 ， 至少存在一點(diǎn) c ? (0, 1) ， 使得 f (c) = 0. 這表明所給方程在 (0, 1) 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 . 函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類 定義 設(shè)函數(shù) y = f (x) 在 x0 的一個(gè)鄰域有定義(在 x0 可以沒有定義 )， 則稱 x0 是函數(shù) y = f (x) 的 間斷點(diǎn) . 也稱函數(shù)在該點(diǎn)間斷 . 如果函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 處不連續(xù) ， 若 x0 為函數(shù) y = f (x) 的間斷點(diǎn) ， 則稱 x0 為 f (x) 的第一類間斷點(diǎn) . 即左 、 右極限都存在的間斷點(diǎn)為 第一類間斷點(diǎn) . . )(lim )(lim 00都存在和且xfxfxxxx???? 例 9 證明 x = 0 為函數(shù) 的第一類間斷點(diǎn) . 證 因?yàn)樵摵瘮?shù)在 x = 0 處沒有定義 , 所以 x = 0 是它的間斷點(diǎn)， 又因?yàn)? ，1lim||lim00??????? ?? xxxxxx.1lim||lim00??????? ?? xxxxxx所以 x = 0 為該函數(shù)的第一類間斷點(diǎn) . y x O || xxy ??() xfx x??例 10 證明函數(shù) ????????0,0,0,s i n)(xxxxxf 在 x = 0 處是第一類間斷點(diǎn) . 因此 x = 0 是該函數(shù)的第一類間斷點(diǎn) . 這類間斷點(diǎn)又稱為 可移去間斷點(diǎn) . 證 .1s i nlim0?? xxx因?yàn)榧丛摵瘮?shù)在 x = 0 處的左、右極限存在， ,0)0(1)(l i m 0 ???? fxfx但是由于 1 x y O ? 2? ? ? ? 2? ????????0,1,0,s i n)(xxxxxf因?yàn)?，如果修改定義 f (0) = 1， 所以 ， 左 、 右極限存在且相等的間斷點(diǎn)稱為可移去間斷點(diǎn) . 在 x = 0 連續(xù) . 則函數(shù) 1 x y O ? 2? ? ? ? 2? 若 x0 是函數(shù) y = f (x) 的間斷點(diǎn)， 且在該點(diǎn)至少有一個(gè)單側(cè)極限不存在 ， 則稱 x0 為 f (x) 的 第二類間斷點(diǎn) . , 0 1)( 處無定義在函數(shù) ?? xxxf故 x = 0 是該函數(shù)的間斷點(diǎn) . ，又因?yàn)? 1l i m0????? xx 即該函數(shù)在 x = 0 處的左、右極限都不存在， 所以 x = 0 是該函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) . ， 1l i m0????? xx例如， 例 11 證明 x = 1 是 的第二類間斷點(diǎn) . 113)( ?? xxf 證 所給函數(shù)在 x = 1 處沒有定義 ， 因此 x = 1 是它的間斷點(diǎn) ， 又因?yàn)? .3l i m ,03l i m 111111???? ???? ??xxxx因此 ， x = 1 為所給函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) ． 例 12 設(shè) 討論 f(x) 的連續(xù)性 . 21a r c t a n , 0 ( ) , 0 2xxfxx????? ??????，解 當(dāng) x ? 0 時(shí)， .1 ar c tan)( 2xxf ? 這個(gè)表達(dá)式由初等函數(shù)表示 ， 所以 f (x) 在 x ? 0 處是連續(xù)的， 又 ).0(21ar c tanlim)(lim 200fxxfxx??????得知 f (x) 在 x = 0 處連續(xù) . 故函數(shù) f (x) 在 (? ?， ? ?) 內(nèi)是連續(xù)的 . 返回本章目錄