【正文】 x ， sin x， tan x， 1 cos x， ln(1 + x) 等都是無(wú)窮小量 . ,1s i nl i m0?? xxx,1t a nl i m0?? xxx,121c o s1lim20???xxx.1)1l n (lim0??? xxx所以，當(dāng) x → 0 時(shí)， x 與 sin x， x 與 tan x， 都是等價(jià)無(wú)窮小量， ),c os1(21 2 xx ?與x ~ sin x， x ~ tan x， ln(1 + x) ~ x. ,2~c o s12xx?即 x 與 ln(1 + x ) 并且 定義 設(shè) a ( x ) 和 b (x ) 為 x → x0 (或 x → ?) 時(shí)的無(wú)窮小量 ， 0)( )(l i m ?xxba則稱(chēng)當(dāng) x → x0 (或 x → ?)時(shí) ， a ( x ) 是 b ( x ) 的 高階無(wú)窮小量 ， 例如， x2, sin x 都是 x → 0 時(shí)的無(wú)窮小量 , 且 ， 0s i nl i m20?? xxx所以 ， 當(dāng) x → 0 時(shí) ， x2 是 sin x 的高階無(wú)窮小量 ，即 x2 = o(sin x). 或稱(chēng) b ( x ) 是 a ( x ) 的 低階無(wú)窮小量 ， 記為 a ( x ) = o (b ( x )) . 若它們的比的極限為零 ， 即 定理 7 設(shè) a ( x ) ~ a1( x )， b ( x ) ~ b1( x )， )()(lim)()(lim11xxxxbaba ? . )()(l i m ???????? ??xxba或)()(lim11xxba且 存在 (或無(wú)窮大量 )， )()(lim xxba則 也存在 (或無(wú)窮大量 )， 并且 ，和 1)( )(lim 1)( )(lim11?? xxxx bbaa證 由定理?xiàng)l件可知 因此有 ?????? ???)()()()()()(lim)()(lim 1111 xxxxxxxxbbbaaaba)()(l i m)()(l i m)()(l i m 1111 xxxxxxbbbaaa ???.)( )(l i m11xxba?，那么考慮若 0)( )(l i m )( )(l i m1111 ???xxxxabba即可仿上面的證法 . .1e )1l n (l i m0 ??? xxx計(jì)算例 2 解 因?yàn)? x → 0 時(shí)， ln (1 + x) ~ x， ex 1 ~ x， 所以 .1l i m1e )1l n (l i m00?????? xxxxxx.3 5tanlim0 xxx ?計(jì)算例 3 解 因?yàn)? x → 0 時(shí)， tan 5x ~ 5x， 所以 .3535lim3 5tanlim00???? xxxxxx.s i n s i ntanlim 30 xxxx??計(jì)算例 4 解 .s i nc o sc o s1s i nlims i ns i nt a nlim3030 xxxxxxxxx??????xxx xx 200 s i nc os1limc os1lim ?????.2121lim1 220???? xxx若直接用 x 代替 tanx 及 sinx， .0l i ms i n s i ntanl i m 3030?????? xxxxxxxx 因?yàn)?， 雖然 tanx ? x， sinx ? x ， 但 tanx sinx ? 0 則不成立 ， 因此 ， 這里用 0 代替 tanx – sinx 是錯(cuò)誤的 . 是錯(cuò)誤的 . 則 返回本章目錄 五、極限的運(yùn)算法則 定理 8 若函數(shù) y = f (x) 與 y = g( x ) 在 x → x0 (或 x → ∞ )時(shí)都存在極限 ， 則它們的和 、 差 、 積 、商 (當(dāng)分母的極限不為零時(shí) )在 x → x0 (或 x →∞ )時(shí)也存在極限 ， 且 ， )(l i m)(l i m)]()(l i m [)1( xgxfxgxf ???, )(l i m)(l i m)]()(l i m [)2( xgxfxgxf ???).0)((l i m,)(l i m )(l i m)( )(l i m)3( ?? xgxg xfxg xf(1) 由定理 3 有 .)(l i m )(l i m00BxgAxf xxxx ?? ?? ，設(shè) f ( x ) = A ?a ( x ) 和 g ( x ) = B ? b ( x )， 其中 a ( x ) 和 b ( x ) 均為無(wú)窮小量 . 于是 f ( x ) ? g ( x ) = ( A ? B ) ? [a ( x ) ? b ( x ) ]， 其中 A ? B 為常數(shù) , a ( x ) ? b ( x ) 仍為無(wú)窮小量， 故由無(wú)窮小量的定理 3 可推得 lim [ f ( x ) ? g ( x ) ] = A ? B = lim f ( x ) ? lim g ( x ) . 證 (2) 因?yàn)? f ( x ) g ( x ) = [A ? a ( x )][B ? b ( x )] = AB ? [Ab (x) ? Ba (x) ? a (x) b (x)]. 而由定理 5 的推論 1 和推論 2 可知 Ab (x), Ba(x)，a (x) b (x) 均為無(wú)窮小量 ， 所以由定理 3 可知 商的極限運(yùn)算法則的證明從略 . lim [ f ( x ) ? g ( x )] = AB = lim f ( x ) ? lim g ( x ). 推論 1 常數(shù)可以提到極限號(hào)前 ， lim c f ( x ) = c lim f ( x ). 推論 2 若 lim f ( x ) = A，且 m 為正整數(shù) ， lim [ f ( x ) ]m = [lim f ( x ) ]m = Am . .)lim(lim 000mmxxmxx xxx ?? ??特殊地，有 則 即 解 運(yùn)用定理 8 及其推論可得 : 7l i m8l i ml i m)78(l i m112121 ?????????xxxxxxxx).78(l i m 21 ??? xxx求例 1 .7limlim8)lim( 1121 ??? ??? xxx xx,77lim ,1lim 11 ?? ?? xx x由于一般地，有 .27181)78(l i m 221 ????????? xxx011 1 010 1 0 1 0 0l i m ( ).nnnnxxnnnna x a x a x aa x a x a x a?????? ? ? ?? ? ? ? ?因此 即多項(xiàng)式函數(shù)在 x0 處的極限等于該函數(shù)在 x0 處的函數(shù)值 . .462 134lim 221 ?????? xxxxx求 解 由例 1 知道當(dāng) x ? ?1 時(shí)所給函數(shù)的分子和分母的極限都存在 ， 且分母極限 .0124)1(6)1(2)462(lim 221 ???????????? xxx例 2 462134lim221 ?????? xxxxx )462(lim)134(lim2121?????????xxxxxx121)1(3)1(4 2 ?????.32128 ??所以 解 由于 345l i m221 ???? xxxx ,020)3(lim)45(lim2121 ?????????xxxxx為無(wú)窮小量，時(shí)即 3 451 22????xxxx.45 3l i m 221 ???? xxxx求例 3 ???? ?? 453l i m221 xxxx45322???xxx即 因此 ， 由無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系可知 ， 當(dāng) x ? 1 時(shí) 為無(wú)窮大量， )2)(1()2)(1(l i m2 ?????? xxxxx223l i m222 ????? xxxxx11lim2 ???? xxx )1(lim)1(lim22?????xxxx1212??? .31?解 .2 23l i m 222 ????? xxxxx求例 4 有時(shí) ， 所給函數(shù)在自變量的某個(gè)趨向下分子 、分母的極限都為零 ， . ”00“ 型極限人們常稱(chēng)這類(lèi)極限為這時(shí)不能直接應(yīng)用商的極限運(yùn)算法則 . 例 5 若 an ? 0， bm ? 0， m、 n 為正整數(shù)，試證 01110111l i mbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnx ?????????????? ??????????,nmbamn ?， nm ?0.nm ?? ， 有一類(lèi)函數(shù)，當(dāng)自變量趨于無(wú)窮大時(shí)，其分子、分母都趨于無(wú)窮大 . 這類(lèi)極限稱(chēng)為 型的極限， ”“??對(duì)于它們也不能直接應(yīng)用商的運(yùn)算法則 . 證 當(dāng) x → ? 時(shí)，所給函數(shù)的分子分母都趨向于無(wú)窮大 . 若將原式變形為 01110111l i mbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnx ?????????????? ?????????????????????????????mmmmnnnnmnxxbxbxbbxaxaxaaxx111111l i m01110111????????, , nmba