[理學(xué)]01極限連續(xù)(編輯修改稿)
2025-09-17 15:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 從而。設(shè)，求常數(shù)。解: 。4設(shè)且在上連續(xù)，求。解: 由題設(shè)知在上可以取到最大值和最小值，即，故 ，故 若，則，故； 若，則，故； 而時(shí)，則情況很復(fù)雜，如 ，其中為常數(shù)。4設(shè)在的二階導(dǎo)數(shù)存在，且，而。(1)、求常數(shù)，使在處連續(xù)； (2)、求，并討論其連續(xù)性。解: 由公式，故 ，故(1)、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在處連續(xù)；(2)、當(dāng)時(shí)，有， ，故，且連續(xù)。4設(shè)在處附近具有二階導(dǎo)數(shù)，且，求。解: 由公式，故 。4設(shè)在上連續(xù)，則在任何有限閉區(qū)間上一致收斂。證明: 由題設(shè)知，又由于在上連續(xù)，故對任意的有限實(shí)數(shù)，在上一致連續(xù)，故，存在，使時(shí)，恒有 ，故 ， 故在一致收斂到。4求。解: 。4計(jì)算題(1)、求極限；解: 。(2)、設(shè)在處可導(dǎo)，是收斂于零的正項(xiàng)數(shù)列，求；解: 。(3)、設(shè)在上連續(xù)，且，積分與無關(guān)，而，求；解: 由題設(shè)知，即，取，則，故，即。(4)；解: 令，則，故；(5)、設(shè)，求；解: 令，則，有，故，即，故 ；4設(shè)不超過的最大整數(shù)，求。解: ，存在自然數(shù)及非負(fù)小數(shù)，使，故。4設(shè)，求的值；解：令，則由題設(shè)知，故 ；4若，求常數(shù)的值； 解: 由于，故；50、設(shè)，且，有，問是否收斂；若收斂，求。解: 由題設(shè)知，有，且若存在，則滿足，即，故。又， 及，故當(dāng)時(shí)，有，即單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，有，即單調(diào)遞減；從而由單調(diào)有界原理知收斂，且。5設(shè)，求。解: 由于及，故，從而。5設(shè)為常數(shù)，求下列極限(1)；解: 令，則，即，故；(2)；解: 令，則時(shí)，即，故；(3)；解: 令，則，故；(4)；解: 令，則，故；(5)、。解: 。(6)、設(shè)為自然數(shù)，則；(7)、設(shè)，則；5設(shè)為常數(shù)，按時(shí)的無窮小量的階排序。解: 由于，且，而，有，故，即。5設(shè)為常數(shù)，且及，而，求(1)、及； (2)； (3)、。解: 由于，故，從而 ， ， 。5設(shè)，而，則，且。解: 令，則，有，故 ，即在上單調(diào)遞減， 故，即，故 ，故。5設(shè)有界，且及，有，則收斂。解: 由題設(shè)知，存在有限實(shí)數(shù)，使，有 ，故由單調(diào)有界原理知存在， ，故由單調(diào)有界原理知也存在， 且，還有，令，則有，故，從而收斂。5設(shè)在上連續(xù)，且對任意的整數(shù)，有，則有無窮多個(gè)實(shí)根。解: 假設(shè)只有有限個(gè)根，則存在函數(shù)連續(xù)，使，有，且 ，由于連續(xù)函數(shù)，故一定不變號，從而 由積分中值定理知，存在，使 ，而，故 ， 令，則 ，這與題設(shè)矛盾，5設(shè)為常數(shù)，則對任意自然數(shù)時(shí)
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