【正文】 線性代數(shù) 主講人：周小輝 324xyxy???? ???32 2 4x y zx y z? ? ??? ? ? ??3242 2 5xyxyxy???????? ???11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??線性方程組的舉例 線性代數(shù)課程的基本內(nèi)容 ◆ 第一章 行列式 ◆ 第二章 矩陣 ◆ 第三章 線性方程組 ◆ 第四章 向量空間 ◆ 第五章 矩陣的特征值與特征向量 ◆ 第六章 二次型 第一節(jié) n階行列式 第二節(jié) 行列式的性質(zhì) 第三節(jié) 行列式按行 (列 )展開(kāi) 第四節(jié) 克拉默法則 第五節(jié) 應(yīng)用舉例 第一章 n 階行列式 用消元法解二元線性方程組 ???????.,22221211212111bxaxabxaxa ??1??2? ? :1 22a? ,2212221212211 abxaaxaa ??? ? :2 12a? ,1222221212112 abxaaxaa ??2x兩式相減消去 ，得?二階行列式的引入 第一節(jié) n 階行列式 。212221121122211 baabxaaaa ??? ）（,211211221122211 abbaxaaaa ??? ）（21a?11a?類(lèi)似可以消去 得， 1,x1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 21 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1。.a a a a x b a a ba a a a x a b b a? ? ??? ? ? ??（）（）時(shí)，當(dāng) 021122211 ?? aaaa 方程組的解為 ，211222112122211 aaaabaabx???1 1 2 1 2 121 1 2 2 1 2 2 1.a b b ax a a a a?? ?由方程組的 四個(gè)系數(shù) 確定 . ???????.,22221211212111bxaxabxaxa 由四個(gè)數(shù)排成二 行 二 列 （橫排稱(chēng) 行 (row)、 豎排稱(chēng) 列(column))的數(shù)表 1 1 1 22 1 2 2 ( 1 )aaaa1. 定義 11 22 12 2111 1221 221( 2 )a a a aaaaa?表 達(dá) 稱(chēng) 為 數(shù) 表 （ ） 所 確 定 二 階行 列 式的， 并 記 作式即 .2112221122211211 aaaaaaaaD ???其中 aij 稱(chēng)為行列式 (1)的元素或元 . (i,j=1,2) aij 的第一個(gè)下標(biāo) i 稱(chēng)為行標(biāo) . aij 的第二個(gè)下標(biāo) j 稱(chēng)為列標(biāo) . aij 稱(chēng)為 行列式第 i 行第 j 列的元素 . 11a 12a22a21a主對(duì)角線 副對(duì)角線 對(duì)角線法則 2211aa? .2112 aa?二階行列式的計(jì)算 若記 1 1 1 21 1 2 2 1 2 2 12 1 2 2,aaD a a a aaa? ? ????????.,22221211212111bxaxabxaxa對(duì)于二元線性方程組 系數(shù)行列式 ???????.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ?，211222112122211 aaaabaabx??????????.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211 ababD ????????.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ?，211222112122211 aaaabaabx???1 1 2 1 2 121 1 2 2 1 2 2 1.a b b ax a a a a?? ????????.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211 ababD ????????.,22221211212111bxaxabxaxa.2211112 babaD ?，211222112122211 aaaabaabx???1 1 2 1 2 121 1 2 2 1 2 2 1.a b b ax a a a a?? ?則二元線性方程組的解為 1 122 221 1 22 2 12111 12 11 22 21 1221 22,babaD b a b axaaD a a a aaa?? ? ??注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式 . 11 121 22 2 11 1 21211 12 11 22 21 1221 22.ababD b a b axaaD a a a aaa?? ? ??并且可以看到，二元線性方程組的求解問(wèn)題其實(shí)就是 二階行列式的計(jì)算問(wèn)題 . 例 1 求方程組 的解。 12125 3 678xxxx???? ???5317D ???16387D ???解： 25618D ??所以， 11DxD??22DxD??5 ( 7)?? 31? ? ? 3 8 0??6 ( 7 )?? 38? ? ? 66?5 8 6 1 34? ? ? ?6 6 3 3 ,3 8 1 9? ??3 4 1 73 8 1 9???練習(xí) ,122 ???D 0?0 ?? DD為何值時(shí)，當(dāng) ?解 )2(22 ???? ????D020 )1( ?? D時(shí)，＝或＝當(dāng) ??020 )2( ??? ? D時(shí)，且當(dāng) ???三階行列式 1. 定義 333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的數(shù)表行個(gè)數(shù)排成設(shè)有記 ,312213332112322311322113312312332211 )6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa??????333231232221131211aaaaaaaaa（ 6） 式稱(chēng)為數(shù)表 （ 5） 所確定的 三階行列式 . (1) 對(duì)角線法則 2. 三階行列式的計(jì)算 333231232221131211aaaaaaaaa332211 aaa?.322311 aaa?322113 aaa?312312 aaa?312213 aaa? 332112 aaa?注意 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)， 藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)． 333231232221131211aaaaaaaaaD ?323122211211aaaaaa? ? ????.312213332112322311 aaaaaaaaa ???(2) 沙路法 322113312312332211 aaaaaaaaa ???D說(shuō)明 (1) 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式． (2) 三階行列式包括 3!項(xiàng) ,每一項(xiàng)都是位于不同行 ,不同列的三個(gè)元素的乘積 ,其中三項(xiàng)為正 ,三項(xiàng)為負(fù) . 解 ： 按主對(duì)角線法，有 ?D 1 2 ( 2 )? ? ?4 6 32 24 8 4? ? ? ? ? ? ?.14??例 1 計(jì)算三階行列式 1 2 42 2 13 4 2D?????2 1 ( 3 )? ? ? ? ( 4 ) ( 2 ) 4? ? ? ? ?( 4 ) 2 ( 3 )? ? ? ? ? 2 ( 2 ) ( 2 )? ? ? ? ? 1 1 4? ? ? 三元線性方程組 ??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa設(shè)其系數(shù)行列式 333231232221131211aaaaaaaaaD ?,0? 利用三階行列式求解三元線性方程組 的解。 ??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD ?若記 333231232221131211aaa