【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 32 ) 1? ?( 12 3 ) ( 23 1 ) ( 31 2 )11 22 33 12 23 31 13 21 32( 1 ) ( 1 ) ( 1 )a a a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ?( 32 1 ) ( 21 3 ) ( 13 2 )13 22 31 12 21 33 11 23 32( 1 ) ( 1 ) ( 1 )a a a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ?13 22 31 12 21 33 11 23 32a a a a a a a a a? ? ?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a? ? ?? ? ?1 2 31 2 31 2 3()1 2 3()( 1 ) .p p p p p pp p pa a a????11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a1 2 31 2 31 2 3()1 2 3()( 1 ) .p p p p p pp p pa a a???? n 階行列式的定義 12122()1211 12 121 22 212( 1 ) .nnp p pp p npnnn n nnnnna a aa a aa a aDa a a????由 個(gè) 數(shù) 組 成 的 階 行 列 式 等 于 所 有取 自 不 同 行 不 同 列 的 個(gè) 元 素 的 乘 積的 代 數(shù) 和記 作定義 ).d e t ( ija簡(jiǎn)記作 的元素．稱為行列式數(shù) )d e t ( ijij aa121212()nnp p p np p p?其 中 為 自 然 數(shù) ， ， ， 的 一 個(gè) 排 列 ，為 這 個(gè) 排 列 的 逆 序 數(shù) ．? ?? ?12121211 12 121 22 212121nnnnnn n n np p pp p n pp p pa a aa a aDa a aa a a?????說(shuō) 明 行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的線性方程組的需要而定義的 。 階行列式是 項(xiàng)的代數(shù)和 。 n !n 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列 個(gè)元素的乘積 。如 nn 的符號(hào)為 nnppp aaa ?21 21 12()( 1 ) np p p??項(xiàng)。就不是三階行列式中的332312 aaa 一階行列式 不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆 。 aa ?例 選擇 i 和 k ，使 53254321 aaaaa ki成為 5階行列式中一個(gè)帶負(fù)號(hào)的項(xiàng) 解 其列標(biāo)所構(gòu)成的排列為： i 5 2 k 3 若取 i = 1， k ＝ 4， 故 i = 4， k = 1 時(shí)該項(xiàng)帶負(fù)號(hào)。 可將給定的項(xiàng)改為行標(biāo)按自然順序，即 53432251 aaaaa ki則 ? (1 5 2 4 3) = 4，是 偶排列 ， 該項(xiàng)則帶正號(hào)， 對(duì)換 1， 4的位置， 則 4 5 2 1 3是 奇排列 。 定理 121 1 2 2( . . . ) ( . . . )12( 1 ) ...nnnp p p q q q np q p q p qD a a a?? ?? ? ?1 2 1 2.. . .. .nnp p p q q q n其 中 和 都 是 級(jí) 排 列 。對(duì) n級(jí)行列式 ? ?121212( . . . )12...( 1 ) . . .nnnp p pp p p np p pD a a a????ijaD ? ,有 推論 對(duì) n級(jí)行列式 ijaD ? ,有 證明： 將 重排，使其行標(biāo)成為自然順序 , 行標(biāo)，列標(biāo)同時(shí)作了一次對(duì)換，總逆序數(shù)之和不改變奇偶性。 返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) ? ?12121211 12 1()21 22 212()121nnnni i ini i i ni i in n nna a aa a aD a a aa a a?? ? ?? 階行列式也可定義為 n其中 為行排列 的逆序數(shù) . 12 ni i i12()ni i i? 參見 P8：等價(jià)定義形式一 ? ? 1 2 1 21 1 2 21212( ) ( )()()1 nnnnnni i i j j ji j i j i ji i ij j jD a a a?? ??? ?該項(xiàng) 的符號(hào)由行排列和列排列的逆序 1 1 2 2 nni j i j i ja a a1 2 1 2( ) ( )nni i i j j j?? ?數(shù)之和 決定。 1 2 1 2( ) , ( )nni i i j j j是兩個(gè) n級(jí)排列。 其中， 階行列式還可定義為 n 參見 P8：等價(jià)定義形式二 例 1 計(jì)算對(duì)角行列式 0004003002001000分析 展開式中項(xiàng)的一般形式是 1 2 3 41 2 3 4() 1 2 3 4( 1 ) p p p p p p p pa a a a??41 ?p若 ,011 ?? pa 從而這個(gè)項(xiàng)為零， 所以 只能等于 , 1p 4 同理可得 1,2,3 432 ??? ppp解 0004003002001000? ? ? ? 43211 4 3 2 1 ????? ? .24?即行列式中不為零的項(xiàng)為 .aaaa 41322314n????21? ? ? ? .1 212 1 nnn ??? ????。21 n??? ??n????21一般地，對(duì)角行列式 n????21? ? ? ?? ? 11,212111 nnnnn aaa ?? ???? ?? ? ? ? .1 212 1 nnn ??? ????證明 第一式是顯然的 ,下面證第二式 . 若記 ,1, ??? inii a? 則依行列式定義 11,21nnnaaa???證畢 例 2 計(jì)算上三角行列式 nnnnaaaaaa??????????00022211211分 析 展開式中項(xiàng)的一般形式是 112( . . . ) 12( 1 ) .nnpp p p n pa a a??所以不為零的項(xiàng)只有 .2211 nnaaa ?nnnnaaaaaa??????????00022211211?? ? ? ? nnn aaa ?? 2211121 ???.2211 nnaaa?解 例 3 ?8000650012404321??D443322118000650012404321aaaaD ??.1608541 ?????同理可得下三角行列式 nnnnnaaaaaaa???????????32122211100000.2211 nnaaa ??主對(duì)角線以上的元素全為零（即 ij時(shí)元素 aij＝ 0）的行列式稱為 下三角行列式 ，它等于主對(duì)角線上各元素的乘積。 行列式中，從左上角到右下角的直線稱 為主對(duì)角線 。 主對(duì)角線以下的元素全為 0（即 ij時(shí)元素 aij＝ 0）的行列式稱為 上三角行列式 ，它等于主對(duì)角線上各元素的乘積。 行列式中 ， 除對(duì)角線上的元素以外 ， 其他元素全為零 （ 即 i≠j時(shí)元素 aij＝ 0） 的行列式稱為 對(duì)角行列式 ，它等于對(duì)角線上元素的乘積 。 返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 練習(xí)： ． ? ?0 1 0 0 0 00 0 2 0 0 01 . 。0 0 0 0 0 10 0 0 0 0nn?? ?1 1 1 1 12 2 2 1 13344550 0 020 0 00 0 0..a b c d ea b c d eababab解答： ． ? ?0 1 0 0 0 00 0 2 0 0 01 . 。0 0 0 0 0 10 0 0 0 0nn?解： (1) 根據(jù)行列式的定義， nD 中的一般項(xiàng)為 ? ? ? ?12 12121,n nj j j j j n ja a a??其中，僅當(dāng) 1