【文章內容簡介】 兩個數(shù)之和 nnnnininiiiinnaaaaaaaaaaaaaaaD??????????2122112222111211???????則行列式 D等于下列兩個行列式之和： nnnniniinnnnnniniinnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD????????????????????2121222211121121212222111211?????例如 37 性質 6 把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù) k，加到另一行（列）對應的元素上去，行列式的值不變。 以數(shù) k乘以第 i行上的元素加到第 j行對應元素上 ， 有 11 12 1 11 12 11 2 1 21 2 1 1 2 21 2 1 2( ) ( ) ( )?? ? ?nni i in i i injij j jn j i j i jn inn n nn n n nna a a a a aa a a a a ar kra a a a ka a ka a kaa a a a a a38 例 1 計算四階行列式 ababaabbbbD000000???解 ： ababaabbababaabbbbD2020000000000000???? 2 2 2( 4 )b a b? ? ?例 2 計算四階行列式 a b b bb a b bDb b a bb b b a?39 167。 4 行列式按行（列）展開定理 背景： 低階行列式比高階行列式計算要簡便，能否把高階行列式轉化成低階行列式？如何轉化？ 以三階行列式為例，容易驗證： ?333231232221131211aaaaaaaaa3332232211 aaaaa3332131221 aaaaa + 2322131231 aaaaa可知：三階行列式可以轉化為二階行列式 40 則 Aij叫做元素 aij的 代數(shù)余子式 。 顯然， Aij與行列式中第 i行、第 j列的元素無關。 ijjiij MA ??? )1(令 先看下面兩個定義： 例如：三階行列式中元素 23221312aaaa31a的余子式 31M= 如：三階行列式中元素 的代數(shù)余子式 21a 211221 )1( MA +=定義 設 ， 劃去元素 aij所在的行和列，余下的元素按其原有的位置構成的（ n－ 1）階行列式叫做元素 aij的 余子式 ，記為 Mij 。 ()ij n nAa ??41 引理 n階行列式 D中 ， 如果其中第 i行元素除 aij外全部為零 ， 則行列式等于 aij與它的代數(shù)余子式的乘積 ，即 D＝ aijAij 證 先證 i＝ 1， j＝ 1的情形 ? ?? ???nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD??????????3232323211)1(3212232221111000?? ?? ??nnnjjjnjjjjjj aaaa?? ?323232 32)(11 1 ?? ? 1111111111111132333322232211 1 AaMaMaaaaaaaaaaannnnnn???????????42 設 D 的第 i 行除了 ija 外都是 0 . nnnjnijnjaaaaaaaD????????????1111100?把 D 的第 i 行依次與第 1?i 行，第 2?i 行， 第 2行，第 1行交換；再將第 j 列依次與第 1?j 列 第 2?j 列， ， 第 2列，第 1列交換，這樣共經過 2)1()1( ?????? jiji 次交換行與交換列的步驟 . 對一般情形，只要適當交換 D的行與列的位置，即可得到結論。 43 得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD????????????1,11,1,1200)1(?????????ijijji Ma??? )1(ijij Aa=例 1：計算四階行列式 002101132101032144 定理 3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即 證 ： nnnniniinaaaaaaaaaD????????????2121112110000000 ??????????),2,1( ),2,1( 22112211njAaAaAaDniAaAaAaDnjnjjjjjininiiii??????????????或 （按行展開） （按列展開） 45 nnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaa??????????????????21211211211112110000 ??.2211 ininiiii AaAaAa ???? ?nnnninnaaaaaaa??????????211121100??46 例 1 計算行列式 1320010500134002?D解 由定理 3，按第一行展開 得 ? ? ? ?1 1 1 41 0 0 3 1 02 1 0 1 0 4 1 5 0 12 3 1 0 2 3D??? ? ? ? ? ?86)156(42 ?????也可以按其他行（或列）展開 說明 ：利用上述方法計算行列式也稱為降階法 47 例 2 計算 .621721744354353274274?D6 2 11 0 074 4 31 0 053 2 71 0 04?D解： 621174431532714100?1 7 8021 1 6013 2 7141 0 0?1 7 821 1 611 0 0??)2 3 21 7 8(1 0 0 ??? .5400?48 例 3 計算行列式 (加邊法 ) yyxxD?????1111111111111111解 當 x＝ 0 或 y＝ 0時，顯然 D＝ 0， 現(xiàn)假設 x≠ 0，且 y≠0 ，由定理知 1 1 1 1 10 1 1 1 10 1 1 1 10 1 1 1 10 1 1 1 1xD xyy?? ???22000000000000000011111yxyyxx????1 1 1 1 11 0 0 01 0 0 01 0 0 01 0 0 0xxyy?? ?????49 推論 行列式一行 (列 )的元素與另一行 (列 )的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零 ,即 )(02211 jiAaAaAa jninjiji ????? ?)(02211 jiAaAaAa njnijiji ????? ?或證 11 1111 ni i nj j nn n naaaaaaaa1 1 2 2j j j j jn jna A a A a A? ? ? ?50 當 i?j, 將式中 ajk換成 aik(k=1,2,…,n ),可得 11 1111 ni i ni i nn n naaaaaaaa同理可證 02211 ???? njnijiji AaAaAa ?1 1 2 2i j i j i n j na A a A a A? ? ? ?0?51 代數(shù)余子式的重要性質 : 1 0,。ni k j kkD i jaAij????? ??? 當當1 0,。nk i k jkD i jaAij????? ?