【正文】 ，對角行列式 n????21? ? ? ?? ? 11,212111 nnnnn aaa ?? ???? ?? ? ? ? .1 212 1 nnn ??? ????證明 第一式是顯然的 ,下面證第二式 . 若記 ,1, ??? inii a? 則依行列式定義 11,21nnnaaa???證畢 例 2 計算上三角行列式 nnnnaaaaaa??????????00022211211分 析 展開式中項的一般形式是 112( . . . ) 12( 1 ) .nnpp p p n pa a a??所以不為零的項只有 .2211 nnaaa ?nnnnaaaaaa??????????00022211211?? ? ? ? nnn aaa ?? 2211121 ???.2211 nnaaa?解 例 3 ?8000650012404321??D443322118000650012404321aaaaD ??.1608541 ?????同理可得下三角行列式 nnnnnaaaaaaa???????????32122211100000.2211 nnaaa ??主對角線以上的元素全為零（即 ij時元素 aij＝ 0）的行列式稱為 下三角行列式 ，它等于主對角線上各元素的乘積。 記 行列式 D39。 返回 上一頁 下一頁 例 1. 計算行列式 11 3 12( 1 ) 0 0 03 9 10D ???21 3 12( 2) 2 6 973 9 0D ???12 0DD??答 案 ：性質(zhì) 5 若行列式的某行（列）的元素都是兩個數(shù)之和，例如 則行列式 D等于下列兩個行列式之和： 返回 上一頁 下一頁 例 2. 計算行列式 1 3 3024 3 2972 2 203D ??根據(jù)性質(zhì) 4和性質(zhì) 3的推論 1及推論 2，我們有 解： 1 3 300 24 3 300 32 2 200 3D?? ? ??1 3 30 0 1 3 24 3 30 0 4 3 32 2 20 0 2 2 3? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?0 9 1 6 1 8 1 2 3 6 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5.?性質(zhì) 6 把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù) k，加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。4 0 2??? ? ??22A ? ? ?22 221 M??3 2 71 6 3 。 返回 上一頁 下一頁 推論 如果齊次線性方程組有非零解 ,則齊次線性方程組的系數(shù)行列式必為零 。 ,? ? ?例 計算由行向量 所確定的平行六面體的體積。 解答 （ 1） 原式 1 2 3 23 3 3 21 3 1 21 3 3 1???????12CC? 213rr?31rr?41rr?1 2 3 20 3 6 40 1 4 00 1 0 3?? ? ????按第一列展開 113 6 4( 1 ) ( 1 ) 1 4 01 0 3?? ? ?? ? ? ? ??214cc? 3 1 8 41 0 01 4 3? ? ??按第二行展開 21 1 8 41 ( 1 )43? ?????? ?1 ( 1 8 ) ( 3 ) ( 4 ) 4 7 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解答 （ 2） 原式 1 0 2 01 0 13 00 2 5 33 1 1 0??232rr?341 0 23 ( 1 ) 1 0 133 1 1?? ? ?按第四列展開 32 123 1 ( 1 )1 1 3?? ? ? ??按第二列展開 3 (1 3 2 ) 4 5? ? ?將代數(shù)式還原成 行列式，得 11 12 13 1433A A A A? ? ?3 1 3 13 3 2 20 3 4 03 1 3 1?????0? 克拉默法則 克拉默法則 如果線性方程組 的系數(shù)行列式不等于零 ,即 那么 ,方程組有唯一解 其中 Dj(j=1,2,…,n )是把系數(shù)行列式 D中的第 j列元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的 n階行列式 . 返回 上一頁 下一頁 證明 (1) 方程組簡寫為 把方程組的唯一解代入第 i個方程 ,左端為 返回 上一頁 下一頁 所以 (2)用 D中第 j列元素的代數(shù)余子式 A1j,A2j,…,A nj依次乘方程組的 n個方程 ,再把它們相加 ,得 當(dāng) D不等于零時 ,方程組有唯一解 . 返回 上一頁 下一頁 例 17 解線性方程組 解 返回 上一頁 下一頁 于是方程組有解 x1=3,x2=4,x3=1,x4=1 返回 上一頁 下一頁 克拉默法則亦可敘述為 定理 4 如果線性方程組的系數(shù)行列式 D?0,則方程組一定有解 ,且解是唯一的 。 返回 上一頁 下一頁 例 寫出行列式 D中元素 和 32a 的余子式和代數(shù)余子式， 其中 3 2 2 70 1 3 01 5 6 34 1 0 2D??????解： 根據(jù)定義，得 32M ?3 2 70 3 0 。 交換行列式 i， j兩行記作 ri←→ rj，交換行列式 i， j兩列，記作 ci←→ cj 證：由條件有 D＝－ D 故可得 D＝ 0 返回 上一頁 下一頁 性質(zhì) 3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一個數(shù) k，等于用數(shù) k乘以此行列式。0 0 0 0 0 10 0 0 0 0nn?解： (1) 根據(jù)行列式的定義， nD 中的一般項為 ? ? ? ?12 12121,n nj j j j j n ja a a??其中，僅當(dāng) 1 2 12 , 3 , , , 1nnj j j n j?? ? ? ?時，該項不為零． 所以， ? ? ? ?( 23 1 ) 11 1 2 1 ! .nD n n? ?? ? ? ? ? ? ?(2) 根據(jù)行列式的定義，該５階行列式的一般項為 ? ? ? ?1 2 3 4 5 1 2 3 4 51 2 3 4 51 j j j j j j j j j ja a a a a??我們注意到：當(dāng) 3 4 5,j j j等于 3,4,5 時， ? ?0 , 3 , 4 , 5 .iijai??由于 3 4 5,j j j為 1, 2 , 3, 4 , 5中的三個不同的數(shù)，所以，無 論如何取，至少要取到 3,4,5 中的一個數(shù)．故一般項中 至少有一個因子等于零，于是，該行列式的每一項都 是零，從而該行列式等于 0． ? ?1 1 1 1 12 2 2 1 13344550 0 020 0 00 0 0..a b c d ea b c d eababab1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的 . 階行列式共有 項，每項都是位于不同行、不同列 的 個元素的乘積 ,正負(fù)號由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定 . nn!n小結(jié) 行列式的性質(zhì) 研究行列式性質(zhì)的主要目的是 : 一、簡化行列式的計算 . 二、為進一步在理論上研究行列式做準(zhǔn)備。 1 2 1 2( ) , ( )nni i i j j j是兩個 n級排列。 n !n 階行列式的每項都是位于不同行、不同列 個元素的乘積 。 2。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ???????????????。線性代數(shù) 主講人：周小輝 324xyxy???? ???32 2 4x y zx y z? ? ??? ? ? ??3242 2 5xyxyxy???????? ???11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??線性方程組的舉例 線性代數(shù)課程的基本內(nèi)容 ◆ 第一章 行列式 ◆ 第二章 矩陣 ◆ 第三章 線性方程組 ◆ 第四章